Chứng minh: SABM = SACM... Chứng minh: SABM = SACM.
Trang 1Môn : Toán
Thời gian: … phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày:…./…
Bài 1: (8 điểm)
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:
a1) A = x2 – x – y2 – y
a2) B = x2 – 5x + 6
b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chớnh phương
c) Cho a = ; b =
ncs1
11 1
n 1cs0
100 05
Chứng minh rằng: C = ab + 1 là một số chớnh phương
Bài 2: (8 điểm)
a) Cho xy = a; yz = b; zx = c (trong đú a, b, c khỏc 0)
Tớnh: D = x2 + y2 + z2
b) Cho abc = 2
E
ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khỏc 0
Rỳt gọn biểu thức: F a2 b2 c2
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho tam giỏc ABC, kẻ trung tuyến AM Chứng minh: SABM = SACM
b) Cho tam giỏc ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H
Chứng minh rằng: HA ' HB 'HC ' 1
AA ' BB ' CC '
Hết
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
Trang 2Bài 1 : (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a1) A = (x2 – y2) – (x + y) 0.50
= (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75
= (x + y)(x – y – 1) 0.75
a2) B = x2 – 2x – 3x + 6 0.50
= (x2 – 2x) – (3x – 6) 0.50
= x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50
b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương
Gọi số lẻ có dạng 2k + 1 (k N) 0.50
Ta có : 2k + 1= k2 + 2k + 1 – k2 1.00
= (k + 1)2 – k2 0.50
ncs1
a 11 1
n 1cs0
b 100 05
Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương
Ta có : 9a + 1 = 10n 0.50
0.25
ncs0
b 100 00 5
= 10n + 5 = 9a + 6 0.25
C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25
C = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 0.50
n 1cs3
33 3 4
Bài 2 : (8 điểm)
a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c Tính : D = x2 + y2 + z2
Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c Suy ra : x2y2z2 = abc
Do đó : x2b2 = abc 0.25
a2z2 = abc 0.25
x
b
2 ab
y c
2 bc z a
2 2 2 ac ab bc a b b c c a
x y z
b) Cho abc = 2 Tính giá trị của biểu thức sau:
1.00
E
ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
ab a 2 abc ab a ac 2c abc
1.00
ab a 2 2 ab a c(a 2 ab)
0.50
ab a 2 ab a 2 ab a 2
0.50
ab a 2
1
ab a 2
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0
Trang 3Rút gọn biểu thức : 2 2 2
F
0.75
a3 b3 c3
0.50
a3 b3 c3
abc
Mà : a + b + c = 0
Suy ra : a3 + b3 + c3 = 3abc 1.00
0.50
a3 b3 c3 3abc
0.25
3
Bài 3 : (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Chứng minh: SABM = SACM
Ta có :
0.50
ABM
1
S AH.BM
2
0.50
ACM
1
S AH.CM
2
Mà : BM = CM (AM là trung tuyến)
b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H
Chứng minh rằng : HA 'HB 'HC ' 1
AA ' BB ' CC '
Ta có : S = SABC
0.25
1BC.AA '
2
0.25
1CA.BB '
2
0.25
1AB.CC '
2
S = SHBC + SHCA + SHAB 0.25
Mà :
0.25
HBC
1
2
0.25
HCA
1
2
0.25
HAB
1
2
BC.HA ' CA.HB ' AB.HC ' S
BC.HA ' CA.HB ' AB.HC '
0.25
BC.HA ' CA.HB ' AB.HC '
BC.AA ' CA.BB ' AB.CC '
0.25
HA ' HB ' HC '
1
AA ' BB ' CC '
0.25
B
C A
H C' B'
A'
A