Bài giảng số 1: Thiết lập phương trình đường thẳng dạng tổng quát và tham số27698

Vi t ph ng trình đ ng th ng AB... Vi t ph ng trình các c nh AD BC CD.

a b,   a b ,   aa b b,  , k a b ,   ka kb, 

 a b,  a b,  a a

b b







 



 a b,   a b , a a b b ,   2 2

,

a b  a b ,  

cos ,

v v

v v

v v



 



 

 

 

 ABx Bx A, y B y A

AB AB  x x  y y

 M chia AB theo t s k MAk MB.  

 c bi t n u M là trung đi m AB ta có: ,

 G là tr ng tâm tam giác ABC ,

 Véc t pháp tuy n, véc t ch ph ng

+) Véc t n A B ; 

khác 0

và có giá vuông góc v i đ ng th ng  d đ c g i là véc t pháp tuy n

c a đ ng th ng  d

+) Véc t u a b ;

khác 0

và có giá song song ho c trùng v i đ ng th ng  d đ c g i là véc t

ch ph ng c a đ ng th ng  d

+) N u a0 thì k b

a

 đ c g i là h s góc c a đ ng th ng  d

+) Các véc t pháp tuy n (véc t ch ph ng) c a m t đ ng th ng thì cùng ph ng N u n A B ; 

là véc t pháp tuy n c a  d thì k n.k A k B ; 

c ng là véc t pháp tuy n c a   d

T NG QUÁT VÀ THAM S

 T a đ , véc t



+) Véc t pháp tuy n và véc t ch ph ng c a m t đ ng th ng thì vuông góc v i nhau N u

 ; 

n A B

là véc t pháp tuy n thì u B ;A

là véc t ch ph ng

 Ph ng trình đ ng th ng  d qua đi m M x y 0; 0, có ud  a b;

ho c nd A B; 

+) Ph ng trình tham s  d : 0

0

x x at

y y bt



  



+) Ph ng trình chính t c  d : x x0 y y0



+) Ph ng trình t ng quát  d : A x x0B y y00

 Ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m A x A;y A, B x B;y B: A A

y y

x x







 Ph ng trình đo n ch n:  d đi qua 2 đi m A a ; 0 , B  0;b a b, 0: x y 1

a b

 Nh n xét:

Ph ng trình đ ng th ng  d1 song song v i   d có d ng  d1 :AxByC0

Ph ng trình đ ng th ng  d2 vuông góc v i   d có d ng  d2 :BxAyC0

Ph ng trình đ ng th ng có h s góc k và đi qua đi m M x y 0; 0 là: yk x x0y0

 V trí t ng đ i c a hai đ ng th ng

Cho 2 đ ng th ng  d1 :A x1 B y1 C10 và  d2 :A x2 B y2 C2 0 Khi đó s giao đi m c a

 d1 và  d2 là s nghi m c a h ph ng trình: 1 1 1  

0 0

A x B y C

I

A x B y C





Trong tr ng h p  d1 và  d2 c t nhau thì nghi m c a  I chính là t a đ giao đi m

D ng 1: Tìm t a đ các đi m th a mãn đi u ki n cho tr c

 S d ng quan h thu c đ rút b t n

 S d ng quan h thu c, c ng nh các quan h khác đ thành l p ph ng trình

Ví d 1: Cho tam giác ABC có A 6; 4 , B 4; 1, C2; 4 

Page

a) Tìm t a đ tr ng tâm G c a ABC và trung đi m M c a BC

b) Tìm t a đ D sao cho M là tr ng tâm ABD và đi m E sao cho D là trung đi m EM c) Tìm t a đ đi m I sao cho t giác ABCI là hình bình hành

L i gi i

2

M

M

4

G

G

M  v G 

b) Ta có:

3

M

          ,

y  y y y      

Ta có:

2

D

 x E 2x Dx M 2       5 1 9, 2 2.21 5 37

y  y y     

      

c) T giác ABCI là hình bình hành  ABIC

 10; 5 2 x I; 4 y I

I

I

x

y

  



    



12 1

I

I

x y





  

