Chứng minh rằng phương trình ẩn sau luôn có nghiệm dương:x.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông, nội tiếp trong đường tròn I.. Gọi P là mặt phẳn
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm tập xác định của hàm số 2014
2015 cot
1 sin
x
sin cos 2 sin sin 2 3 sin 4 3
2
x
Câu 2 (1,0 điểm) Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
thời thỏa mãn a1a2 a3 a4 a5 a6
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm hệ số của trong khai triển Niu – tơn của biểu thức 4 , biết
n
x
rằng là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: n 1 2 3
2C n3C n 4C n n1 C n n 111
Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số u n được xác định bởi: 1 1, 1 , 1, 2, 3, Tính:
1
n n
n
u
u
lim
2015
n
n
Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình ẩn sau luôn có nghiệm dương:x
5
2014 2015 0
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông,
nội tiếp trong đường tròn (I) Kẻ đường kính AM của đường tròn (I) Đường thẳng đi qua đỉnh A, vuông góc với BC và cắt đường tròn (I) tại điểm N (N khác A) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng M 5;3 , N 4; 4 , đường thẳng BC đi qua điểm P 4; 2 , đường thẳng AC đi qua điểm 3 5;
2 2
và hoành độ điểm B lớn hơn 3.
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, SASC SB, SD Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, trọng tâm tam giác SAC và song song với AC Mặt phẳng (P) cắt các đường thẳng
AD, CD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và B là trung điểm của đoạn thẳng MN (với O là giao điểm của AC và BD).
Câu 8 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SASBSC, 0, , Gọi
60
90
120
ASC
H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và gọi L là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và HL vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Câu 9 (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b, ta có bất đẳng thức sau:
2 2 2 2
a b a b a b ab
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
1 (2,0 điểm)
a.(1,0 điểm)
Hàm số f x xác định khi và chỉ khi 1 sin 0 sin 1
2 2
x k
k
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \ 2 ,
2
S k k k
b.(1,0 điểm)
sin cos 2 sin sin 2 3 sin 4 3
2
x
2
1 2 sin cosx x 1 cosx 2 3 sin x 4 sinx 3 sinx
2 4 sinx 2 sin cosx x cosx 2 3 sin x 3 sinx
0,25
2 1 2 sinx cosx 2 sinx 1 3 sinx 2 sinx 1
2 sinx 1 3 sinx cosx 2 0
3 sin cos 2 0
x
0,25
x x x x x
0,25
2 sin 1 0 sin
5 2
2 6
x k x k x k k
0,25
2 (1,0 điểm)
Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn
” Khi đó: (số có sáu chữ số đôi một khác nhau
1 2 3 4 5 6
9 9
n M A
thì a1 có chín cách chọn, a a a a a2 3 4 5 6 là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có ).A95
0,25
TH1: a6 0thì a a a a a1 2 3 4 5 có 5 cách chọn
9
C
TH2: a6 2thì a a a a a1 2 3 4 5 có 5 cách chọn
7
C
TH3: a6 4thì a a a a a1 2 3 4 5 có 5 cách chọn
5
C
0,5
(Đáp án có 05 trang)
Trang 3 5 5 5
9 7 5 148
n A C C C
Do đó 5
9
148 37
9 34020
n A
P A
3 (1,0 điểm)
1 !
!
n n n
2C n3C n 4C n n1 C n n 111
1C n 2C n 3C n nC n n C n C n C n C n n 111
1 1 1 n1 1 1n 1 111
nC nC nC nC
1 1 1 n1 2n 1 111
n C C C C
(1)
1
.2n 2n 112
n
+) Nếu n 5 n.2n12n 5.2425 112 vô lí
+) Nếu n 5 n.2n12n 5.2425 112 vô lí
Do đó n5
0,5
Theo khai triển nhị thức Niu – tơn ta có:
5
2
k k
Hệ số của ứng với 4 Do đó hệ số của là:
x C5222 40
0,25
4 (1,0 điểm)
Do u1 0 u n 0, n * Ta có 1 ,
1
1 1
n
u
n
n
Suy ra
1
2014 1
n
Vậy 2014 1 1 2 1 1 2014
lim
n
n
0,25
5 (1,0 điểm)
Đặt 5 Tập xác định liên tục trên
2014 2015
0 2015, 8 8 2014.8 2015 14641
Do đó phương trình x52014x20150 có ít nhất một nghiệm trong khoảng 0;8 0,25
6 (1,0 điểm)
Do 0 , kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song song với
90
ANM AN MN
MN hay đường thẳng MN có vtcp là MN 1;1 Do đó phương trình đường thẳng
BC x y
0,25
AH vuông góc với MN nên AH có vtpt là MN 1;1 suy ra phương trình đường thẳng
AH: 1x 4 1 y4 0 x y 0
Gọi K là giao điểm của AH và BC suy ra K là trung điểm HN và tọa độ K là nghiệm của
hệ phương trình:
0,25
Trang 4, kết hợp với K là trung điểm HN suy ra
3;3
K
Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là trung điểm HM
suy ra 7 5;
2 2
E
B thuộc đường thẳng BC nên B t; 6t, kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra
Ta có
CQ BH t t
0,25
Do H là trực tâm tam giác ABC nên
CQ BH t t t t
, kết hợp với Vậy tọa độ các đỉnh của tam 2
5
2
t
t
giác ABC là B 5;1 ,C 2; 4 ,A 1;1 (A là giao của đường thẳng AH và AC)
0,25
Q
P
I
E K
M N
H
C B
A
7 (1,0 điểm)
Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm của AC suy ra SO vuông góc với AC.
Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD suy ra SO vuông góc với BD.
Mặt phẳng qua B, G (trọng tâm tam giác SAC) song song với AC cắt SA, SC, SD lần lượt
tại E, F, H Do AC||(EFH) suy ra AC||EF.
M là giao của (EFH) với AD suy ra M là giao của EH và AD, N là giao của (EFH) với
CD suy ra N là giao của FH với CD.
0,25
Do B, M, N là điểm chung của hai mặt phẳng (EFH) và (ABCD) nên B, M, N cùng thuộc
giao tuyến của hai mặt phẳng này suy ra B, M, N thẳng hàng. 0,25
Do AC||(EFH) suy ra AC||MN GE GH GF (1)
EF||AC suy ra GE SG GF GE GF (2)
OA SO OC
Từ (1) và (2) suy ra BM BN hay B là trung điểm của MN.
0,25
Trang 5F E
N
M
O
G
D
C B
A
8 (1,0 điểm)
Theo định lí hàm số cô sin trong các tam giác SAB, SAC, SBC ta được:
tam giác ABC vuông tại B
H là trung điểm AC nên SH vuông góc với AC,
SH vuông góc với
,
BH AC SH SA HA SB SH HB
BH suy ra SH vuông góc với mặt phẳng (ABC).
0,5
H, K là trung điểm CA, CB suy ra HK||AB HK BC (1)
Mặt khác SH vuông góc (ABC) suy ra SH BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCSHKBCHL, kết hợp với HLSK HLSBC 0,25
L H
K
C
B A
S
Trang 69 (1,0 điểm)
Đặt 2 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại
a b x ab y x y
dưới dạng: 2 2 (1)
y x y x y TH1 Nếu y 1 x 2 thì 2 2
xy y y y
y x y x y x xy y y y y y y y y y
suy ra (1) đúng
0,5
TH2 Nếu y1 thì
x y y x y x y y y y x y y y
2
Do đó (1) đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1
0,5
