Toán 12 Ôn tập: Tìm tọa độ vectơ, tọa độ điểm thuộc đường – mặt26424

Ôn tập: TÌM TỌA ĐỘ VECTƠ , TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG – MẶTKiến thức cơ bản TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ I... Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox biết AC BC A... Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâ

Ôn tập: TÌM TỌA ĐỘ VECTƠ , TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG – MẶT

Kiến thức cơ bản

TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ

I Hệ trục tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục x Ox y Oy z Oz' , ' , '

vuông góc từng đôi tại điểm O.

 i j  k  1     i j i k  j k  0

 i1;0;0  j0;1;0  k0;0;1

 00;0;0

y z

x

k j i

II.TỌA ĐỘ VECTƠ

Định nghĩa: u x;y;z   u xi y j zk 

Công thức:

Trong kg Oxyz,cho: a  ( ; ; ),a a a1 2 3 b  ( ; ; )b b b1 2 3

1/ Tọa độ vectơ tổng:

 

1 1 2 2 3 3

a b a b ;a b ;a b 2.Tích của 1 số thực k với 1 véc tơ:

( k  R )



ka  (ka ka ka1; 2; 3)

3 Hai vectơ bằng nhau:









4.Điều kiện 2 vectơ cùng phương:

cùng phương

,

a b  

a kb

   ;b 0

:

a kb

k R a kb

a kb





    

 



5.Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

a b   a b1 1a b2 2a b3 3

6.Độ dài vec tơ:

a   a12a22a32

7 Điều kiện 2 vectơ vuông góc

a  b  a b   0 a b1 1a b2 2a b3 3 0

8.Góc giữa 2 vectơ a 0, b0 : Gọi   a, b 

  .

cos ,

.

a b

a b

a b



 

 

 

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ.

ĐN: kg Oxyz cho ax y z1; ;1 1, bx y z2; 2; 2

1 1 1 2 1 1

2 2 2 2 2 2

; y z ; z x ;x y

v a b

 



Tính chất:

[ , ]a b   a  [ , ]a b   b   [ , ]a b   a b  sin ,  a b  

 a b  , cùng phương  [ , ]a b    0

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

a b  , và đồng phẳng c  

0

a b c

[ , ]   

III TỌA ĐỘ ĐIỂM

a Định nghĩa: M x;y;z OM  xi y j zk 

b Công thức:

Cho các điểmA x y z( ; ; ), ( ; ; )A A A B x y z B B B ,…

1.Tọa độ vectơ:  AB (x Bx y A; By z A; Bz A) 2.Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB)

AB = AB =



3.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn AB

A B A B A B

4.Tọa độ trọng tâm tam giác

G trọng tâm tam giác ABC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG và CÔNG THỨC

1 Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng; không thẳng hàng:

 3 điểm A,B,C thẳng hàng

ABk AC

hoặc:  3 điểm A,B,C thẳng hàng   AB AC,   0

 3 điểm A,B,C không thẳng hàng  AB k

 AC

hoặc:  3 điểm A,B,C không thẳng hàng   AB AC,   0

2 D x;y;z là đỉnh hình bình hành ABCD ADBC

3 Diện tích hình bình hành ABCD: S ฀ ABCD   AB AD  ,  

hoặc: S ฀ ABCD  2SABC  AB AC, 

4 Diện tích tam giácABC: 1 ,

2

ABC

S  AB AC

 

5 Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng

 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng   AB AC AD,  0

 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng    AB AC AD,  0

(A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD)

6 Thể tích tứ diện ABCD: 1 ,

6

ABCD

V   AB AC AD 

  

7 Thể tích hình hộp ABCD.A ’ B ’ C ’ D ’ : ' '

'

ABCD A B C D

V   AB AD AA 



 

KHOẢNG CÁCH

8 Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB):

AB = AB  =

    

B A B A B A

x x 2 y y 2 z z 2

9 Khoảng cách từ điểmM x y z 0; 0; 0đến mặt phẳng  :AxBy Cz  D 0

, ( ) Ax By Cz D

d M

 Nếu 2 mp song song:     / /  d( ), ( )   d M( ), ( )   d N( ), ( )  