 I12;1

Ví d 2:Cho 2 đi m A 1; 2 và B3;3 và đ ng th ng  d :x y 0

a) Tìm t a đ hình chi u c a A trên  d

b) Tìm t a đ đi m D đ i x ng v i A qua  d

c) Tìm giao đi m c a BD và  d

L i gi i

a) G i A là hình chi u c a A trên  d Ta có: nd 1; 1  ud  1;1

Do AA  d nên n AA u d  1;1

Khi đó ph ng trình AA là: x 1 y20    x y 3 0

Do AAA d nên t a đ A là nghi m h ph ng trình: 0

3 0

x y

x y

 



   



3 2

x y

  

V y 3 3;

2 2

A 

 

 

b) Do DAA nên D a ;3a, a1

D đ i x ng v i A qua  d d A d , d D d ,  1 2 3 

a a



 2a 3 1  

 

2 1

a tm

 

 





V y D 2;1

c) Ta có: BD5; 2 nBD  2;5

Khi đó ph ng trình BD là: 2x 2 5 y 1 0 2x5y  9 0

G i M BD d Khi đó t a đ M th a mãn: 0

2 5 9 0

x y

x y

 



   



9 7

x y

  

V y 9 9;

7 7

M 

 

Ví d 3: Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho ABC có C 1; 2, đ ng trung tuy n k t A và

đ ng cao k t B l n l t có ph ng trình là 5 x    và y 9 0 x3y   Tìm t5 0 a đ các đ nh A và

B

L i gi i

G i M là trung đi m BC và H là chân đ ng cao h t đ nh B xu ng AC

 1;3 3; 1

 

Do AC BH n AC u BH 3; 1 

1; 2 :

3; 1

AC

C AC n





 nên ph ng trình AC là:

3 x 1 y2 03x   y 1 0

Vì AACAM nên t a đ A là nghi m c a h :

 

1; 4

A

Page

Vì BBH B5 3 ; b b 4 3 ; 2

b b

M   

  (Vì M là trung đi m c a BC)

M t khác ta có: 5.4 3 2 9 0

b b

20 15b b 2 18 0

       b 0B 5; 0

Ví d 4: Cho tam giác ABC có B 1;5 và đ ng cao AH x: 2y 2 0, đ ng phân giác trong

CI x  y Tìm t a đ đ nh A và C

L i gi i

Vì BC qua B và vuông góc v i AH nên đ ng th ng

BC qua B 1;5 ,có VTPT n 2; 1 

T a đ đi m C là nghi m c a h ph ng trình:

4; 5

C

      

G i B’ là đi m đ i x ng c a B qua CI thì đ ng

th ng BB’ qua B 1;5 ,

có VTPT : n1  1;1

BB x y

G i K là giao đi m c a BB’ v i CI thì t a đ K là nghi m c a h ph ng trình

7

2

x

x y

x y

y

 



 



Vì K là trung đi m c a BB’ nên B' 6; 0 ,

Ph ng trình AC là B’CB C x' : 2y 6 0

T a đ A là nghi m: 2 2

2 6

x y

x y

 



  

  A4; 1 

V y : A4; 1 ,  C  4; 5

D ng 2: Ph ng trình đ ng th ng:

K

A

I B'

 Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 1 đi m và 1 ph ng (ph ng vuông góc là véc t pháp tuy n ho c ph ng song song là véc t ch ph ng)

 Tìm 2 đi m c a đ ng th ng đó Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m Tr ng h p này

có th quy v tr ng h p trên b ng cách: đi m đi qua là 1 trong 2 đi m và véc t ch ph ng là véc t n i 2 đi m

Ví d 5: Vi t ph ng trình đ ng th ng  d th a mãn m t trong các đi u ki n sau:

a)  d đi qua đi m A1; 2  có véc t ch ph ng u3; 1 

b)  d đi qua đi m A3; 4  và vuông góc v i đ ng th ng   :x4y20000

c)  d đi qua đi m A 1; 4 và song song v i đ ng th ng   1 2

:

L i gi i

a) u 3; 1 

 1;3

n

 

Vì    

 

1; 2

:

1;3

A

d

n







 nên  d có ph ng trình: x 1 3 y20 x 3y  5 0

b) Ta có: n 1; 4  u  4;1

Vì    d   n d u  4;1

Ta có:    

 

3; 4 :

