Tính th tích l ng tr.. Tính th tích l ng tr... Tính th tích l ng tr.. Tính AC' và th tích l ng tr... Tính th tích l ng tr.. Tính th tích l ng tr và di n tích tam giác ABC'.
Trang 1c b
a
M
B A
CHUYÊN : PH NG PHÁP LUY N T P
TH TÍCH KH I A DI N
I Ôn t p ki n th c c b n:
ÔN T P 1 KI N TH C C B N HÌNH H C L P 9 -
10
1 Ha) th c l ng trong tam giác vuông : cho nh lý Pitago : 2 2 2 DABCvuông A ta có :
BC = AB + AC b) BA2 = BH.BC; CA2 =CH.CB
c) AB AC = BC AH
d) 1 2 1 2 1 2
AC AB
e) BC = 2AM
f) sin B b, os c B c, tan B b, cotB c
g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a =
sin cos
B = C ,
b = c tanB = c.cot C
2.H th c l ng trong tam giác th ng:
* nh lý hàm s Côsin: a2
= b2 + c2 - 2bc.cosA
* nh lý hàm s Sin: 2
sin sin sin
R
A= B = C =
3 Các công th c tính di n tích
a/ Công th c tính di n tích tam giác:
1
2
S = a.ha = 1 sin . ( )( )( )
a b c
R
2
a b c
=
c bi t :*DABC vuông A : 1
2
S = AB AC,* DABC đ u c nh a:
2
3 4
a
S =
b/ Di n tích hình vuông : S = c nh x c nh
c/ Di n tích hình ch nh t : S = dài x r ng
d/ Diên tích hình thoi : S = 1
2(chéo dài x chéo ng n)
d/ Di n tích hình thang : 1
2
S = (đáy l n + đáy nh ) x chi u cao
e/ Di n tích hình bình hành : S = đáy x chi u cao
f/ Di n tích hình tròn : 2
S = p R
ÔN T P 2 KI N TH C C B N HÌNH H C L P 11
Trang 2A.QUAN H SONG SONG
§1 NG TH NG VÀ M T PH NG SONG SONG
I nh ngh a:
ng th ng và m t
ph ng g i là song song
v i nhau n u chúng
không có đi m nào chung
a//(P) a (P) Û Ç =Æ
a
(P)
II Các đ nh lý:
L1:N u đ ng th ng d
không n m trên mp(P) và
song song v i đ ng
th ng a n m trên mp(P)
thì đ ng th ng d song
song v i mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
ì Ë
í
ï Ì î
d
a
(P)
L2: N u đ ng th ng a
song song v i mp(P) thì
m i mp(Q) ch a a mà c t
mp(P) thì c t theo giao
tuy n song song v i a
a/ /(P)
a (Q) d/ /a (P) (Q) d
ì
í
î
d
a (Q)
(P)
L3: N u hai m t ph ng
c t nhau cùng song song
v i m t đ ng th ng thì
giao tuy n c a chúng
song song v i đ ng
th ng đó
(P) (Q) d (P)/ /a d/ /a (Q)/ /a
í ï î
a d
Q P
I nh ngh a:
Hai m t ph ng đ c g i
là song song v i nhau n u
chúng không có đi m nào
chung
(P)/ /(Q) (P) (Q) Û Ç =Æ
Q P
II Các đ nh lý:
L1: N u mp(P) ch a
hai đ ng th ng a, b c t
nhau và cùng song song
v i m t ph ng (Q) thì
(P) và (Q) song song v i
nhau
a,b (P)
a b I (P)/ /(Q) a/ /(Q),b/ /(Q)
ì Ì
í ï î
I b a
Q P
Trang 3L2: N u m t đ ng
th ng n m m t trong hai
m t ph ng song song thì
song song v i m t ph ng
kia
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
ì
Þ í
Ì î
a
Q P
L3: N u hai m t ph ng
(P) và (Q) song song thì
m i m t ph ng (R) đã
c t (P) thì ph i c t (Q) và
các giao tuy n c a chúng
song song