 Nếu đường thẳng song song mp:       0 0 0

2 2 2

10 Khoảng cách từ điểmM x y z 0; 0; 0đến đường thẳng : Đường thẳng

0 : qua M

VTCP u



 

;

M M u

d M

u

 

 

  Nếu 2 đường thẳng song song :  1 / /   2 d   1 ; 2 d M1    1 ; 2 d M2   2 ; 1

11 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

2 đường thẳng chéo nhau

1, 2

1

1

: qua M

VTCP u



 

 

2 2

2

: qua M

VTCP u



 

 

1 2

1 2

,

;

,

d

u u

  

  

 

CÔNG THỨC GÓC

12 Góc giữa 2vectơ a 0, b0: Gọi   a, b 

 

 

 

 a.b cos cos a, b

a b



1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a b a b a b

13 Góc giữa 2mặt phẳng:

 VTPT của 2 mặt phẳng Gọi

1 2

n , n    n , n1 2

 

 

 1 2

1 2

n n

cos

n n

14 Góc giữa 2đường thẳng:

là VTCP của 2 đường thẳng Gọi

 

1 2

u , u   u , u 1 2

 

 

 1 2

1 2

u u cos

u u

15 Góc giữa đường thẳng; mặt phẳng:

VTPT mp; VTCP đường thẳng Gọi



u   n, u 

 

 

 n.u sin

n u

Bài tập: TÌM TỌA ĐỘ VECTƠ , TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG – MẶT

Câu 1: Choa1;m; 1 ;b 2;1;3.Tìm m để ab A m1 B m 1 C m 2 D m2

Câu 2: Cho a1;log 5;m3 ;b 3;log 3;45 .Tìm m để ab A m1 B m2 C m 1 D m 2

Câu 3: Cho vectơ a2; 1;0 .Tìm tọa độ vectơ cùng phương với vectơ , biết rằng b

a

a.b 10

A b4; 2;0  B b  4;2;0 C b4;2;0 D b  2;4;0

Câu 4: Cho vectơ a2 2; 1;4 .Tìm tọa độ vectơ cùng phương với vectơ , biết rằng b

a

b 10

A









b 4 2;2; 8

b 4 2;2; 8



 







b 4 2; 2;8

b 4 2;2;8



  







b 4 2;2; 8

b 4 2;2;8









b 4 2; 2;8

b 4 2;2; 8

Câu 5: Cho a1; 2;3 .Tìm tọa độ cùng phương với , biết tạo với trục Oy một góc nhọn và b

a

b



14

b 

A b1;2; 3  B b  1;2; 3  C b  1;2;3 D b1; 2;3 

Câu 6: Cho A2;5;3;B3;7; 4;C x y ; ; 6.Tìm x,y để 3 điểm A,B,C thẳng hàng

A x5;y11 B x11;y5 C x 5;y11 D x5;y 11

Câu 7: Cho 2 điểm A2; 1;3 ;  B 4;3;3 Tìm điểm M thỏa 3MA 2MB 0

A M2;9;3 B M 2; 9;3   C M 2;9; 3   D M 2; 9;3

Câu 8: Cho 3 vectơ u2; 1;1 , v   m;3; 1 ;w  1;2;1 Tìm m để 3 vectơ    đồng phẳng

u, v;w

A m 8 B C D

Câu 9: Cho 3 vectơ a1;2;3 , b 2;1;m ;c2;m;1 Tìm m để 3 vectơ    không đồng phẳng

a, b;c

A m1và m9 B m 1và m9 C m1và m 9 A m 1và m 9

Câu 10: Cho A1; 1;1  ;B 3; 2; 2 Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox biết AC BC

A C 0;0; 1   B C 0; 1;0   C C 1;0;0  D C1;0;0

Câu 11: Cho A1; 2; 2 .Tìm điểm B trên trục Oy, biết AB  6

B 1;1;0 B 0;3;0  B 0;1;0  B 3;0;0  B 0;1;0  B 0;3;0  B 0;0;1  B 0;3;0 

Câu 12: Cho A3;1;0;B2; 4;1 Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz cách đều 2 điểm A và B