4;1

d

A

d

n







 nên ph ng trình  d là: 4x 3 y40 4x   y 8 0

c) Ta có:   1 2

:

x y

 nên u 2; 3  n  3; 2

Vì    d  n d n  3; 2

 

1; 4 :

3; 2

d

A d n







 nên ph ng trình  d là:

3 x 1 2 y4 0 3x2y  11 0

Ví d 6: Cho tam giác ABC có t a đ các đ nh là A(1; -1), B(2; 0), C(-1; 1) Vi t ph ng trình đ ng phân giác trong c a góc A

L i gi i

Ta có AB(1; 1), AC( 2; 2)

t ( 1 ; 1 ), ( 1; 1 )



Page

Khi đó ta có véc t  i j (0; 2)

là véc t ch ph ng c a đ ng phân giác trong góc A

V y ph ng trình tham s c a đ ng phân giác trong góc A có d ng

1 ( ) 1

x

t R







   



Ví d 7: Cho hình ch nh t ABCD có đi m I 6; 2 là giao đi m c a 2 đ ng chéo AC và BD i m

 1;5

M thu c đ ng th ng AB và trung đi m E c a c nh CD thu c đ ng th ng   :x  y 5 0

Vi t ph ng trình đ ng th ng AB

L i gi i

Do ABCD là hình ch nh t nên I 6; 2 là trung đi m AC, BD và ACBD Do đó, ICD cân t i I ,

đ ng trung tuy n IE đ ng th i là đ ng cao IECD

G i N là đi m đ i x ng v i M qua I I là trung đi m

c a hai đ ng AC, MN nên t giác AMCN là hình bình

hành  AM CN mà AM CD nên C N D th, , ng hàng

Do IECD nên IEEN  IE EN 0

E  x  y E a ;5a

Do I là trung đi m c a MN nên

2

I

2 2.6 1 11

y  y y     N11; 1 

Vì IE NE  0

a 6;5 a 2  a 11;5 a 1 0

a 6  a 11 3 a  6 a 0

17 66 9 18 0

2a 26a 84 0

13 42 0

7

a a





  



+) V i a6: IEa6;3a  0; 3   3 0;1 

IE CD

AB CD







  ABIE n AB u IE  0;1

 

1;5 :

0;1

AB

M AB

n







 nên ph ng trình c a AB là: 0.x 1 y    5 0 y 5 0

+) V i a7: IE1; 4 

1; 4

AB

n IE

   

T đó ta đ c  

1;5 :

1; 4

AB

M AB n





 nên ph ng trình c a AB là:

x 1 4 y5  0 x 4y190

Ví d 8: Cho hình thoi ABCD có hai c nh AB và CD l n l t n m trên hai đ ng d1:x2y   ; 5 0

2: 2 1 0

d x y   Bi t r ng M3;3 thu c AD và đi m N1; 4 thu c BC Vi t ph ng trình các

đ ng th ng AD và BC

L i gi i

G i n a b;

là vtpt c a BC

BC a x b y

0

a b 

Có F5; 0AB

ABCD

S AB d AB CD BD d AD BC

d AB CD d AD BC

 , 2  , 

d F d d M BC

2 2

1 4

a b

11 2

b a





V i :b2a, ch n a   1 b 2 BC x: 2y 7 0

Vì AD qua M3;3 và song song v i BC nên: AD x: 2y 3 0

V i :11b 2a, ch n a11   b 2 BC:11x2y190

Vì AD qua M3;3 và song song v i BC nên: AD:11x2y390

d2: x-2y+1=0

d1:x-2y+5=0

B

A

C

D M(-3,3)

N(-1,4)

F(-5,0)

Page

Bài 1: Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B3; 4 và C 2; 0

a) Vi t ph ng trình đ ng trung tuy n AM S: AM y:  2

b) Vi t ph ng trình đ ng cao BK S: BK x: 2y  3 0

c) Vi t ph ng trình đ ng trung tr c c a AB S:

 

 

: 2 5 0 : 2 4 1 0 :10 8 21 0

AB

AC

BC

  

  

Bài 2: Cho tam giác ABC có A 0;1 , B2;3 và C 2; 0

a) Tìm t a đ tr c tâm H c a ABC S: H 9; 11

b) Tìm t a đ tâm I c a đ ng tròn ngo i ti p ABC S: 9 15;

