Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng: * Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ + K/n Véctơ + K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác A
Trang 1B o
E F
D B
A
C
CÁC DẠNG TỐN ƠN TẬP CHƯƠNG 1 Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:
* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ
+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC Cĩ thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-khơng ) cĩ điểm đầu và điểm cuối
là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB;
d) Tìm các vectơ bằng với MO, bằng với
OB
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF cĩ tâm O
a) Tìm các vectơ khác và cùng phương 0 ;
OA
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và cĩ:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB
; OB
b) Cĩ độ dài bằng OB
Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
* Phương pháp : Ta cĩ thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: | | | |
, cùng hướng
a b
a b
a b
+ Sử dụng tính chất của các hình Nếu ABCD là hình bình hành thì
,…(hoặc viết ngược lại) ,
ABDC BC AD
+ Nếu a b b , c a c
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Chứng minh: EF CD
Bài 2: Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
Bài 3: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu ABDC thì ADBC
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
Dạng 3 Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: cĩ thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta cĩ : AB
+BC
= AC
Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB
+ AD
= AC
Trang 2 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB (hoặc OA OB BA)hay ABOB OA
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0
Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
BÀI TẬP
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : + = +
AC
BD
AD
BC
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
DO
AO
AB
OD
OC
BC c/ OA + + + = d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý)
OB
OC
MA
MC
MB
MD
Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB.
CMR : + = +
OD
OC
AD
BC
Bài 4 Cho ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý , ,
' AA
' BB
' CC CMR : + + = + +
' AA
' BB
'
CC BA '
' CB
' AC
Bài 5 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:
' ' ' OB OC OA
OC OB
Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :
a) OA
+ OB
+ OC
+ OD
+ OE
+ OF
= 0
b) OA
+ OC
+ OE
= 0
c) AB
+ AO
+AF
=AD
d) MA
+ MC
+ME
= MB
+MD
+MF
( M tùy ý )
Dạng 4 Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB
+BC
= AC
AB BC AC
+ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB
+ AD
= AC
AB AD AC
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB (hoặc OA OB BA)hay ABOB OA AB OB OA
Sử dụng tính chất hai véctơ :
+ Nếu hai véc tơ a
, cùng hướng thì |a
+ | = |a
|+| |
b
b
b + Nếu hai véc tơ a
và | | ≥ |a
| thì |a
+ |=| ||a
|
b
b
b
b
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a
A
D
ThuVienDeThi.com
Trang 3a/ Tính AD
AB b/ Dựng = u Tính
CA
AB u
Bài 2 Cho ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC
a/ Tính AB AC
b/ Tính BA
BI
Bài 3 Cho ABC vuông tại A Biết AB = 6a, AC = 8a TínhAB AC
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a
; BO
= b
Tính AB
; BC
; CD
; DA
theo a
và b
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AD theo a
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng = u Tính
AC
Dạng 5 Xác định vectơ ka
: *Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ ka
và các tính chất
BÀI TẬP
Ví dụ 1 Cho a AB và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM a ON a
Ví dụ 2 Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB Tìm k trong các đẳng 1
5 thức sau:
a AMk AB b MAk MB c MAk AB
Ví dụ 3
a) Chứng minh:vectơ đối của 5a
là (5) a b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a
+3 , a
2
b
b
Dạng 6 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :
Ví dụ 1.Cho ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF Đặt u AE v; AF Hãy phân tích các vectơ AI AG DE DC, , , theo hai vectơ
,
u v
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u AB v, AC
Dạng 7 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Cơ sở:
+ A, B, C thẳng hàng ABcùng phương 0≠k :
AC
ABk AC
+ Nếu ABkCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=13
AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0
BCMA
ABNA AC
BÀI TẬP
Trang 4Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB + 3 = 5 CMR : B, C, D thẳng hàng.
AC
Bài 2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho = 3 ; +3 = và + =
MB
MC
NA
NC 0
PA
PB 0
a/ Tính , theo và
PM
PN
AB
AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Dạng 8 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
Cơ sở:
+ AB 0 A B
+ Cho điểm A và Có duy nhất M sao cho : a
AM a
+ ABAC B C AD; BD A B
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí của G biết AG2GD
Ví dụ 2 Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IA2IB 0
Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GCGD0
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
AD
BC
EF b/ CMR : + + + =
OA
OB
OC
c/ CMR : MA + + + = 4 (với M tùy ý)
MB
MC MD
MO d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA + + + nhỏ nhất
MB
MC
MD
Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : + + + =
AF
BG
CH
DE 0
MA
MB
MC
MD
ME
MF
MG
MH c/ CMR : AB AC + = 4 (với G là trung điểm FH)
AD
AG
Bài 3: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H
CMR : + + = 3
AD
BE
CF
GH
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/ + + + =
OA
OB
OC
EA
EB
EC
AB
EB
EA
ED
EC
Bài 5: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho =
AN
2
1 NC Gọi K là trung điểm của MN
AK
4
1 AB
6
1 AC
KD
4
1 AB 3
1 AC
Bài 6: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 , = 3 Gọi M là trung
DB
CE
EA điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
AM
3
1
AB 8
1
6
1 AB
8
3 AC ThuVienDeThi.com