A M 0;0;2  B   C D

11

M 0;0;

11

M ;0;0 2

Câu 13: Cho tứ diện ABCD có A2;1; 1 ,B3;0;1,C2; 1;3 và điểm D thuộc trục Oy; biết VABCD 5 Tìm tọa độ điểm D

A D 0; 7;0  vàB 0;8;0  B D 0;7;0 vàB 0;8;0  C D 0; 7;0  vàB 0; 8;0   D D 0;7;0 vàB 0; 8;0  

Câu 14: Tìm trên mpOxzđiểm M cách đều các điểmA 1;1;1 ;B1;1; 0;B3;1; 1 

A   A A C

7 5

M ;0;

5 7

M ;0;

6 6

Câu 15: Cho 3 điểmA1; 0;1,B1; 2; 1 ,C1; 2;3 Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A

B.

1 4

; ;1 ; 1;0;1 ; 0; 2;1

3 3

; ;1 ; 1;0;1 ; 0; 2;1

3 3

C 1 4     D

; ;1 ; 1;0;1 ; 0; 2;1

3 3

; ;1 ; 1;0;1 ; 2;0;1

3 3

Câu 16: Cho 2 điểmA1; 2;1,B2; 1; 2  Trực tâm H của tam giác OAB có tọa độ:

A.

B. C. D.

3 3 3

; ;

5 5 5

3 3 2

; ;

5 5 5

3 2 3

; ;

5 5 5

3 2 3

; ;

5 5 5

Câu 17: Cho 2 điểmA1; 2;1,B2; 1; 2  Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có tọa độ:

A.

B. C. D.

6 3 6

; ;

5 10 5

6 3 6

; ;

5 5 5

2 3 2

; ;

5 10 5

1 3 1

; ;

10 10 10

Câu 18: Hình chiếu H của điểm A2; 4;3trên mặt phẳng  P : 2x 3 y6z 19 0có tọa độ:

A.H1; 1; 2   B. 20 37 3; ; C D.

7 7 7

2 37 31

; ;

5 5 5

  H20; 2;3 

Câu 19: Hình chiếu của gốc tọa độ O0; 0; 0 trên mặt phẳng  P : x2yz -1 0 có tọa độ:

;1;

H  

;1;

1 1 1; ;

2 2

  H0; 0; 0 

Câu 20:Điểm đối xứng của gốc tọa độ O0; 0; 0 qua mặt phẳng  P : x2yz -1 0 có tọa độ:

0; 0; 0

H H1; 2; 2    H2;1; 1   H1; 2; 1  

Câu 21: Cho mp P :x2y3z 14 0 và điểm M1; 1;1  Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mp (P)

A.M1;3; 7B.M1; 3; 7  C M2; 3; 2  D.M2; 1;1 

Câu 22: Hình chiếu H của M(1; 2; – 6) lên đường thẳng d: có tọa độ là :

2 2 1 3

 



  



   



A H(– 2; 0; 4) B H(–4; 0; 2) C H(0; 2; –4) D H(2; 0; 4)

Câu 23: Hình chiếu vuông góc của gốc tọa độO0; 0; 0 trên đường thẳng 1 1 có tọa độ:

:

d    



1 1

0; ;

2 2

H   

; 0;

  H0; 0; 0 0; ;1 1

2 2

Câu 24: Điểm đối xứng của gốc tọa độO0; 0; 0 qua đường thẳng : 1 1 có tọa độ:



0; 0; 0

H H1; 0; 1  H0; 1; 1    H1;1; 0 

Câu 25: Cho điểm A4; 1;3  và đường thẳng : 1 1 3 Tìm tọa độ điểm M là điểm đối xứng với



điểm A qua d.

A M2; 5;3   B M 1;0; 2 C M0; 1; 2   D M2; 3;5  

Câu 26:

a/ Hình chiếu của điểm M x y z 0; 0; 0 trên mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ: hình chiếu: thiếu đâu 0 đó

b/ Điểm đối xứng của điểm M x y z 0; 0; 0qua mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ, gốc tọa độ O.

