TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH MIN MAX NGUYỄN HỮU BIỂN ÔN THI THPT QUỐC GIA... Vậy bất đẳng thức được chứng minh... Lập BBT ta có kết quả.
Trang 1TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
MIN MAX
NGUYỄN HỮU BIỂN (ÔN THI THPT QUỐC GIA)
Trang 2Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z= 1
Hướng dẫn
Ta có x+y+ = ⇒z 1 x+y= − 1 z, ta có:
P
−
z
−
x
−
y
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
Vậy MinP=3 đạt được khi 1
3
Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh rằng với ∀ ≥a 1 ta luôn có : 1x 1y 1z x x y y z z.
a +a +a ≥ a +a +a
Hướng dẫn
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng
* Ta xét khi a > 1
t t
y
nghịch biến với ∀ ∈t R, khi a > 1
Khi đó ta có
Ta có : (x y)(1x 1y) 0,
− − ≤ ∀x y, ∈R. Suy ra x x y y x y y x
a +a ≤a +a (1) Chứng minh tương tự y y z z z y y z
a +a ≤a +a (2) z z x x x z z x
a +a ≤ a +a (3) Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( x x y y z z) y x z z y x x z y
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức x x y y z z
a +a +a ta được 3( x x y y z z) x y x z x y y z x y z z (x y z)( 1x 1y 1z)
Trang 3Suy ra 1x 1y 1z x x y y z z.
a +a +a ≥ a +a +a ( do x + y + z = 3 ) Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1 (đpcm)
Bài 3: Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc+ +ca= 3.
1 +a b( +c) 1+ +b c( +a) 1+ +c a( +b) ≤abc
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3 =ab bc+ +ca≥ 3 (3 abc) 2 ⇒abc≤ 1
2
1 +b c( +a)≤3b 1 +c a( +b)≤3c
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
ab bc ca
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc= 1,ab bc+ +ca= ⇒ 3 a=b= =c 1, ( , ,a b c> 0).
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn −1−2 2<x<−1+2 2,y>0,z>0 và
1
−
= + +y z
) ( 8
1 )
(
1 )
(
1
z y z
x y
x
P
+
−
+ +
+ +
Hướng dẫn
) 1 ( 8
1 )
1 (
1 )
1 (
1 )
1 ( 8
1 )
1 (
1 )
1 (
1
x z
y x
y z
P
+
−
+ +
+ +
=
−
−
−
+
−
−
+
−
−
=
Ta sẽ chứng minh
yz z
1 )
1 (
1 )
1 (
1
2 2
2
2 ( 1 )[( 1 ) ( 1 ) ] [( 1 )( 1 )]
1
1 )
1 (
1 )
1 (
1
y z y
z yz yz
z
2 2
2 2 2 )(
1
⇔
2 2
2 )
( ) 1 )(
( 2 ) 1
(
) 1 ( 2 ) )(
1 ( ) 1 ( 2 ) 1 )(
( 2
y z zy y
z zy
yz zy z
y zy yz
zy y
z
+ + + + + +
≥
+ +
− +
+ + + + +
⇔
0 4 ) ( ) 1 ( 2
4 2 ) )(
1
0 ) 1 ( )
Dấu “=” xảy ra khi y = z= 1
Ta lại có y+z ≥ yz
) 1 ( 4
) 1 ( 2
2 2
2
x x
z y
+
≤
⇒
Trang 4Do đó 2 2 2 2
) 1 ( 4 4 4
) 1 ( 1
1 1
1 )
1 (
1 )
1 (
1
x x
yz z
+
≥ +
≥ +
+ +
2
2 8 ( 1 )
1 )
1 ( 4
4
+
−
+ + +
≥
⇒
x x
P
Do −1−2 2<x<−1+2 2 nên (x+ 1 ) 2 ∈ [ 0 ; 8 )
Đặt t= ( 1 +x) 2 ⇒t∈ [ 0 ; 8 ) và P
t
t + − +
≥
8
1 4
4
Xét
t t t
f
−
+ +
=
8
1 4
4 )
) 8 ( ) 4 (
240 72 3 )
8 (
1 )
4 (
4 )
( '
t t
t t t
t t
f
− +
− +
−
=
−
+ +
−
=
20
; 4 0
240 72 3 0 ) (
Bảng biến thiên
t 0 4
8
f ’(t) - 0 +
f (t)
8
9
∞ +
4 3
Do đó
4
3 ) ( ≥
≥ f t
4
3
=
=
=
−
=
⇔
−
= + +
=
=
= +
1
3 1
1
4 ) 1
z y x
z y x