(P) / /(Q) (R) (P) a a / /b (R) (Q) b
ì
í
a R
Q P
§1 NG TH NG VUÔNG GÓC V I M T PH NG
I nh ngh a:
M t đ ng th ng đ c
g i là vuông góc v i m t
m t ph ng n u nó vuông
góc v i m i đ ng th ng
n m trên m t ph ng đó
a mp(P) a c, c (P)^ Û ^ " Ì
a
II Các đ nh lý:
L1: N u đ ng th ng d
vuông góc v i hai đ ng
th ng c t nhau a và b
cùng n m trong mp(P) thì
đ ng th ng d vuông góc
v i mp(P)
d a,d b a,b mp(P) d mp(P) a,b caét nhau
í ï î
d
a b P
L2: (Ba đ ng vuông
góc) Cho đ ng th ng a
không vuông góc v i
mp(P) và đ ng th ng b
n m trong (P) Khi đó,
đi u ki n c n và đ đ b
vuông góc v i a là b
vuông góc v i hình chi u
a’ c a a trên (P)
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
^ Û ^
a'
a
b P
I nh ngh a:
Hai m t ph ng đ c g i là vuông góc v i nhau n u góc gi a chúng b ng 900
Trang 4
Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com
II Các đ nh lý:
L1:N u m t m t
ph ng ch a m t đ ng
th ng vuông góc v i m t
m t ph ng khác thì hai
m t ph ng đó vuông góc
v i nhau
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
ì ^
í Ì î
Q
P a
L2:N u hai m t ph ng
(P) và (Q) vuông góc
v i nhau thì b t c
đ ng th ng a nào n m
trong (P), vuông góc v i
giao tuy n c a (P) và
(Q) đ u vuông góc v i
m t ph ng (Q)
(P) (Q) (P) (Q) d a (Q)
a (P),a d
ì ^
í
î
P a
L3: N u hai m t
ph ng (P) và (Q) vuông
góc v i nhau và A là
m t đi m trong (P) thì
đ ng th ng a đi qua
đi m A và vuông góc
v i (Q) s n m trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)
í Î ï
ï ^ î
A
Q
P a
L4: N u hai m t
ph ng c t nhau và cùng
vuông góc v i m t
ph ng th ba thì giao
tuy n c a chúng vuông
góc v i m t ph ng th
ba
(P) (Q) a (P) (R) a (R) (Q) (R)
í
î
a
R
Q P
1 Kho ng cách t 1 đi m t i 1 đ ng
th ng , đ n 1 m t ph ng:
Kho ng cách t đi m M đ n đ ng
th ng a (ho c đ n m t ph ng (P)) là
kho ng cách gi a hai đi m M và H,
trong đó H là hình chi u c a đi m M
trên đ ng th ng a ( ho c trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
O
H O
P
Trang 52 Kho ng cách gi a đ ng th ng và
m t ph ng song song:
Kho ng cách gi a đ ng th ng a và
mp(P) song song v i a là kho ng cách
t m t đi m nào đó c a a đ n mp(P)
d(a;(P)) = OH
a
H O
P
3 Kho ng cách gi a hai m t ph ng
song song:
là kho ng cách t m t đi m b t k trên
m t ph ng này đ n m t ph ng kia
d((P);(Q)) = OH
H O
Q P
4.Kho ng cách gi a hai đ ng th ng
chéo nhau:
là đ dài đo n vuông góc chung c a hai
đ ng th ng đó
A
b a
§4.GÓC
1 Góc gi a hai đ ng th ng a và b
là góc gi a hai đ ng th ng a’ và b’
cùng đi qua m t đi m và l n l t cùng
ph ng v i a và b
b' b
a' a
2 Góc gi a đ ng th ng a không
vuông góc v i m t ph ng (P)
là góc gi a a và hình chi u a’ c a nó
trên mp(P)
c bi t: N u a vuông góc v i m t
