Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB và AC.
Trang 1H XUÂN TR NG
MÔN TOÁN
68 NHU N - TP H I D NG
Trang 2L I NÓI U
Các em h c sinh thân m n!
Luy n gi i b đ tr c k thi tuy n sinh i h c là m t quá trình h t s c quan tr ng
Cu n sách Tuy n t p “80 TOÁN LUY N THI THPT QU C GIA” do th y t ng
h p và biên so n t nhi u đ thi th i h c trong c n c v i nhi u đ thi hay đ giúp các em h th ng l i ki n th c và chuyên đ đã đ c h c, rèn luy n k n ng gi i toán t o
n n t ng ki n th c t t nh t cho k thi i h c s p t i
N i dung sách đ c vi t trên tinh th n đ i m i ,cách gi i trình bày chi ti t, rõ ràng phù
h p theo quan đi m ra đ và ch m thi c a B Giáo d c và ào t o r t phù h p đ các
em t ôn luy n
Toán là môn khoa h c tr u t ng v i ph m vi ng d ng r ng rãi trong m i ho t đ ng
c a con ng i h c toán t t tr c h t r t c n s t m , c n cù, n l c ph n đ u Bên
c nh đó ph ng pháp h c c ng r t quan tr ng, nên đi t cái d và c b n t i cái khó h n
v i m t t duy logic Ti p xúc m t bài toán không ch d ng l i cách gi i thông th ng
mà nên suy ngh , áp d ng nhi u h ng và cách gi i khác nhau Sau m i bài toán nên rút
ra cho mình nh ng đi m chú ý quan tr ng
Cu i cùng th y chúc t t c các em luôn có đ c S C KH E, NI M VUI, S AM
MÊ, và THÀNH CÔNG trong các k thi s p t i!
H i D ng, Ngày 8 tháng 4 n m 2015
Tác gi
ThuVienDeThi.com
Trang 3TR NG THPT B C YÊN THÀNH THI TH THPT QU C GIA N M 2015 – L N 1
MÔN TOÁN Th i gian làm bài 180 phút
Câu 1 (2,0 đi m) Cho hàm s y x= 4−2(m−1)x2 + − m 2 (1).
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 2.
b) Tìm t t c các giá tr m đ hàm s (1) đ ng bi n trên kho ng (1;3).
Câu 2 (1,0 đi m). Gi i ph ng trình cos 1 sin
1 sin
x = −
+
Câu 3 (1,0 đi m) Tính tích phân ln3
0
2
x
I= ∫ e − dx
Câu 4 (1,0 đi m). Ch n ng u nhiên 3 s t t p S = { 1,2, ,11 } Tính xác su t đ t ng ba s
đ c ch n là 12.
Câu 5 (1,0 đi m). Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đi m ( 1;3; 2) A − − ,
( 3;7; 18)
B − − và m t ph ng ( ) : 2P x y z − + + = Vi t ph ng trình m t ph ng ch a đ ng 1 0.
th ng AB và vuông góc v i m t ph ng (P). Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng (P) sao cho MA
+ MB nh nh t.
Câu 6 (1,0 đi m). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và B, v i
; 2 ,( 0).
AB BC a AD= = = a a > Các m t bên (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t đáy. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (ABCD) b ng 60 Tính theo a th tích tích kh i chóp S.ABCD 0
và kho ng cách gi a hai đ ng th ng CD và SB.
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn ( ) :C x2+y2 −2x+4y −20 0 =
và đ ng th ng : 3D x+4y −20 0. = Ch ng t r ng đ ng th ng D ti p xúc v i đ ng tròn
(C). Tam giác ABC có đ nh A thu c (C), các đ nh B và C cùng n m trên đ ng th ng D sao cho trung đi m c nh AB thu c (C). Tìm t a đ các đ nh , , A B C , bi t r ng tr c tâm H c a tam giác
ABC trùng v i tâm c a đ ng tròn (C) và đi m B có hoành đ d ng.
Câu 8 (1,0 đi m). Tìm các giá tr c a tham s m đ ph ng trình sau có nghi m th c
(4m−3) x+ +3 (3m−4) 1− + − =x m 1 0.
Câu 9 (1,0 đi m). Cho các s th c , , 1 ;1
2
a b c ∈ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
a b b c c a
P
H t
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. cán b coi thi không c n gi i thích gì thêm.