2 2

I 

c) Vi t ph ng trình đ ng th ng qua ,I H và ch ng minh r ng IH đi qua tr ng tâm G c a ABC

S: IH: 37x27y36 , 0 0;4

3

G 

 

 

Bài 3: Cho tam giác ABC có A 4;1 , B 1;7 , C1; 0 Vi t ph ng trình t ng quát c a:

b) ng th ng BC S: BC: 7x2y  7 0

c) Trung tuy n AM S: AM: 5x8y28 0

d) Trung tr c c a AB S: d AB: 6x12y33 0

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB x:  3 0, BC: 4x7y23 , 0 AC: 3x7y  5 0

a) Tìm t a đ 3 đ nh , ,A B C và di n tích ABC S: 3; 2 ,   3;5 , 4;1

49 2

ABC

S





b) Tìm t a đ đi m A đ i x ng v i A qua BC S: 197 556;

65 65

A  

c) Tìm t a đ tr c tâm H và tr ng tâm G c a ABC S: 9;1 , 2 4;

H  G 

Bài 5: Cho 2 đi m A5; 2 , B 3; 4 Vi t ph ng trình đ ng th ng  d qua đi m C 1;1 và cách đ u

 

: 3 4 0 : 1

d x y

d y







Bài 6: Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng  d th a mãn đi u ki n:

a) i qua đi m A1; 2  và có h s góc b ng 3 S: 3x   y 5 0

b) Qua đi m B5; 2  và vuông góc v i đ ng th ng 2x5y  S: 54 0 x2y21 0

c) Qua g c O và vuông góc v i đ ng th ng 2 3

4

x

y 

S: 4x3y 0

d) Qua đi m I 4;5 và h p v i 2 tr c t a đ m t tam giác vuông cân S: 9 0

1 0

x y

x y

  



   

 e) Qua đi m A 3;5 và cách đi m H 1; 2 xa nh t S: 2x3y21 0

Bài 7: Cho tam giác ABC có ph ng trình các c nh BC: 2x   , đ ng caoy 4 0 BH x:    , y 2 0

đ ng cao CK x: 3y  Vi t ph ng trình các c nh còn l i c a tam giác 5 0

S: : 3 6 0

AB x y

AC x y

  

  

Bài 8: Cho hình ch nh t ABCD có ph ng trình c nh AB: 2x   , y 1 0 AD qua đi m M 3;1 và tâm

1

1;

2

I 

  Vi t ph ng trình các c nh AD BC CD , , S:

: 2 5 0 : 2 5 0 : 2 6 0

AD x y

BC x y

CD x y

  

  

  

Bài 9: Cho tam giác ABC có trung đi m M c a AB có t a đ 1;0

2

 

 , đ ng cao CH v i H1;1,

đ ng cao BKv i K 1;3 và bi t B có hoành đ d ng

a) Vi t ph ng trình c nh AB S: AB: 2x   y 1 0

b) Tìm t a đ , ,A B C S: A2;3 , B 1; 3 ,   C 3;3

Bài 10: Chuy n  d v d ng t ng quát bi t  d có ph ng trình tham s :

a) 2

3

x





  

b) 2

5 3

 



  

Page

c) 4 2

5 1

y t

 



  

Bài 11: Trong các đi m A1 2;1 , A21; 2, A3 1;3 , A41; 1 , 5 1; 2

2

A  

 , 6

7 1

;

3 3

A  

 , A7 3;1 , đi m

nào n m trên đ ng th ng  : 2

1 2

d

 



  

Bài 12: L p ph ng trình t ng quát, tham s c a đ ng th ng   đi qua A vuông góc v i  d bi t:

a) A3; 3 ,  d : 2x5y 1 0 S:

: 5 2 9 0

3 2 :

3 5

PTTQ x y

PTTS

  

 



   



b) A 4; 2 ,  d Oy S:

: 2 4 : 2

PTTQ y

PTTS

y



 



 



c) A1; 6 ,  : 1

2 2

d

 



  

: 2 11 0

1 2 :

6

PTTQ x y

PTTS

 



   



d) A 2; 5,   3 1

:

: 2 1 0

2 :

5 2

PTTQ x y

PTTS

  

