a.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC và phương trình đường tròn C ngoại tiếp tam giác ABC.. Gọi H, G, Q lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Trang 1PHÉP DỜI HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG
( Thời gian làm bài : 90 phút )
Bài 1( 3,5 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 3; 4 ;B 1; 2 ;C 3; 0
a.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC và phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
b Tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của A qua phép quay Q(o;900)
c.Tìm phương trình đường thẳng B'C' là ảnh của đường thẳng BC qua phép tịnh tiến theo vectơ
)
2
;
1
(
u
d.Tìm phương trình của đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A
e.Tìm phương trình đường tròn ( '')C đối xứng với ( )C qua đường thẳng ( ) :d x y 0
Bài 2( 1.5 điểm):
Cho tam giác ABC Gọi H, G, Q lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số 1 Chứng minh ba điểm H, G, Q
2
thẳng hàng và GH = 2GQ
Bài 3( 2 điểm):
Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C , điểm B nằm giữa hai điểm A và C Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF
a Chứng minh AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600
b Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC Chứng minh tam giác BMN đều
Bài 4( 2 điểm):
Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R A là điểm cố định nằm ngoài (C) ( Với giả thiết : bất kỳ đường thẳng nào đi qua A cắt (C) theo dây cung MN thì đều cóMN R) B và C là hai điểm di động trên (C) sao cho 0 Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
60
Bài 5( 1 điểm):
Chứng minh rằng : Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
Trang 2
Hết -LỜI GIẢI
Bài 1: A 3; 4 ;B 1; 2 ;C 3; 0
a.Viết phương trình đường thẳng BC :
Phương trình đường thẳng BC : 1 2 1 2 2 3 0
Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC :
PT đường tròn (C ) có dạng : x2 y2 2ax 2by c 0 (*)
Tọa độ của A, B, C thỏa mãn PT (*) nên có :
Phương trình của (C) : 2 2
b. Tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của A qua phép quay Q(o;900)
Gọi A 1 và A 2 lần lượt là hình chiếu của A trên Ox, Oy thì A 1 (3; 0) và A2 (0; 4) Phép quay
Q(o;900) biến hình chữ nhật OA 1 AA 2 thành hình chữ nhật OA A A1' ' 2'
Ảnh của A 1 và A 2 qua phép quay Q(o;900) lần lượt là các điểm ' ' .Các điểm này
1 0; 3 ; 2 4; 0
là hình chiếu của A' trên các trục Oy và Ox Do đó A'(-4; 3)
c.Tìm phương trình đường thẳng B'C' là ảnh của đường thẳng BC qua phép tịnh tiến theo vectơ
(1; 2)
u
(+) Điểm M'(x'; y' ) là ảnh của M(x; y) qua phép tịnh tiến theo vec tơ u ( 1 ; 2 )
(+) M x y( ; ) BC x 2y 3 0 ( ' 1) 2( ' 2) 3x y 0 ( ' 1) 2( ' 2) 3x y 0 x' 2 ' 2y 0 (+) Phương trình của B'C' : x 2y 2 0
d.Tìm phương trình của đường tròn (C') lần lượt là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A.
Giải :
(+) Điểm M'(x'; y' ) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng tâmA 3; 4 ' 2 6
A A
6 '
(6 x') (8 y') 12(6 x') 22(8 y') 27 0
2 2
' ' 24 ' 6 ' 23 0
(+) Phương trình của (C') : 2 2
ThuVienDeThi.com
Trang 32 2 2 2 2
( ) :C x y 12x 22y 27 0 (x 6) (y 11) 130 ( 130)
(C ) có tâm I(-6;11) và bán kính R = 130
Gọi I'(x'; y') là ảnh của I qua phép đối xứng trục là đường thẳng (d) : x - y = 0
Trung điểm của đoạn II' là điểm ' 6; ' 11
Ta có : II' ( ' 6; ' 11)x y cùng phương với n (1; 1) và trung điểm của đoạn II' thuộc đường thẳng (d) nên :
Vậy I'(11; -6)
' 6 ' 11
0
Cách khác : Đường thẳng (d) : x - y = 0 y x : đường phân giác thứ nhất của hệ tọa độ Oxy
Do đó : Nếu N là điểm đối xứng của M(a; b) qua (d) thì N(b; a)
Suy ra : I'(x'; y') là ảnh của I(-6;11 qua phép đối xứng trục (d) : x - y = 0 thì I'(11; -6)
Vì ( '')C đối xứng với ( )C qua đường thẳng ( ) :d x y 0 nên (C') có tâm là I' và bán kính cũng là , do đó phương trình của (C') :
Bài 2:
Gọi A' , B' , C' lần lượt là trung điểmcủa các cạnh BC, CA, AB
(+) Qua phép vị tự tâm G, tỉ số 1 , các điểm , B, C biến thành các điểm A', B' , C' Do đó tam
2
giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số 1
2
(+) B'C', C'A', A'B' là các đường trung bình của tam giác ABC nên B'C' //BC, C'A' //CA, A'B' // AB
Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và do A' , B' , C' lần lượt là trung điểm của các dây cung BC, CA, AB nên : QA' BC QB, ' CA QC, ' ABQA' B C QB' ', ' C A QC' ', ' A B' ' Vậy Q là trực tâm của tam giác A'B'C'
(+) Qua phép vị tự 1 , trực tâm H của tam giác ABC biến thành trực tâm của tam giác A'B'C'
( , ) 2
G
V
, tức ảnh của H chính là điểm Q, do đó ta có : 1 2 Suy ra :
2
Ba điểm H, G,Q thẳng hàng và GH = 2GQ (đpcm)
Trang 4Bài 3:
Giải :
a). Phép quay Q( ,60 )B 0 biến các điểm B, C, E lần lượt thành các điểm B, F, A
Do đó : đoạn AF là ảnh của đoạn EC qua phép quay Q( ,60 )B 0 Suy ra : 0
EC
b). Vì đoạn AF là ảnh của đoạn EC qua phép quay Q( ,60 )B 0 nên qua phép quay Q( ,60 )B 0 trung điểm M của đoạn AF là ảnh của trung điểm N của đoạn EC Vì vậy ta có : 0
BM BN
tam giác BMN đều (đpcm)
Bài 4:
(+) Gọi I là trung điểmcủa BC thì OI BC
Từ giả thiết ta có tam giác OBC đều , mà OI là đường cao nên : 3
2
R
Vậy, tập hợp I là đường tròn (C') tâm O và bán kính R' = 3 (1)
2
R
(+) Từ giả thiết bài toán suy ra A, B, C không thẳng hàng nên tam giác ABC luôn tồn tại, từ đẳng thức MA MB MC 0 ta có M là trọng tâm của tam giác ABC Do đó : 2 : M là ảnh của
3
I qua phép vị tự 2 (2)
( , ) 3
A
V
(+) Từ (1) và (2) có kết luận : Tập hợp M là đường tròn ảnh của đường tròn (C') qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2
3
Bài 5:
Cho tam giác ABC có đường cao ứng với cạnh BC là AH
Giả sử tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F tỉ số k ( k>)
Khi đó : B'C' = k.BC và A'H' = k.AH
' ' ' ' ( ).( )
A B C' ' ' 2 (đpcm)
ABC
S
k S
Hết ThuVienDeThi.com