ph ng (P) thì ta nói r ng góc gi a đ ng
th ng a và mp(P) là 900
a
3 Góc gi a hai m t ph ng
là góc gi a hai đ ng th ng l n l t
vuông góc v i hai m t ph ng đó
Ho c là góc gi a 2 đ ng th ng n m
trong 2 m t ph ng cùng vuông góc v i
giao tuy n t i 1 đi m
b a
Q P
P Q
a b
Trang 6Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com
B
h
a b c
a a a
B h
4 Di n tích hình chi u: G i S là di n
tích c a đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
di n tích hình chi u (H’) c a (H) trên
mp(P’) thì
S' Scos = j trong đĩ jlà gĩc gi a hai m t ph ng
(P),(P’)
B A
S
ƠN T P 3 KI N TH C C B N HÌNH H C L P
12
A TH TÍCH KH I A DI N
I/ Các cơng th c th tích c a kh i đa di n:
1 TH TÍCH KH I L NG TR :
V= B.h
v i
B : d ie än tíc h đ a ùy
h : c h ie àu c a o
ì
í
ỵ
a)Th tích kh i h p ch nh t:
V = a.b.c
v i a,b,c là ba kích th c
b)Th tích kh i l p ph ng:
V = a3
v i a là đ dài c nh
2 TH TÍCH KH I CHĨP:
V=1
3Bh
v i ìíB : diện tích đáyh : chiều cao
ỵ
3 T S TH TÍCH T DI N:
Cho kh i t di n SABC và A’,
B’, C’ là các đi m tùy ý l n l t
thu c SA, SB, SC ta cĩ:
SABC
SA ' B ' C '
V SA SB SC
V = SA ' SB ' SC '
C'
B' A'
C
B A
S
Trang 7Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com
4 TH TÍCH KH I CHĨP C T:
V h(B B' BB')
3
v i ìíB, B' : diện tích hai đáyh : chiều cao
B A
C
C'
Chú ý:
1/ ng chéo c a hình vuơng c nh a là d = a 2,
ng chéo c a hình l p ph ng c nh a là d = a 3,
ng chéo c a hình h p ch nh t cĩ 3 kích th c a, b, c là d = 2 2 2
a + b + c ,
2/ ng cao c a tam giác đ u c nh a là h = 3
2 a
3/ Hình chĩp đ u là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đ u và các c nh bên đ u b ng
nhau ( ho c cĩ đáy là đa giác đ u, hình chi u c a đ nh trùng v i tâm c a đáy) 4/ L ng tr đ u là l ng tr đ ng cĩ đáy là đa giác đ u
II/ Bài t p:
N i dung chính
LO I 1: TH TÍCH L NG TR
1) D ng 1: Kh i l ng tr đ ng cĩ chi u cao hay c nh đáy
Ví d 1: áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuơng
cân t i A cĩ c nh BC = a 2 và bi t A'B = 3a Tính th tích kh i l ng tr
a 2
L i gi i:
Ta cĩ
VABC vuơng cân t i A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là l ng tr đ ng AA' ABÞ ^
AA'B AA' A'B AB 8aÞ = - = V
AA' 2a 2
V y V = B.h = SABC AA' = a 23
Ví d 2: Cho l ng tr t giác đ u ABCD.A’B’C’D' cĩ c nh bên b ng 4a và
đ ng chéo 5a Tính th tích kh i l ng tr này
Trang 8A' D
B'
C'
A'
C
D'
C'
B' B
D'
A
5a 4a
B' A'
B A
L i gi i:
ABCD A'B'C'D' là l ng tr đ ng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ÞBD 3a=
ABCD là hình vuông AB 3a
2
Suy ra B = SABCD =
2
9a 4
V y V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
Ví d 3: áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đ u c nh
