Khái ni m nguyên hàm và tính ch t1..
Trang 1Khái ni m nguyên hàm và tính ch t
1 Khái ni m nguyên hàm
h h f x( ) h K H F x( ) g i nguyên hàm h
( )
f x trên K F x( ) f x( ), x K
N F x( ) g h f x( ) trên K h h nguyên hàm h f x( ) trên K
f x dx F x C const C
2 Tính ch t N f x( ), ( )g x h i K và k 0 thì ta luôn có:
( ) ( )
f x dx f x C kf x dx( ) k f x dx( )
f x g x dx f x dx g x dx
ng nguyên hàm c m t hàm th ng g p v i C à h ng t y
1
1
x
1
1 ( )
1
n
1 dx lnx C
x
ln
x
(ax b) dx a ax b C
sin(ax b dx) cos(ax b) C
a
cos(ax b) dx sin(ax b) C
a
cot( ) sin (ax b)dx a ax b C
tan( ) cos (ax b)dx a ax b C
a
ln
x
1 ln 2
C
Nh n xét Khi thay x g (ax b) h g h h h 1
a
PH N 1: NGUYÊN HÀM VÀ PH NG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Trang 2M t u
1 v g g g h
2. Ng h h h g hi h h g
h h g g h h g h h h h
3. M g h h h i h
h g h g h v g g
h
D ng toán TÍNH NGUYÊN HÀM NG NG NGUYÊN HÀM
BÀI T P V N D NG
( ) 3
2
a
4
a
1 T h h h ũ h h i i
2 T h h ũ h i i he ô g h ũ
3 h ă h v ũ h
4 T h g gi i v i h i i he ô g h h h h
g
5. B c ch n c a sin và cosin H b c
Ph ng Pháp
Tìm nguyên hàm c a các hàm s gi i i h
P p áp: D a vào b ng nguyên hàm c a các hàm s và v n d ng các tính ch t
nguyên hàm
Bài 1
Trang 3c) f c( ) 6c5 12c3 c2 8 ĐS: 6 4 3
3
c
d) f x( ) (x2 3 ) (x x 1) ĐS: ( ) 4 2 3 3 2
( ) (3 )
4
x
2
( )
3
3 3
x
g) ( ) 10 2x
2 ln10
x
4
x
i)
4
( ) t
f t
3
t
j) f x( ) x 21
x
( ) 2 sin
2
x
2 4
( ) tan
sin cos
f x
Trang 4o) f x( ) 2 sin 3 cos 2 x x ĐS: ( ) 1cos 5 cos
5
2
x x
cos
x
2
1 2
x
3
t)
2
4 sin
v) 1 cos 4
2
x
(3 cos 3x )
ln 3
x
(tan 2 cot )
.( 4)
7
Trang 5a) F x( ) 5x3 4x2 7x 120và f x( ) 15x2 8x 7.
b) F x( ) ln(x x2 3)và 2 1 ( ) 3 f x x
c) ( ) (4 5) x F x x e và ( ) (4 1) x f x x e
d) F x( ) tan4x 3x 5 và f x( ) 4 tan5x 4 tan3x 3
e) 2 2 4 ( ) ln 3 x F x x và 2 2 2 ( ) ( 4) ( 3) x f x x x
f)
2 2 2 1 ( ) ln 2 1 x x F x x x và 2 4 2 2( 1) ( ) 1 x f x x
Ch ng minh là m t nguyên hàm c a hàm s g ng h p sau:
Bài 2
Trang 6a) f x( ) x3 4x 5, (1)F 3 ĐS: 4 2 5
x
b) f x( ) 3 5 cos , ( )x F 2 ĐS: F x( ) 3x 5 sinx 2 3
c)
2
3 5 ( ) x , ( ) 1
d) ( ) 2 1, (1) 3
2
x
2
x
e) f x( ) x x 1 , (1)F 2
f) I sin 2 cos ,x x dx i 0
3
Tìm nguyên hàm c a các hàm s th ã i u ki h g ng h p
sau:
Bài 3
Trang 7g) I 3x4 22x3 5 dx,
x
( 1)
x
x
sin , 2
x
F x
2
x
k) 2 cos22 1 ,
cos
x
4 2
a)
2
( ) 3 10 4
T i u ki n c a tham s m ho c a, b, c là m t nguyên hàm c a hàm s
đó ta s d ng đ ng nh t th c đ tìm ra tham s c n tìm
Bài 3
Trang 8
b) 2 2 ( ) ln 5 2 3 ( ) 3 5 F x x mx x f x x x ĐS: m 3
c) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) x x F x ax bx c e f x x e ĐS: a 0, b 1, c 4
d) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e f x x x e ĐS: a 1, b 3, c 2
e) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e f x x x e ĐS: a 1, b 1, c 1
f) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin 3 ( ) cos b c F x a x x x f x x ĐS: a b c 0
Trang 9
g)
2
2
20 30 7 ( )
2 3
f x
x
ĐS: a 4, b 2, c 1
h) ( ) 32 , ( 3) ( ) ( ) 3 f x x x x F x ax bx c x ĐS: 2; 2; 12 5 5 5 a b c
BÀI T P TR C NGHI M NHÓM 1 : DÙNG B NG NGUYÊN HÀM Câu 1. Ng h h 3
3 2 f x x x h g h
A 4 2 3 2 4 2 x x F x x C B 4 2 3 2 3 x F x x x C C 4 2 2 4 2 x x F x x C D F x 3x2 3x C Câu 2. H 3 2 5 4 7 120 F x x x x C h g h h
C
3
x là
A
3
2 3
ln
3 2
x
3
2 3
ln
3 2
x
C
3
2 3
ln
3 2
x
2
1
2 3
A
3
2 3
2
3 2
x
3
2 2
2
3 3
x
3
2 2
2
3 3
x
Trang 10Câu 5. Nguyên hàm F x h 2 2 32
5 2
f x
x x x h
ln 5 2 2 ln
ln 5 2 2 ln
ln 5 2 2 ln
ln 5 2 2 ln
A 3x2 6x B 3x2 6x C C
4 3 5 4
x
x x C D x4 x3 5x C
( ) 3
A
4 3 4
x
5 3 5
x
D
3 3 3
x
A 3x2 6x B 3x2 6x C C
4 3 5 4
x
x x C D x4 x3 5x C
6 3
3
x
A
3
ln 2 3
x
2
1 2
A
4
x
4
x
C
4
1 4
x
4
1 4
x
Câu 12. G i F x( ) h g h h f x( ) 3x2 2x 1 thì F x( )là:
A F x( ) 3x3 2x2 x C B F x( ) x3 x2 1 C
( )
A
3 2 1 ( )
3
x
3 2 1 ( )
6
x
Trang 11C
( )
2 3
2
6
x
x là:
A
2
1 ( )
F x
x
B
2
1 ( )
F x
x
( )
F x
x
x
A F x( ) 3 cosx 2 lnx C B F x( ) 3 cosx 2 lnx C
C F x( ) 3 cosx 2 lnx C D F x( ) 3 cosx 2 lnx C
( )
ln 3
x
( )
ln 3
x
C
3 3 ( )
3 ln 3
x
x
3 3 ( )
3 ln 3
x
x
( ) 1 10
10
( ) 1 10
10
2
f x x x
A
4
4
4 3
x
4 2
4
x
C
3 2
3
x
3
( ) 3
3
( ) (2 1)
(2 1)
4 (2x 1) C C 2(2x 1)4 C D K t qu khác
(1 2 )
6 (1 2 )x C C 5(1 2 )x 6 C D 5(1 2 )x 4 C
Trang 12Câu 22. Ng h h f 2x 32
x là :
A 2 3
2 2
3
x
C x2 3 lnx2 C D K t qu khác
( ) ( )( 1)
f x x x x và f(0) 3
A
4 2
4 2
y f x
C
4 2
A F x( ) x3 x2 3x B F x( ) x3 x2 3x 1
C F x( ) x3 x2 3x 2 D F x( ) x3 x2 3x 1
x
A
2
1 5
x
2
1 5
x
2
1 5
x
2
x là
A
3
3 4
3 ln
x
3
3 3
3 ln
x
B
3
3
3 4
x
3
3 4
3 ln
x
f x x x x h ã F 1 0 là:
A
4
x
4
x
C
4
1 4
x
4
1 4
x
NHÓM 2: HÀM S VÔ T ( CH A CĂN
2x 1
x
2
Trang 13Câu 30. T g h h ( ) 1
3
f x
x
x 2x 1 2x 1 3
x 2x 1 2x 1 3
3
x 2x 1 2
x 5 3x 5 3x 9
x 5 3x 5 3x 3
x 5 3x 5 3x 9
3
4
4
3
2 3 1
3
( ) 1 3x
x 1 3x 1 3x
4
x 1 3x 1 3x 4
x 1 3x 1 3x 4
2 3
x 1 3x
1 1 2016
2
2
5
1 3
f x
x h F x h ã 2
1 3
F Khi ó F x h
1 3x 3 3
1 3x 3 3
1 3x 1 3
4 1 3x 3
F x
Trang 14Câu 37. Bi F x( ) 6 1 x g h h ( )
1
a
f x
x
Khi ó gi
a g
6
2dx
x
A
2 2
2
x
2 2
x
D 2
2
x C x
x Khi ó
A
2
1
x
B f x dx x lnx C
C
2
1
x
D
2
1 2
f x dx
x
1 2
f x
x thì F x( )là:
( ) ln 1 2
2
( ) ln 1 2 2
2 ( ) x
x
A 5 3 5
4 ln
3
4 ln
C 33 5
4 ln
3
4 ln
( )
f x x k v i k 0?