Điểm đối xứng: Thiếu đâu đối đó

Câu 27: Cho hai điểm A1; 1; 2 ,  B 2; 1; 0  và đường thẳng : 1 1 Tọa độ điểm M thuộc d sao



cho tam giác AMB vuông tại M là

A M1; 1; 0 hoặc 7; 5 2; B hoặc

3 3 3

M   

C M 1; 1; 0hoặc 1; 1; 2 D hoặc

M   

3 3 3

Câu 28: Cho hai điểm A1; 2;3 , B 1; 0; 5  và mặt phẳng  P : 2x y 3z 4 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng.

 P

A M0; 1; 1   B M0;1;1 C M0; 1;1 D M0;1; 1 

Câu 29 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng 1 1 1 ,

:



Tìm tọa độ các điểm M thuộc , N thuộc sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng

2

1

2

 



   



  



1

D.

0;1; 1 , 3; 5; 4

M  N  M2; 2; 2 ,   N 2; 3;3   M0;1; 1 ,   N 0;1;1 M0;1; 1 ,   N 2; 3;3  

Câu 30: Cho điểmA2;1; 0và đường thẳng Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d và cách điểm

2

1

 



  



  



A một khoảng bằng 3

A M4; 1; 1  , 5 11 4; ; B ,

3 3 3

  M4; 1; 1   4 11 5; ;

3 3 3

C M4;1; 1 , 5 11 4; ; D ,

3 3 3

  M4;1;1 11 5 4; ;

3 3 3

Câu 31: Cho điểmA1;1; 0và đường thẳng : 1 1.Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho độ dài

 đoạn AM  6

A M1; 0;1, M0; 2; 2  B M1; 0; 1 , M0; 2; 2 

C M1; 0; 1 , M0; 2; 2  D M1; 0;1, M0; 2; 2 

Câu 32: Cho điểmA2;1; 4và đường thẳng Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho đoạn MA có

1

1 2

 



  



  



độ dài ngắn nhất

A M2; 5;3   B M 1;3;3 C M 2;3;3 D M2;3;3

Câu 33: Cho đường thẳng , và mặt phẳng Tìm điểm M trên đường thẳng

1 2

3

z t

 



  



 



 P : 2x y 2z 1 0

d sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng 3

A.M 15;10; 24  ,M21;8; 30   B.M 15;10; 24  ,M21; 8;30  

C.M15;10; 24  ,M21; 8;30   D.Kết quả khác

Câu 34: Cho 3 điểm A0;1; 2 , B 2; 2;1 ,  C 20;1và mặt phẳng  P : 2x y 3z 4 0 Tìm tọa độ điểm M

thuộc  P sao cho MAMBMC

A M2; 3; 7   B M2;3; 7  C M2;3; 7 D M2; 3; 7 

Câu 35: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), (2; 2; 2), ( 2;3;1)B C  và đường thẳng

Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3

:



7 11 17

15 9 11

; ;

Câu 36: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng   1 2 và mặt phẳng

:

x y z

 Gọi C là giao điểm của với (P), M là điểm thuộc Tìm M biết

A M1;0; 2  hoặc M5;2; 4  B M3;1; 3  hoặc M 3; 2;0

C M1;0; 2  hoặc M 3; 2;0 D M3;1; 3  hoặc M  1; 1; 1

Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : – 2x y2 – 1 0z  và hai đường thẳng

, .Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho

1

:

x y z

x y z

khoảng cách từ M đến đường thẳng và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.2

A M1;2;3 hoặc 6 1; ; 57 B hoặc

7 7 7

  M0;1; 3  18 53 3; ;

35 35 35

C M2;3;9hoặc 11 4; ; 111 D hoặc

15 15 15

  M  2; 1; 15 M1;2;3

Câu 38: Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm M cách đều đường thẳng   1 2 và

:

 

mặt phẳng  P : 2 –x y– 2z0

A M3;0;0 B M 3;0;0 C M2;0;0 D M 2;0;0

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z 4 0 và hai điểm

Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng AB (I khác B) sao cho khoảng cách từ I đến mặt

3;3;1 , 0;2;1

phẳng (P) bằng khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P)

A I  A B I3;1;1 C 2; ;18 D

3

3 5

; ;1

2 2

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1 và

3 :

y t

z t

 





  

 

 Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến bằng 1

 2

:

A M9;6;6 hoặc M6;3;3 B M5;2;2 hoặc M2;0;0

C M10;7;7hoặc M0; 3; 3   D M  2; 5; 5hoặc M1; 2; 2  

Câu 41: Cho đường thẳng   1 Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ

:

M đến Δ bằng OM.

A M1;0;0 hoặc M2;0;0 B M3;0;0hoặc M1;0;0

C M1;0;0 hoặc M2;0;0 D M4;0;0 hoặc M2;0;0

Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường thẳng

Tìm toạ độ điểm M trên sao cho:

:

x y z

28

MA MB 

A M( 1;0;4) B M2; 3; 2   C M1; 2;0  D M3; 4; 4  

Câu 43: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thắng

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho nhỏ nhất

:

x y z

MA  MB

A M1; 2;0  B M2; 3; 2   C M1;0;4 D M3; 4; 4  

Câu 44: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2;3) và đường thẳng

Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho đạt giá trị nhỏ nhất

:

A M2;4;0 B M2;0;4 C M3; 2;6  D M4; 4;8 

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và hai điểm ,

x y z

d   A(0;0;3) B(0;3;3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: MAMB nhỏ nhất

2 2 2

3 3 3

; ;

2 2 2

2 2 2

; ;

3 3 3

  M  1; 1; 1

Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(4;3;9), B(2;1;5) và đường thẳng

1

3 3

 



  



  



Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MAMB đạt giá trị lớn nhất

A M2; 5; 0  B M3; 10; 3   C M1; 0;3 D M1;10; 6

Câu 47: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho các điểm A1;1;2 , B 0; 1;3 ,  C 2; 3; 1   , và đường thẳng Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho:

1

:

3 2

x

y t







  

  



 MA MB 2MC  3 19

A M1;2; 1  hoặc M1;2; 1  B M1;0;3 hoặc 1; 1; 4

2

M  

3 3

1 1; ;5 2

2

M  

Câu 48: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho các điểm A0;0;2 , B 1; 1;1 ,  C 2;2; 1  , và đường thẳng : 1 2 Tìm điểm M thuộc đ thẳng sao cho: đạt giá trị nhỏ nhất

x y z

3 3 3

7 5 1

; ;

3 3 3

1 5 2; ;

2 2

  M3;1;3

Câu 49: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng 1 và Tìm điểm

1 :

1

 



 



  



M thuộc đường thẳng và N thuộc đường thẳng sao cho MN nhỏ nhấtd1 d2

1; ; , 1;0;0

2 2

  M0;1;0 , N 1;0;0   1 1 1

2;0;1 , ; ;

2 2 2

1; ; , ; ;

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng   2 1 5 và hai điểm

:

x y z



A (-2; 1; 1); B (-3; -1; 2).Tìm tọa độ điểm M thuộc đ.thẳng  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

A M2;1; 5  hoặc M14; 35;19  B M1;4; 7  hoặc M3;16; 11 

C M2;1; 5 hoặc M3;16; 11  C M1;4; 7 hoặc M14; 35;19 

Câu 51: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A0;1;0 , B(2; 2; 2) và đường thẳng

Tìm toạ độ điểm M trên  sao cho MAB có diện tích nhỏ nhất

:

x y z



9 9 9

36 51 43

; ;

29 29 29

  M4; 1; 7  5 25; ; 3

13 13 13

Câu 52: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng

Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song

 P :x  y z 200

với mặt phẳng (P)

; ;1

2 2

5 4 2

; ;

3 3 3

5 1

; ; 1

2 2

D  

  D1;4;6