z y x
Vậy
4
3 min =P khi x= − 3 ,y=z= 1
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)
( 1)( 1)
P
=
Hướng dẫn
Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có 2
4
t
xy ≤
3 2 (3 2)
1
P
=
4
t xy
− ≥ − nên ta có
2
3 2
2 2
4
2 1
4
t t
t t
t P
t
−
−
− +
Xét hàm số ( ) 2 ; '( ) 2 42 ;
−
Trang 5t 2 4 +∞ f’(t) - 0 +
f(t)
8
Do đó min P =
(2;min ( )) f t
⇔
Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1
Hướng dẫn
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: yz zx xy 1
x + y + z =
1 1 1
A
= + +
− − −
Hướng dẫn
= = = Ta có a, b, c > 0 và a2 +b2 +c2 =1 Ta có:
3
bc ca ab A
2
4
1
2
b c
b c
+
+
Trang 6Tương tự có:
1
ca c b a b
1
ab a c b c
3
2 2
≤ + = Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3
Bài 8: Cho a b c, , là các số thực dương và a b c+ + =3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )( )( ) 3
2
abc P
Hướng dẫn
Áp dụng Bất đẳng thức: (x+y+z) 2 ≥ 3(xy+yz+zx), ∀x y z, , ∈ ℜ ta có:
2
(ab bc+ +ca) ≥ 3abc a( + +b c) 9 = abc> 0 ⇒ab bc+ +ca≥3 abc
Ta có: (1 +a)(1 +b)(1 +c) (1 ≥ + 3abc) , 3 ∀a b c, , > 0 Thật vậy:
(1+a)(1+b)(1+c)= +1 (a b c+ + ) (+ ab bc ca+ + )+abc≥ +1 33abc+3 (3 abc)2+abc= +(1 3abc)3
abc
Đặt 6
abc =t; vì a, b, c > 0 nên
3
3
a b c abc + +
3(1 ) 1
t
( ) ( )
5
′
Do đó hàm số đồng biến trên (0;1] ( ) ( )1 1
6
6
P ≤
Vậy maxP = 1
6, đạt được khi và và chi khi : a= = =b c 1
Bài 9: Cho a b c, , là các số dương và a+ + =b c 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
=
Hướng dẫn
Vì a + b + c = 3 ta có
2
bc
a b+ +a+c≥ a b a+ +c , dấu đẳng thức xảy ra⇔b = c
2 3
b ca
2 3
c ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3
2 khi a = b = c = 1
Trang 7Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và a+ + =b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Hướng dẫn
Vì a + b + c = 3 ta có
2
bc
a+b+a+c≥ a b a+ +c , dấu đẳng thức xảy ra⇔b = c
2 3
b ca
2 3
c ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3
2 khi a = b = c = 1
Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:
2009
2005
1 1 1 + + + +a +a +a +a ≥ 2009. a .a .a .a = 2009 (1)a
2005
1 1 1 + + + +b +b +b +b ≥ 2009. b .b .b .b = 2009 (2)b
2005
1 1 1 + + + +c +c +c +c ≥ 2009. c .c .c .c = 2009 (3)c
Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 4( + a2009 +b2009 +c2009 ) 2009( ≥ a4 +b4 +c4 )
⇔ 6027 2009( ≥ a4 +b4 +c4 ) Từ đó suy ra P=a4 +b4 +c4 ≤ 3
Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3
Bài 12: Cho x, y, z ≥ 0thoả mãn x + y + z > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3
16
P
x y z
=
Hướng dẫn
3
3 3
4
x y
x +y ≥ + (biến đổi tương đương) ⇔ ⇔(x−y) (2 x+y)≥ 0
(với t = z
a, 0 ≤ ≤t 1)
Trang 8Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈[ ]0;1 Có
9
f t = t − −t f t = ⇔ =t ∈
Lập bảng biến thiên
( ) [ ] 0;1
64 inf
81
t
∈
81 đạt được khi x = y = 4z > 0
Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2
Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4
Hướng dẫn
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
i
i Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz
+ Từ gt y z 4 x yz, 2
x
x
⇔(x−2) (x2−6x+4)≥0 (*)
Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3 − 5 ≤x≤ 2
+ Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 − 5 ≤x≤ 2ta tìm được: 5 5 5 1
2
i P=(16 2− t)2−2(t2−16) 2= t2−64t+288
Khảo sát hàm số : f(t) = 2t2 – 64t + 288 với 5 5 5 1
2
2
Suy ra: Pmin = 383 165 5 − đạt được chẳng hạn 3 5, 1 5
2
x= − y=z= +
Pmax = 18 đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1
Bài 14: Cho các số thực x y; thay đổi
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P= x2+y2+2x+ +1 x2+y2−2x+ +1 y−2
Hướng dẫn
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y) Ta có OM + ON ≥ MN
⇔ (x−1)2+y2 + (x+1)2+ y2 ≥ 4 4+ y2
Trang 9TH1: y ≤ 2: f y( ) 2 1= + y2 + −2 y ⇒
2
2
1
y
y
+
2
2
3
y
y
≥
=
Lập bảng biến thiên f(y) ⇒
( 2]
3
3
∈ −∞
TH2: y ≥ 2: f y( ) 2 1= +y2 + y−2 ≥ 2 5 2> + 3
Vậy P≥ +2 3 ∀x y;
Do đó MinP =2+ 3 khi x = 0 ; y = 3
3
Bài 15: Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3 Tính góc giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Hướng dẫn
Xét
P
Ta có 3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca + = + + + = + + + + mà a 2 + c 2 ≥ 2ac
nên 3b 3ca ab b + ≤ + 2 + bc ca a + + 2 + c 2
Chứng minh tương tự ta có: 3c 3ab ac c + ≤ + 2 + bc ab a + + 2 + b 2
3a 3bc a + ≤ + ab ac bc c + + + + b
Khi đó
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy MinP 3= khi a = b = c = 1
Bài 16: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz
4
Hướng dẫn
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz ⇔ 1+1 1+ = 3
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1( 1)
4
+
x y x y ;x2 + y2 ≥ 2xy
4
xy(x y)
+
Trang 101 1 1 1 1 1 1 1 1
≤ + + = + +
Chứng minh tương tự :
yz
zx
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = −
Hướng dẫn
Theo giả thiết ta có
Vì vậy
+
+
Vậy = ; dấu bằng đạt tại
Bài 18: Cho các số thực dương x y, thỏa mãn 3 ln 1 9 3 3
3
x y
xy
M
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta suy ra ln(x+y+ 1) 3( + x+y+ 1) ln(3 ) 3.3 = xy + xy
Trang 11Xét hàm số g t( ) ln = t+ 3t trên (0; +∞ ), ta có g t'( ) 1 3 0
t
= + > với ∀ >t 0, suy ra g t( )
đồng biến trên (0; +∞ ), từ đó g x( +y+ 1) =g(3 )xy ⇔ x+y+ = 1 3xy (*)
Theo (*) ta có 3 xy − = + 1 x y ≥ 2 xy Đặt t= xy⇒3t−2 t − ≥ ⇒ ≥1 0 t 1
2
.
4
2 2
x+y ≤ xy ≤ (4) Từ (2), (3), (4) ta có 5 1 12
t M
t
−
Xét hàm số ( ) 5 12
4
t
f t
t
−
= trên [1;+ )∞ , ta có
2
max [1; )
3
2
+∞
Bài 19: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z z( − −x y)= +x y+1
Chứng minh rằng :
3
x y
Hướng dẫn
Vì z z( − −x y)= +x y+ 1 ⇒ (z + 1)( x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có: x + y + 1 = z Khi đó T =
[ ]3
4 4
) 1 )(
1 ( ).