  



   



Bài 13:Cho các đi m A 2;1 , B 3;5 , C1; 2

a) Ch ng minh r ng , ,A B C là 3 đ nh c a m t tam giác S: AB khác ph ng AC

b) L p ph ng trình các đ ng cao c a ABC S:

: 4 3 11 0 : 3 4 0 : 4 7 0

A

B

C

h x y

h x y

h x y

  

  

c) L p ph ng trình các c nh c a ABC S:

: 4 7 0 : 3 5 0 : 3 4 11 0

AB x y

AC x y

BC x y

  

  

d) L p ph ng trình các đ ng trung tuy n c a ABC S:

: 5 2 12 0 : 7 5 4 0 : 2 7 16 0

A

B

C

k x y

k x y

  

e) L p ph ng trình các đ ng trung tr c c a ABC S:

: 2 8 29 0 : 8 6 29 0 : 3 0

AB

BC

AC

d x y

 

Bài 14: L p ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng   đi qua A và song song v i  d bi t:

a) A 1;3 ,  d :x  y 1 0 S: x   y 2 0

b) A2;5,  d Ox S: y 5

c) A1;1,   1

:

2 2

d

 



   

d) A 3; 5,   2 3

:

Bài 15: Cho tam giác ABC v i B 1; 2 và C4; 2 , di n tích tam giác b ng 10

a) Vi t ph ng trình đ ng th ng BC và tính đ dài đ ng cao AH

S: BC: 4x3y100,AH  4 b) Tìm t a đ đi m A bi t A thu c tr c tung S:   10

0;10 , 0;

3

Bài 16: Cho hình vuông ABCD có AB: 3x2y  , 1 0 CD: 3x2y  , và tâm 5 0 I thu c đ ng

th ng  d :x  y 1 0

b) Vi t ph ng trình đ ng th ng AD BC , S: 2x3y0; 2x3y  6 0

Bài 17: Trong m t ph ng Oxy , cho ABC có A2; 3 , B3; 2 , di n tích tam giác b ng 3

2 và tr ng

tâm G thu c đ ng th ng  d : 3x  y 8 0 Tìm t a đ đ nh C S: C1; 1 ,  C  2; 10

Bài 18: L p ph ng trình t ng quát, tham s c a đ ng th ng  d bi t:

a) i qua đi m M1; 2  và có véc t pháp tuy n n  3; 2

S:

: 3 2 7 0

1 2 :

2 3

PTTQ x y

PTTS

  

 



   

 b) i qua đi m M 3;1 và có véc t pháp tuy n u   4; 1

S:

: 4 1 0

3 4 :

1

PTTQ x y

PTTS

  

 



  



Page

c) i qua 2 đi m A1; 4 , B2;1 S:

: 5 3 7 0

1 3 :

4 5

PTTQ x y

PTTS

  

 



   



d)  d là trung tr c c a AB v i 1;1

2

A 

 

  và B2; 1  S:

5 4

3

PTTS

  





 



e) i qua đi m M 7;3 và có h s góc 2

3

: 2 3 23 0

7 3 :

3 2

PTTQ x y

PTTS

 



  



Bài 19: Chuy n  d v d ng tham s bi t  d có ph ng trình t ng quát:

2

x t PTTS

y t





 



3 : x 2

PTTS

y t

 





 



2 3

PTTS

 



  



Bài 20: Cho ABC có A1; 2, B4; 3 , C 2;3

a) L p ph ng trình đ ng trung tr c c a AB S: x   y 2 0

b) L p ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m M 3; 7 và vuông góc v i đ ng trung tuy n k t A c a

ABC

Bài 21: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho ABC có C 1; 2, đ ng trung tuy n k t A và đ ng

cao k t B l n l t có ph ng trình là 5x   và y 9 0 x3y  Tìm t a đ các đ nh 5 0 A và B

S: A   1; 4 , B 5;0

Bài 22: Trong m t ph ng v i h to đ Oxy , cho ABC có M 2; 0 là trung đi m c a c nh AB ng

trung tuy n và đ ng cao qua đ nh A l n l t có ph ng trình là 7x2y  và 63 0 x   Vi t y 4 0

ph ng trình đ ng th ng AC S: AC: 3x4y  5 0