C m n th y Nguy n Thanh Hi n(https://www.facebook.com/HIEN.) đã chia s đênwww.laisac.page.tl
Trang 4K THI TH THPT QU C GIA – L N 1, Ngày 22/3/2015
(T i Tr ng THPT B c Yên Thành – Ngh An)
1
(2.0 đi m) a. (1.0 đi m) Kh o sát và v đ th hàm s V i m = 2, y = x 4 − 2x 2
* TX : D = R
* S bi n thiên:
Chi u bi n thiên:
x
x
y ' = 4 3 − 4 ; y ' = 0 ⇔ 4 x 3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 , x = ± 1
Hàm s đ ng bi n trên các kho ng (1; 0) và (1; + ∞ )
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ( ∞ ; 1) và (0; 1)
0.25
C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; ycđ = y(0) = 0
Hàm s đ t c c ti u t i x = ± 1; yct = y( ± 1) = 2 0.25
Gi i h n t i vô c c: ( 4 2 ) 2
→±∞ − =+∞
B ng bi n thiên B ng bi n thiên
0.25
* th :
Tìm guao v i các tr c t a đ
.
0.25
b. (1.0 đi m) Tìm m đ hàm s …
Ta có y' = 4 x 3 − 4 ( m − 1 ) x
y' = 0 ⇔ 4 x 3 − 4 ( m − 1 ) x = 0 ⇔ x x 2 −(m −1) = 0. 0.25
TH1: N u m 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ 1
Hàm s đ ng bi n trên kho ng (0; +∞ ) V y m ≤ 1 tho mãn ycbt. 0.25
TH 2: m 1 > 0 ⇔ m> 1
y' = 0 ⇔ x = 0, x = ± m − 1
Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ( m ; 0 ) và ( − 1 m ; + ∞ ). − 1 0.25
hàm s đ ng bi n trên kho ng (1; 3 ) thì m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2.
K t lu n: V y hàm s đ ng bi n trên kho ng (1; 3 ) ⇔ m ∈ ( − ∞ ; 2 ] .
0.25
2
(1.0 đi m) Gi i ph ng trình…
PT t ng đ ng v i 2 cos 0
cos cos
cos 1
x
x
=
ThuVienDeThi.com
Trang 5sin 1 sin 1 ( ) cos 1
x
x
=
= −
=
V y nghi m c a ph ng trình là: 2 ; 2 , ( ).
2
3
(1.0 đi m) Tính tích phân… ln 2 ln 3
(2 x) ( x 2)
= ln 2 ln 3
= (2ln 2 2 1) (3 2ln 3) (2 2ln 2) − + + − − − 0.25
4
(1.0 đi m) Ch n ng u nhiên
S tr ng h p có th là 3
11 165.
Các b (a, b, c) mà a b c + + = và a b c 12 < < là
(1, 2,9),(1,3,8),(1, 4,7),(1,5,6),(2,3,7),(2,4,6),(3, 4,5) 0.5
V y 7
165
5
(1.0 đi m)
Trong không gian v i h t a đ
Ta có AB ( 2,4, 16) uuur = − −
cùng ph ng v i = −r −
a ( 1,2, 8) , mp(P) có PVT n (2, 1,1) uur = −
.
Ta có [ n ,a] = (6 ;15 ;3) cùng ph ng v i (2;5;1) uur r 0.25
Ph ng trình mp ch a AB và vuông góc v i (P) là
2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0 ⇔ 2x + 5y + z − 11 = 0 0.25
Vì kho ng cách đ i s c a A và B cùng d u nên A, B cùng phía v i mp(P). G i A' là
đi m đ i x ng v i A qua (P).
Pt AA' : x 1 y 3 z 2
+ = − = +
− , AA' c t (P) t i H, t a đ H là nghi m c a
− + + =
+ = − = +
2x y z 1 0
H(1,2, 1)
x 1 y 3 z 2
. Vì H là trung đi m c a AA' nên ta có :
H A A '
H A A '
H A A '
2y y y A '(3,1,0)
= +
= +
Ta có A 'B ( 6,6, 18) uuuur = − −
(cùng ph ng v i (1;1;3) )
0.25
Pt đ ng th ng A'B : − = − =
−
x 3 y 1 z
1 1 3 . V y t a đ đi m M là nghi m c a h ph ng trình
− + + =
2x y z 1 0
M(2,2, 3)
x 3 y 1 z
0.25
Trang 6(1.0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD ….