1 ).(
).(
1 ).(
y
[ ]4 2
4 4
) 1 )(
1 ( )
y x
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có :
27 4 27 4 1
3 3 3 1
3 4 4 4 3 4
≥
+ + +
=
27 4 27 4 1
3 3 3 1
3 4 4 4 3 4
≥
+ + +
=
) 1 )(
1 ( )
9 6
3 3
3
4 3
4
4
3
≤
1
1 3
+ +
=
=
=
y x z
y x
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Trang 12Bài 20: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x+y) 3 + 4xy≥ 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức 3 ( 2 2 ) 2 2 ( ) 2 ( 3 4 ) 2015
+
−
− +
− +
Hướng dẫn
Với mọi số thực x, y ta luôn có (x y) + 2 ≥ 4xy, nên từ điều kiện suy ra
(x+y) + (x+y) ≥ (x+y) + 4xy≥ 2 ⇒ (x+y) +(x+y) − ≥2 0 ⇒ + ≥x y 1
Do 4 4 (x2 y )2 2
2
+
4
Đặt x 2 + y 2 = t thì t 1
2
≥ (do x y 1) + ≥
4
2
≥ , có f '(t) 9t 2 0
2
2
≥ nên hàm số
f(t) đồng biến trên 1;
2
+∞
Suy ra
1
t ; 2
min f (t) f
∈ +∞
Do đó GTNN của P bằng
16
2
1
=
= y
x
Bài 21: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
a b+ + a+c+ a b c+ + + a+c+ a b+ <
Hướng dẫn
+) Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a+ >b c b; + >c a c; +a>b
Từ (1),(2) và (3) ta có x y z 2x 2y 2z 2
+ +
x= + y= + z=a x y z> Ta có: x+y>z y; + >z x z; +x> y
y+z < x+y+z z+x< x+y+z
Trang 13Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 3
Hướng dẫn
NX: những dạng bài có dạng a2+b2 + m2+n2 rất có thể sẽ áp dụng được phương pháp BĐT vec - tơ
⇒ ≥ , dấu = xảy ra khi ba vecto cùng hướng và kết hợp điều kiện đề bài ta được x = y = z =
Vậy minP = khi x = y = z =
Bài 23: Cho ba số thực a, b, c thỏa: ∈[ ] ∈[ ] ∈[ ]
( )
Hướng dẫn
Ta có: ∈[ ] ∈[ ] ∈[ ]
( )( ) ( )( )
( + + ) ( + + )
Mặt khác + ≥ ( + ) ( vì ∈[ ])
( ) ( ) ( )
Với mọi số thực x, y, z, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Suy ra
Trang 14Xét hàm số ( )= + ∈[ ]
( )
( ) ( ) ( )
( )= ( )= ( )= ⇒ ( )≤ ∀ ∈[ ]
Do đó: ≤ Khi = = = thì = Vậy giá trị lớn nhất của P là
Bài 24: Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1, ]5
4
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 5 4 1
P
=
Hướng dẫn
Đặt a= 5 4 , − x b= 1 +x thì a2+4b2 =9, với a b ≥, 0
Do đó đặt [0, ]
2
π
α∈ với a=3sin ,2b=3cosα α Khi đó:
3
2
P
−
f x
−
=
2
Ta có /
2
π
Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ]
2
π
Do đó:
π
P= − khi x=
1
1 3
Max P= khi x= −
Bài 25: Cho 3 số thực dương a b c, , thoả mãn abc =1
b a + c b + a c ≥
Hướng dẫn
Ta có
1
a ba
b a = a ba ≥ + +
Tương tự:
1 2
b bc
c b ≥ + +
1 2
c ac
a c ≥ + +
Cộng các vế của các BĐT trên ta có:
Trang 151 1 1
=
1
bc bca+ +babc+ + +b cb+b bc bac+ +
bc+ +b+ + +b cb+b bc+ + = (điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 26: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn + + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )( )( )
3
2
abc P
Hướng dẫn
Áp dụng Bất đẳng thức (x+y+z)2 ≥3(xy+yz+zx),∀x y z, , ∈ ℝ ta có:
(ab+bc+ca)2 ≥3abc a( + +b c)=9abc 0>
3
Ta có: (1+a)(1+b)(1+c)≥(1+3abc)3,∀a b c, , >0 Thật vậy:
(1+a)(1+b)(1+c)= +1 (a+ +b c) (+ ab+bc+ca)+abc≥
3 3( )2 ( 3 )3
1 3+ abc +3 abc +abc= 1+ abc
Khi đó
3 3
2
1 1
3 1
abc
abc abc
+ +
Đặt 6
abc =t Vì a b c >, , 0 nên
3
3
Xét hàm số
2
2 3
2
, t 0;1 1
3 1
t Q
t t
+ +
( ) ( ) ( )
5
Q t
Do hàm số đồng biến trên(0;1 nên ] ( ) ( )1 5 2( )
6
Từ (1) và (2) suy ra 5
6
P ≤
max
6
P = , đạt được khi và chỉ khi: a=b=c=1