a = 4 và bi t di n tích tam giác A’BC b ng 8 Tính th tích kh i l ng tr
B'
A
B
C I
L i gi i:
G i I là trung đi m BC Ta có
VABC đ u nên
AB 3
3 &
2
A 'I BC(dl3 )
=
A'BC A'BC
2S 1
S BC.A 'I A 'I 4
AA ' (ABC) ^ ÞAA ' AI^
2 2
A 'AI ÞAA ' = A 'I -AI =2
V y : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3
Ví d 4: M t t m bìa hình vuông có c nh 44 cm, ng i ta c t b đi m i góc
t m bìa m t hình vuông c nh 12 cm r i g p l i thành m t cái h p ch nh t
không có n p Tính th tích cái h p này
D'
A'
C'
B' D
A
C
B
Gi i Theo đ bài, ta có
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chi u cao h p h = 12 cm
V y th tích h p là
V = SABCD.h = 4800cm3
Ví d 5: Cho hình h p đ ng có đáy là hình thoi c nh a và có góc nh n b ng
Trang 9B' A'
B A
600 ng chéo l n c a đáy b ng đ ng chéo nh c a l ng tr
Tính th tích hình h p
L i gi i:
Ta có tam giác ABD đ u nên : BD = a
và SABCD = 2SABD =
2
a 3 2
Theo đ bài BD' = AC = 2 a 3 a 3
2 2
DD 'B ÞDD ' = BD ' BD - =a 2
V
V y V = SABCD.DD' =
3
a 6 2
Bài t p t ng t :
Bài 1: Cho l ng tr đ ng có đáy là tam giác đ u bi t r ng t t c các c nh c a
l ng tr b ng a Tính th tích và t ng di n tích các m t bên c a l ng tr
S: V a 33
4
= ; S = 3a2
Bài 2: Cho l ng tr đ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy là t giác đ u c nh a bi t
r ng BD ' a 6= Tính th tích c a l ng tr
s: V = 2a3
Bài 3: Cho l ng tr đ ng t giác có đáy là hình thoi mà các đ ng chéo là 6cm
và 8cm bi t r ng chu vi đáy b ng 2 l n chi u cao l ng tr Tính th tích và t ng
di n tích các m t c a l ng tr
s: V = 240cm3
và S = 248cm2
Bài 4: Cho l ng tr đ ng tam giác có đ dài các c nh đáy là 37cm ; 13cm
;30cm và bi t t ng di n tích các m t bên là 480 cm2
Tính th tích l ng tr s: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông
cân t i A ,bi t r ng chi u cao l ng tr là 3a và m t bên AA'B'B có đ ng chéo là
5a Tính th tích l ng tr
s: V = 24a3
Bài 6: Cho l ng tr đ ng t giác đ u có t t c các c nh b ng nhau và bi t t ng
di n tích các m t c a l ng tr b ng 96 cm2
Tính th tích l ng tr s: V = 64 cm3
Bài 7: Cho l ng tr đ ng tam giác có các c nh đáy là 19,20,37 và chi u cao c a
kh i l ng tr b ng trung bình c ng các c nh đáy Tính th tích c a l ng tr s: V = 2888
Bài 8: Cho kh i l p ph ng có t ng di n tích các m t b ng 24 m2
Tính th tích kh i l p ph ng s: V = 8 m3
Bài 9: Cho hình h p ch nh t có 3 kích th c t l thu n v i 3,4,5 bi t r ng đ
dài m t đ ng chéo c a hình h p là 1 m.Tính th tích kh i h p ch nh t
s: V = 0,4 m3
Trang 10o 60
C'
B' A'
C
B A
Bài 10: Cho hình h p ch nh t bi t r ng các đ ng chéo c a các m t l n l t là
5; 10; 13 Tính th tích kh i h p này s: V = 6
D ng 2 : L ng tr đ ng có góc gi a đ ng th ng và m t ph ng.
