Đề thi chọn hsg lớp 10, 11 THPT năm học 2015 2016 đề thi môn: Toán 1028630

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số sau có tập xác định là m ¡.. a Cho hình vuông ABCD M, là trung điểm của CD.. Tìm điểm trên đường thẳng K BD sao cho K không trùng với và đườn

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (1,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số sau có tập xác định là m ¡

2

2015 2016

x y





Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải bất phương trình x  2 2 2x 5 x1

b) Giải phương trình 4 3  2 

x  x  x x x

Câu 3 (1,0 điểm) Cho phương trình 3 2 , trong đó là tham

số Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt m x x x1, 2, 3 thỏa mãn x12x22x32 17

Câu 4 (3,0 điểm)

a) Cho hình vuông ABCD M, là trung điểm của CD Tìm điểm trên đường thẳng K BD sao cho K không trùng với và đường thẳng D AK vuông góc với đường thẳng KM

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A5;1, điểm nằm C

trên đường thẳng d x: 2y 3 0 Gọi giao điểm của đường tròn tâm bán kính B BD với đường thẳng CD là E E ( D) Hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng D BE là điểm

Tìm tọa độ các điểm

4; 2 

c) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh B C, lần lượt là h h b, c,

độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh là Tính A m a cos A , biết h b 8,h c 6,m a 5

Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

ï í

ïî

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn a< b và 1 ab 3 Tìm giá trị nhỏ

b a





 nhất của biểu thức  2 2

P

a a b





-

Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

ĐỀ CHÍNH THỨC

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

II ĐÁP ÁN:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT

1 (1,5 điểm)

Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi ¡

2

Với m =1, ta có f x( )= 4> 0, x" Î ¡ Do đó m =1 thỏa mãn 0,25 Với m ¹ 1,

2

1 ( ) 0,

m

ì >

ïï

> " Î Û í

ï - - - <

ïî

1

m

m m

ì >

ïï

Û í

Vậy

2 a (1,5 điểm)

Điều kiện xác định: 5

2

2x 1 2 (x 2)(x 1) 2x 1 4 2x 5

2

3

x x

é ³ ê Û

ê £ ë

0,5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ³ 6 hoặc 5 3

b (1,0 điểm)

Điều kiện xác định: x1hoặc x0

PT đã cho tương đương  2 2  2   2 

x x  x x  x x 0,25

Đặt 2 , ta được PT:

t x x t 4 2

2 0

t  t t 

hoặc

Với t0 thì 2

Với t 2 thì 2 Vậy các nghiệm của PT là

(1,0 điểm)

2

1

x





3

Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác thỏa 1

mãn x12+ x22= 16

Phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt khác khi 1

0,25

(Đáp án có 04 trang)

(*)

m

Theo định lí Viet ta có 1 2 Khi đó

1 2

2 2





1 2 16 ( 1 2) 2 1 2 16

x x   x x  x x 

Do đó 2

4m - 2(2- m)= 16

0,25

hoặc Kết hợp với điều kiện ta được , 2

m

2

2

4 (3,0 điểm)

a (1,0 điểm)

K

B A

D

Gọi là độ dài cạnh hình vuông ABCD Đặt a DAu DC ; v thì u  v a và u v  0

Giả sử DKxDB (x0) thì DK x u  v 0,25

Suy ra AK DK DA(x1)uxv và 1

2

MK DKDM xux v

0,25

AK MK   x uxv xux v x x a x x  a 

0,25 Vậy, điểm nằm trên thỏa mãn

4

DK = DB

uuur uuur

0,25

b (1,0 điểm)

I N

E C

A

D

B

90

90

CN có véc tơ pháp tuyến uuurAN =(9; 3- ) nên phương trình CN: 3x- y- 14= 0

Tọa độ C thỏa mãn hệ 3 14 0, suy ra

x y

x y



   

0,25

Do BD= BE và BC^ DE nên C là trung điểm DE, suy ra CI BE|| Do đó D đối xứng

Phương trình AC y:  1 0, từ đó suy ra D 4; 4 Do I 0;1 nên B 4; 2 

c (1,0 điểm)

F E

K

M

N

B

A

C

Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC ( MAC N, AB) Gọi K là trung điểm của

BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC lần lượt tại E và F Khi

đó E là trung điểm BN và F là trung điểm CM

0,25

Bốn điểm A E K F, , , nằm trên đường tròn đường kính AK5, theo định lý sin trong tam

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :

฀

EF KE KF  KE KF EKF    A 0,25

25sin A 25 24.cosA 25 1 cos A 25 24.cosA

24 cos

25

A

5

(1,0 điểm) Giải hệ

x y x y

x y x y

ï

ïî Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được

x + x + x= y - y + y- 3 3

(x 1) (x 1) (y 2) (y 2)

(x 1 y 2) (éx 1) (x 1)(y 2) (y 2) 1ù 0

Thế y= x+ 3 vào (2) ta được: 2

3 177 6

3 177 6

x

x

ê = ê ê

ê -

-ê = ê

0,25

Vậy hệ có nghiệm (x y; ) là: 3 177 15 177 3 177 15 177

6 (1,0 điểm).

Ta có 3b a  1 ab (1), mà 1ab2 ab, suy ra

3

b a

b a ab

a b

a

3 3

a

0,25

P

1

3

a

b



0,25

Do đó P4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ; 3 Vậy

3