x
2
k
2
1 ( )
f x
Trang 15Câu 44. T g h
(III)
2
1 ( )
1
f x
x
(IV)
2
1
1
f x
x
Hàm s nào có m t nguyên hàm là hàm s F x( ) lnx x2 1
A Ch (I) B Ch (III) C Ch (II) D Ch (III) và (IV)
2
( )
x h
3 3
( ) 3
x
C
2 3
( )
A
2017 2
5
x
e
2017 3
2
x
e
C
2017 2
3
x
e
2017 2
2
x
e
NHÓM 3: HÀM S L NG GIÁC
6
( ) sin 3
6
( ) sin 3
( ) sin 3
1 a )
2
A ( ) 2 tan
2
x
2
x
( ) tan
2 2
x
2
x
2
1 ( )
sin
3
f x
x
3
( ) cot
Trang 16C ( ) cot
3
( ) cot
cos
f x
x là:
A 2 tan x C B 2 cotx C C 2 sin x C D 2 cos x C
sin
f x
x là:
A 3x tanx C B 3x tanx C C 3x cotx C D 3x cotx C
4
cos sin
2
cos sin
2
là:
A x2 cosx 2 sinx 2 B x2 cosx 2 sinx 2
C 2 cosx 2 sinx D x2 cosx 2 sinx 2
A
3 tan 3
x
B
3
2
3 cos
x
x
3
2 sin cos
x x
A cos 2x B 1
sin 2
2 x C 2 sin2x D cos x2
( ) sin cos
sin 4 4
sin 4
sin 4
4x 16 x D
3 1
cos 4
4x 4 x
sin 2 3
cos 2 6 2
cos 2 2
cos 2 2
Trang 17Câu 59. H g h h f x 2 sin 2x?
sin
cos 2 2
( ) 1 tan
F x x dx hi ó F x( ) là:
A
2
1 ( )
cos
Câu 62. G i F x( ) h g h h f x( ) sin 2x thì F x( )là:
( ) cos 2 2
F x x C B F x( ) 2 sin 2x C
( ) cos 2
2
f x x h ã F1(0) 0 và F x2( )là nguyên
f x x h ã F2(0) 0 Khi ó h g h F x1( ) F x2( ) có ghi
2
2
A 1 3
cos
3
cos x C C 1 3
sin
3 x C D Đ h
A F x cos 6x B F x sin 6x
sin 6 sin 4
1 sin 6 sin 4
A 1 cos 6 cos 2
B 1 cos 8 cos 2
C cos 8x cos2x D Đ h
Trang 18C F x cosx C D F x cosx C
i i hi
2
A F x sin x B F x sin x
2
1 cos 3x 1 dx
A F x tan 3 – 1x C B F x cot 3 – 1x C
C 1 tan 3 – 1
3
3
tan
4
A ( ) tan
4
4
4
4
A 1
cos(3 1)
3 x C B
1 cos(3 1)
3 x C C cos(3x 1) C D K t qu khác
Câu 72. Tìm (cos 6x cos 4 )x dx là:
sin 6 sin 4
6 x 4 x C B 6 sin 6x 5 sin 4x C
sin 6 sin 4
6 x 4 x C D 6 sin 6x sin 4x C
(I) f x( ) tan2x 2 (II) ( ) 22
cos
f x
x (III) f x( ) tan2x 1 Hàm s nào có m t nguyên hàm là hàm s g(x) = tanx
A (I), (II), (III) B Ch (II), (III) C Ch (III) D Ch (II)
A 1
cos 5 cos
1 cos 5 cos
C 5 cos 5x cosx C D K t qu khác
Trang 19Câu 75. L h h g ú g
A cotxdx ln sinx C B sinxdx cosx C
C
2
x x
D cosxdx sinx C
2 cos sin 2
2 cos sin 2
2 cos 2 sin 2
2 cos sin 2
2 2
( ) sin sin 3 (sin 2 - sin 4 )
1 ( ) tan tan
3
2
2 3
x
A Ch (I) và (II) B Ch (III) C Ch (II) và (III) D Ch (II)
A
4 (cos 1) 4
x
4 sin 4
x
4 (sin 1) 4
x
C D 4(sinx 1)3 C
(I)F x( ) x cosx là m t nguyên hàm c a
2 ( ) sin - cos
f x
(II)
4
4
x
F x x là m t nguyên hàm c a f x( ) x3 3
x
(III) F x( ) tanx là m t nguyên hàm c a f x( ) - ln cosx
M h nào sai ?
A (I) và (II) B Ch (III) C Ch (II) D Ch (I) và (III)
2
x
dx
( ) cos
3 2
x
( ) cos
3 2
x
( ) cos
2 2
x
( ) cos
2 2
x
( ) sin 4
( ) sin
4
Trang 20C 1 4
( ) cos 4
( ) cos
4
tan
f x x h ã F 0 3 là:
cos
4
4
cos 2 3
cos 2 4 2
sin
2
cos 2 3 2
A. sin cosx xdx cos sinx x C B. 1
sin cos cos 2
2
C.
3
cos sin
3
x
3
sin cos
3
x
cos 3 cos sin 4 sin 2
sin 3 cos cos 4 cos 2
sin 3 cos cos 3 sin
3
sin cos
4
x
sin cos
x dx
A F x cos – sinx x C B F x cosx sinx C
C F x cot – tanx x C D F x cot – tanx x C
Câu 88. Tìm nguyên hàm 2 sin 3 cos 2 x x dx ?
cos 5 cos
cos 5 cos