S GD& T Ngh An
TR NG THPT QU NH L U 3 K THI TH THPT QU C GIA N M 2015 – Môn Toán. Th i gian 180 phút T 1
Ngày thi: 21/3/2015
Câu I.(2 đi m) Cho hàm s y x= 3−3x 2 − ( C ). 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C ).
2. Tìm m đ đ ng th ng d: y = mx – 1 c t đ th (C ) t i ba đi m phân bi t.
Câu II.(1,5 đi m) Gi i các ph ng trình sau:
1. 3sin 2x−cos2x=4sinx − 1
2 ( ) 2
log 4x −3log x − =7 0
Câu III.(1 đi m) Tính di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i các đ ng :
ln ; 0;
y= x y = x e =
Câu IV.(1 đi m) Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đ u c nh a, tam giác ABC cân
t i C. Hình chi u c a S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh AB; góc h p b i
c nh SC và m t đáy là 30 0 .
1. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
2. Tính kho ng cách c a hai đ ng th ng SA và BC.
Câu V. (1 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x+ y+z+1=0.
1. Vi t ph ng trình m t c u có tâm I(1;1;0) và ti p xúc v i mp(P).
2. Vi t ph ng trình m t ph ng ch a tr c Ox và vuông góc v i mp(P).
Câu VI.(1 đi m) Trong m t ph ng Oxy, cho hình ch nh t ABCD có AB=2BC. G i H là
hình chi u c a A lên đ ng th ng BD; E,F l n l t là trung đi m đo n CD và BH. Bi t
A(1;1), ph ng trình đ ng th ng EF là 3x – y – 10 = 0 và đi m E có tung đ âm.
Tìm t a đ các đ nh B, C, D.
Câu VII. ( 1,5 đi m )
1. Gi i h ph ng trình
2
+ + = −
2. M t h p đ ng 10 viên bi đ , 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. L y ng u nhiên 4 viên
bi. Tính xác su t đ các viên bi l y đ c đ c 3 màu.
Câu VIII.( 1 đi m ) Cho các s th c d ng a, b, c th a mãn ab ≥ ; 1 c a b c ( + + ) ≥ 3 .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 2 6ln( 2 )
/ H t /
H và tên thí sinh SBD:
C m n th y Nguy n Thành Hi n https://www.facebook.com/HIEN.0905112810
ã chia s đênwww.laisac.page.tl
Trang 2I
2 đ
1
1 đ
1/ T p xác đ nh: ℝ 2/ S bi n thiên +) Chi u bi n thiên: y’=3x 2 – 6x = 3x(x – 2); y’ = 0⇔x = 0 ho c x = 2 y’>0⇔x<0 ho c x>2; y’<0 ⇔ 0<x<2
V y, hàm s đ ng bi n trên các kho ng ( ;0) −∞ và (2;+∞ ) ; hàm s ngh ch bi n trên kho ng (0;2).
+) C c tr Hàm s đ t c c đ i t i x=0 và yC =1;
hàm s đ t c c ti u t i x=2 và yCT=5.
+) Gi i h n t i vô c c
3
2
3 1 lim lim 1
x x
→−∞ →−∞
= − − = −∞
3
2
3 1 lim lim 1
x x
→+∞ →+∞
= − − = +∞
+) B ng bi n thiên:
y
−∞
1
5
+∞
3/ th
th nh n đi m I(1;3) làm đi m đ i x ng
th đi qua các đi m (1;5);(0;1);(1;3);(2;5);(3;1)
0.25
0.5
0.25
2.
S giao đi m c a đ th (C) và đ ng th ng d b ng s nghi m c a ph ng trình
3 3 2 1 1 (1)
2
0
3 0 (2)
x
=
đ ng th ng d c t đ th (C) t i 3 đi m phân bi t thì ph ng trình (2) ph i có hai nghi m phân bi t khác 0 hay 0 0 9
9 4 0
4
m
m
≠
− ≠
⇔
+ > > −
0.25 0.25
0.5
2
2
4
6
5
5
1
3
Trang 31.5đ
1.
0.75đ
2
3sin 2 cos2 4sin 1 2 3sin cos 1 cos2 4sin 0
2 3sin cos 2sin 4sin 0 2sin 3 cos sin 2 0
sin 0 sin 0
,
6
x
k
π
=
=
ℤ
0.25 0.25
0.25
2
0.75đ
gpt: ( ) 2
log 4x −3log x − =7 0 K: x>0
2
2
2
1 log 1
=
i chi u đi u ki n ta có các nghi m 1
2
x = ; x = 8 .
0.25 0.25
0.25
III.
1 đ
Xét ph ng trình lnx = ⇔ = 0 x 1
Di n tích hình ph ng là
1
1
1
1
1
e
e
x
e
∫
0.25
0.5
0.25
IV
1 đ
1.
0.5 đ
G i H là trung đi m c nh AB ta có
SH là đ ng cao c a hình chóp S.ABC và CH là đ ng cao tam giác ABC. T gi thi t ta đ c
· 30 0
SCH = Tam giác SHC vuông t i
H nên
2
ây, th tích kh i chóp S.ABC là:
3
a
V = SH AB CH = (đvtt)
0.25
0.25
2.