Ví d 1: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông cân t i B v i BA = BC = a ,bi t A'B h p v i đáy ABC m t góc 600
Tính th tích l ng tr
L i gi i:
Ta có A 'A (ABC) ^ ÞA 'A AB& AB^ là hình chi u c a A'B trên đáy ABC
V y góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60=¼= o
0 ABA ' ÞAA ' AB.tan 60 = =a 3
V
SABC =
2
BA.BC
V y V = SABC.AA' =
3
a 3 2
Ví d 2: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông t i A v i AC = a , ACB¼= 60 o bi t BC' h p v i (AA'C'C) m t góc 300
Tính AC' và th tích l ng tr
a o 60
o 30
C'
B'
A'
C
B A
L i gi i: V ABC AB AC.tan60 Þ = o =a 3
Ta có:
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)^ ^ Þ ^
nên AC' là hình chi u c a BC' trên (AA'C'C)
V y góc[BC';(AA"C"C)] = ¼BC'A = 30o
o
AB AC'B AC' 3a
tan30
V
V =B.h = SABC.AA'
AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2Þ = - = V
ABC
V là n a tam giác đ u nên SABC=a 322
V y V = a 63
Ví d 3: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông c nh a
và đ ng chéo BD' c a l ng tr h p v i đáy ABCD m t góc 300
Tính th tích và t ng diên tích c a các m t bên c a l ng tr
Trang 11o 30
a
D'
C' A' B'
D
A
Gi i:
Ta có ABCD A'B'C'D' là l ng tr đ ng nên ta
có: DD ' (ABCD) ^ ÞDD ' BD^ và BD là hình chi u c a BD' trên ABCD
V y góc [BD';(ABCD)] = ¼DBD ' 30= 0
0 a 6 BDD ' DD ' BD.tan 30
3
V
V y V = SABCD.DD' =
3
a 6
3 S = 4SADD'A' =
2 4a 6 3
Ví d 4: Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi c nh
a và ¼BAD = 60o
bi t AB' h p v i đáy (ABCD) m t góc 30o
Tính th tích c a hình h p
a
o
30
o 60
D'
C' B'
A'
D
C B
A
Gi i
ABD
V đ u c nh a ÞSABD =a 324
2
ABB'
V vuông t iBÞBB' ABt an30 a 3= o =
V y V B.h S = = ABCD.BB'=3a23
Bài t p t ng t :
Bài 1: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân t i B bi t
A'C = a và A'C h p v i m t bên (AA'B'B) m t góc 30o
Tính th tích l ng tr
S: V a 23
16
=
Bài 2: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông t i B bi t
BB' = AB = a và B'C h p v i đáy (ABC) m t góc 30o
Tính th tích l ng tr
S: V a 33
2
=
Bài 3: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a bi t
AB' h p v i m t bên (BCC'B') m t góc 30o
Tính đ dài AB' và th tích l ng tr S: AB' a 3= ;
3
a 3 V
2
=
Bài 4: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông t i A bi t
AC = a và ¼ACB 60= obi t BC' h p v i m t bên (AA'C'C) m t góc 30o
Tính th tích l ng tr và di n tích tam giác ABC' S: 3
6
V a= , S =
2 3a 3
Trang 12Bài 5: Cho l ng tr tam giác đ u ABC A'B'C' có kho ng cách t A đ n m t
ph ng (A'BC) b ng a và AA' h p v i m t ph ng (A'BC) m t góc 300
Tính th tích l ng tr S: V 32a3
9
=
Bài 6: Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có đ ng chéo A'C = a và bi t
r ng A'C h p v i (ABCD) m t góc 30o
và h p v i (ABB'A') m t góc 45o
Tính th tích c a kh i h p ch nh t s: V a 23
8
=
Bài 7: Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông G i
O là tâm c a ABCD và OA' = a Tính th tích c a kh i h p khi:
1) ABCD A'B'C'D' là kh i l p ph ng
2) OA' h p v i đáy ABCD m t góc 60o
3) A'B h p v i (AA'CC') m t góc 30o
s:1)V 2a 63
9
= ;2)
3
a 3 V
4
= ;3)
3 4a 3 V
9
=
Bài 8: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và
BD' = a Tính th tích l ng tr trong các tr ng h p sau đây:
1) BD' h p v i đáy ABCD m t góc 60o
2) BD' h p v i m t bên (AA'D'D) m t góc 30o s: 1)V = a 33
16 2)V =
3
a 2 8
Bài 9: Chi u cao c a l ng tr t giác đ u b ng a và góc c a 2 đ ng chéo phát
xu t t m t đ nh c a 2 m t bên k nhau là 60o
.Tính th tích l ng tr và t ng di n
tích các m t c a l ng tr s: V = a3
và S = 6a2
Bài 10 : Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c
và BD' = AC' = CA' = a 2 +b 2 +c2
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là h p ch nh t
2) G i x,y,z là góc h p b i m t đ ng chéo và 3 m t cùng đi qua m t đ ng
thu c đ ng chéo Ch ng minh r ng sin x sin y sin z 12 + 2 + 2 =
3) D ng 3: L ng tr đ ng có góc gi a 2 m t ph ng
Ví d 1: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông cân t i B v i BA = BC = a ,bi t (A'BC) h p v i đáy (ABC) m t góc
600 Tính th tích l ng tr