Gäi H = AC ∩ BD, suy ra SH ⊥ (ABCD) & BH =
3
1 BD.
KÎ HE ⊥ AB => AB ⊥ (SHE), hay ((SAB);(ABCD)) = ∙ SEH = 60 0 .
Mµ HE =
3
1 AD = 2a => SH = 3 2a 3 3 => V SABCD = 1 .SH.S3 ABCD =
3
3
3
a
0.25
Gäi O lµ trung ®iÓm AD, ta có ABCO lµ hình vuông c¹nh a =>DACD
cã trung tuyÕn CO =
2
1 AD
CD ⊥ AC => CD ⊥ (SAC) vµ BO // CD hay CD // (SBO) & BO ⊥
(SAC).
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)).
0.25
TÝnh chÊt träng t©m tam gi¸c BCO => IH =
3
1 IC =
6
2
a => IS =
6
2
5
2
2 HS a
IH + =
kÎ CK ⊥ SI mµ CK ⊥ BO => CK ⊥ (SBO) => d(C;(SBO)) = CK
Trong tam gi¸c SIC cã : SSIC=
2
1 SH.IC =
2
1 SI.CK => CK =
5
3
2
. a
SI
IC
SH =
VËy d(CD;SB) = 2 3 .
5
a
0.25
0.25
7
(1.0 đi m) Trong m t ph ng t a đ
ng th ng ( ) D ti p xúc v i (C) t i (4;2). N 0.25
G i M là trung đi m c nh AB. T gi thi t M thu c (C) và B thu c ( ) D , tìm đ c
(12; 4).
Do C thu c ( ) D và đ ng th ng (d) đi qua H, vuông góc v i AB. Vi t PT (d). 0.25
( ) ( ) (0;5).
8
(1.0 đi m) Tìm các giá tr c a tham s m ….
I
H
A
D
S
O
E K
ThuVienDeThi.com
Trang 7Khi đó PT t ng đ ng v i 3 3 4 1 1 (*)
m
+ + − +
= + + − +
Do ( x+3)2+( 1−x )2 = Nên ta đ t 4.
2
v i
[ ]
tan
2
2
0;1
t
t
ϕ
π ϕ
=
≤ ≤
∈
khi đó (*) 7 2 2 12 9 .
5 16 7
m
− + +
⇔ =
− + +
0.25
Xét hàm s 2 2 [ ]
7 12 9
5 16 7
− + +
− + + L p b ng bi n thiên c a hàm s ( ). f t 0.25
K t lu n: 7 9;
9 7
9
(1.0 đi m) Cho các s th c …
Không m t tính t ng quát, gi s 1 1.
2 ≤ ≤ ≤ ≤c b a t
;
x y
≤ ≤ ≤
= = ⇒
= =
0.25
Khi đó
2
2
P
− − − − + −
Xét hàm s
2 3 1
1
2 2
2
y
− + −
= ≤ ≤ L p b ng bi n thiên (ho c s d ng b t
đ ng th c Cô si), ch ng minh đ c
2
2
2
f t ≤ −
0.25
K t lu n:
2
2
2
MaxP = −
(Tìm đ c a, b, c đ đ ng th c x y ra). 0.25
H t
C m n th y Nguy n Thanh Hi n(https://www.facebook.com/HIEN.) đã chia s đênwww.laisac.page.tl
Trang 8TR NG THPT S 3 B O TH NG THI THPT QU C GIA N M 2015
1
x
y
x
−
=
− + có đ th (C)
1. Kh o sát và v đ th c a hàm s (C)
2. Tìm m đ đ ng th ng y= −2 x m + c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t có hoành đ x x sao cho 1, 2
1 2 4( 1 2 ) 7
2
x x − x x + =
Câu 2 (1,0 đi m) Gi i ph ng trình
2 x sinx 2 3 os + 3
2sin 3
c
x
−
= +
Câu 3 (1,0 đi m) Tính tích phân
2
1
ln
1 2ln
e x
= +
∫
Câu 4(1,0 đi m)
1. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n (1 2 ) 1 3 2
1
i
i
−
+ . Tính mô đun c a z .