0.5 đ
D ng hình bình hành ABCD, khi đó
d BC SA =d BC SAD = d B SAD = d H SAD
G i G, K l n l t là hình chi u c a H trên các đ ng th ng AD và SG ta có:
( )
AD HG
AD SH
⊥
⊥
mà HK SG ⊥ nên HK ⊥ (SAD ) hay d H SAD( , ( ) ) = HK
Tam giác SHG vuông t i H nên
0.25
B
S
D
H
G K
Trang 42 2 2 2 2 2 2
a
HK
HK = HG + HS = HB +HC +HS = a ⇒ =
V y, ( , ) 3
13
a
V
1 đ
1
0.5 đ
Vì m t c u (S) có tâm I(1;1;0) và ti p xúc v i mp(P) nên bán kính c a m t c u
là ( ,( )) 1 1 0 1 3
3
r d I P = = + + + =
V y, ph ng trình m t c u (S) là: ( ) ( 2 ) 2 2
x− + y− +z =
0.25
0.25
2
0.5 đ
G i mp α( ) là m t ph ng c n tìm. Tr c Ox ch a đi m O và véct ri = (1;0;0) , mp(P) có vtpt n = r (1;1;1) . mp α( ) ch a tr c Ox và vuông góc v i m t ph ng (P) nên nó qua đi m O và nh n u=n i , =( 0;1; 1 − )
r r r
là véct
V y, ph ng trình mp α( ) : y – z = 0
0.25 0.25
VI
1 đ
G i E,F,G l n l t là trung đi m các
đo n th ng CD, BH AB. Ta ch ng
minh AF EF ⊥
Ta th y các t giác ADEG và ADFG
n i ti p nên t giác ADEF c ng n i
ti p, do đó AF EF ⊥
ng th ng AF có pt: x+3y4=0.
T a đ đi m F là nghi m c a h
17
;
5
x
x y
=
− =
( )
2
2
1 2 2 ;
− → = ⇔ − + − =
∼
Theo gi thi t ta đ c E − ( 3; 1 ) , pt AE: x+y2=0. G i D(x;y), tam giác ADE vuông cân t i D nên
hay D(1;1) D(3;1)
AD DE
=
= −
Vì D và F n m v hai phía so v i đ ng th ng AE nên D(1;1).
Khi đó, C(5;1); B(1;5). V y B(1;5); C(5;1) và D(1;1).
0.25
0.25
0.25 0.25
G
E
F H
Trang 51
0.75đ
Gi i h pt:
2
2 6 1 (1)
+ + = −
1
x y
x
+ + ≥
≥ −
+) N u y ≥ , đ h có nghi m thì 1 0 ≥ ≥y 0
(1) 1 1
⇒ >
+) N u y<0, t (2) suy ra x>0
( ) ( )
2
2
2
9 2
9
t
t
+
= + > = > ∀ >
+
2
y
Th vào pt(1) ta có ph ng trình 2 9 2 y 6 1 y
y + + = − (4). Hàm s
2
9
y
= + + đ ng bi n trên ( −∞ ;0 ) ; hàm s h(y)=1y ngh ch bi n trên
( −∞;0 ) và ph ng trình có ngi m y=3 nên pt(4) có nghi m duy nh t y=3.
V y, h có nghi m duy nh t (1;3).
0.25
0.25
0.25
2
0.75đ
T ng s viên bi trong h p là 24. G i W là không gian m u.
L y ng u nhiên 4 viên trong h p ta có 4
24
C cách l y hay n(W )= 4
24
C
G i A là bi n c l y đ c các viên bi có đ c 3 màu. Ta có các tr ng h p sau:
+) 2 bi đ , 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 1
10 8 6 2160
C C C = cách +) 1 bi đ , 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 1
10 8 6 1680
C C C = cách +) 1 bi đ , 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 2
10 8 6 1200
C C C = cách
Do đó, n(A)=5040
V y, xác su t bi n c A là ( ) ( ) 5040 47,4%
( ) 10626
n A
P A
n
W
0.25
0.25 0.25
Trang 61 đ
Ta ch ng minh đ c các B T quen thu c sau:
)
1 a 1 b 1 ab
1
2
ab
Th t v y,
1 0
⇔ − − ≥ luôn đúng vì ab ≥ 1 . D u “=” khi a=b ho c ab=1
1
2
ab
+ ≤ ⇔ − ≥ D u “=” khi ab=1.
2
ab
2
2
t t a b= + +2 ,c t > ta có: 0
( )
2
2
16 1
'( )
t
t
f t
+
BBT
f(t)
5+6ln4
V y, GTNN c a P là 3+6ln4 khi a=b=c=1.
0.25
0.5
0.25
Chú ý : H c sinh làm cách khác đúng v n cho đi m t i đa !!!
C m n th y Nguy n Thành Hi n https://www.facebook.com/HIEN.0905112810
ã chia s đênwww.laisac.page.tl