Bài 27: Cho 3 số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn: x + y+z = 5 và x y z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 1
Trang 16Hướng dẫn
( )
5
+
x
Xét hàm số: f x( ) 1 x(5 x) f ' x( ) 12 5 2
Với: x< ∨ −0 3 2 2 ≤x≤4∨x≥ +3 2 2
( ) 0 1 1 2 1 2
2
f ' x = ⇔ x= ∨x= − ∨x= +
Lập bảng biến thiên đúng
Tính được:
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2+
Dấu “=” khi : x= y = + 1 2,z= 3 2 2 − hay x= z= + 1 2, y 3 2 2 = −
hoặc x= y = 3 2 2, − z= + 1 2 hay x= z= 3 2 2, − y= + 1 2
Bài 28: Cho x, y, z là các số thực dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
P
Hướng dẫn
x+ xy+ xyz =x+ x y+ x y z
x+ + + + + = x+y+z = x+y+z
( ) 33 12; ( ) 0 1
t t
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min 3
2
P = − tại t=1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16 21 1
4
21
21
x
z
=
=
=
Bài 29: Cho a, b, c không âm và a2 +b2 +c2 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ab bc+ +ca+ 5a 5 + b+ 5c+ 4
Hướng dẫn
Trang 17Ta có ( )2 ( 2 2 2)
3≤ a+ +b c ≤3 a +b +c
⇔ ≤ 3 (a+ +b c)2 ≤ 9
⇔ 3 ≤a+ + ≤b c 3
Đặt t=a+ +b c với t∈ 3; 3
3
5
P t = t + t+ P t'( )= + >t 5 0, ∀ ∈ t 3; 3 Lập BBT ta có kết quả
Vậy P max = 22 với t= ⇔ 3 a=b= =c 1
Bài 30: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a≥b≥c và a2 +b2 +c2 = 5
Chứng minh rằng: (a−b)(b−c)(c−a)(ab+bc+ca) ≥ − 4
Hướng dẫn
Ta có: (a−b)(b−c)(c−a)(ab+bc+ca) ≥ − 4
⇔ P= (a−b)(b−c)(a−c)(ab+bc+ca) ≤ 4
Do a≥b≥c nên
Nếu + + < 0thì P≤ 0 < 4(đúng)
Áp dụng BĐT Côsi :
4
) ( ) )(
(
2
c a c b b
) 1 ( 4
) ( ) )(
)(
(
3
c a c a c b b
⇒
Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2[(a−b) 2 + (b−c) 2]≥ (a−c) 2
và 4 (a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca) = 2 (a−b)2 + 2 (b−c)2 + 2 (a−c)2
) 2 ( 3
5 2 5
0 ) ( 3 ) 5 ( 4
) ( 2 ) ( ) (
4
2
2 2
2 2 2
x c
a va x
c a x
c a c
a ca bc ab c b a
−
≤
−
≤
⇒
≥
−
≥
−
⇔
− +
−
≥
−
−
− + +
⇒
ɳ
Từ (1) và (2) ta có:
3
3
) 5 ( 9
3 2 4
) (
x x
x c a
Xét hàm số f(x) =x ( 5 −x) 3 ; x∈[ ]0 ; 5
=
=
⇔
=
−
−
=
5
2 0
) ( '
; ) 2
5 5 ( 5 ) (
'
x
x x
f x x
x f
Ta có: f( 0 ) = 0 ; f( 2 ) = 6 3 ; f( 5 ) = 0
Trang 18[ ] ( ) 6 3 ( ) ( 5 ) 3 6 3 ; [ ]0 ; 5
5
;
0 f x = ⇒ f x =x −x ≤ ∀x∈
Max
4 3
6 9
3 2
≤
⇔
≤
Dấu "=" xảy ra
=
=
=
⇔
= + +
−
=
−
=
= + +
⇔
= + +
=
−
−
=
−
=
⇔
0 1 2
5 2
1
2
5 2
2
2 2 2 2
2
b a
c b a
a c
a b
ca bc ab
c b a
c a
c b b a x
Bài 31:Cho các số thực dương x, y, z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2
Tương tự ta có 2
2
Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được 2P≤2⇔ P≤1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Vậy Max P = 1 khi x = y = z
Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
Hướng dẫn
Trang 19Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1
Bài 33: Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2 5
4
a+ =b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1
4
F
Hướng dẫn
4
a+ + b+ −
Bất đẳng thức Côsi cho : 2 8a 8
a+ ≥ và 1 4 2
4b+ b≥
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
+
+
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
( + )
+
( + )
+
( + )
+
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
Mặt khác:
• + + + =( + )( + )≤ + + + =
Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d
• + + + = ( + )+ ( + )≤ + ( + )+ + ( + )
+ + +
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1