2. Tìm h s không ch a x trong khai tri n
15
3 2
( )
x
= +
Câu 5 (1,0 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho ( 1;2; 1) A − − và m t ph ng
( )α :x+2y−2z − = Vi t ph ng trình m t ph ng1 0 ( ) β song song v i m t ph ng ( ) α sao cho kho ng cách t đi m A t i m t ph ng ( ) α b ng kho ng cách t đi m A t i m t ph ng ( ) β
Câu 6 (1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh b ng a SAB là tam giác cân t i S và
n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy , góc gi a c ng SC và m t ph ng (ABCD) b ng 60 0 ,c nh AC = a. Tính
theo a th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC).
Câu 7 (1,0 đi m) Gi i h ph ng trình:
3 2 2
− − + + = + +
− + = −
Câu 8(1,0 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm 7 3;
2 2
O
. i m M ( )6;6
thu c c nh AB và N − ( 8; 2 ) thu c c nh BC . Tìm t a đ các đ nh c a hình vuông.
Câu 9 (1,0 đi m)
Cho x, y, z là các s th c thu c ( ) 0;1 th a mãn đi u ki n ( x3 +y x y3 ) ( + )=xy(1−x)(1− Tìm giá tr y )
H T
C m n b n Ngô Quang Nghi p nghiepbt3@gmail.com ) đã g i t i www laisac page tl
ThuVienDeThi.com
Trang 9ÁP ÁN VÀ H NG D N CH M
− TX : D = R
− S bi n thiên
+ Chi u bi n thiên
( ) 2
1
1
x
= > ∀ ≠
− +
V y: Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng ( ∞ ;1) và (1 ; + ∞ )
0,25
+ C c tr :
Hàm s không có c c tr + Gi i h n :
x→−∞y= − x →+∞ y= − => = −y là đ ng ti m c n ngang
x −y x + y x
→ = +∞ → = −∞ => = là đ ng ti m c n đ ng
0.25
+ B ng bi n thiên :
0,25
• th :
− th :
th hàm s giao v i Ox: ( 1
2 ;0)
th hàm s giao v i Oy: (0;1)
0,25
2
2 1 2
− + + + =
−
= − + ⇔
ng th ng y= −2 x m + c t (C) t i hai đi m phân bi t ⇔ ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
0,25
( ) 2
2
+ − + >
0,25
Trang 10V y m ∀ đ ng th ng y x m = + luôn c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t có
hoành đ x x x1, , 2 1≠ x 2
Theo viet : 1 2 4 , 1 2 1
x x+ = + x x = +
0.25
1 2 4( 1 2 ) 7 1 4( 4) 7 22
x x − x x+ = ⇔ + − + = ⇔m = −
V y 22
3
m = − thì đ ng th ng y= −2 x m + c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t
có hoành đ x x và 1, 2 1 2 4( 1 2 ) 7
2
x x − x x + =
0,25
K : sin 3
2
x ≠ ;
2 x
s inx 2 3 os + 3
2 0 s inx 3 osx=0 2sin 3
c
c
x
−
+
0.25
1sinx 3 osx=0 os x + 0
π
x = ,
3 k k Z
π π
K t h p K ta có x k2 ,k Z
3
π
= + π ∈ là nghi m c a ph ng trình 0.25
2
2ln 1
−
− +
2ln 1
1 2ln 1 2ln 1 1
e x d x e d x
x
+
+
1 2ln 1 1 ln 1 2ln
1 ln3
8
i
i
−
2
z
5
2 ( ) k k k .2k k.2 k k ,(0 15, )
x
H s không ch a x ng v i k th a mãn : 5 5 0 6
6
k
k
− = ⇔ = => h s : 320320 0,25
( ) 4
( , )
3
Vì ( ) β //( ) α nên ph ng trình ( ) β có d ng : x +2y−2z d+ =0,d ≠ − 1 0,25
( , ) ( , )
3 3
d
1
9
9
d
d
d
= −
⇔ = −
−
(d = 1 lo i) =>( ) β : x+2y−2z − = 9 0
0,25
ThuVienDeThi.com
Trang 11G i I là trung đi m c a đo n AB => SI ⊥AB SAB,( ) (⊥ ABCD)=>SI⊥ (ABCD )
nên SCI·=( ·SC ABCD , ( )) = 60 , 0 3 tan 60 0 3
CI = =>SI CI = =
G i M là trung đi m c a đo n BC , N là trung đi m c a đo n BM
AM = =>IN =
Ta có 2 2 3 . 1 2 3 3. 3 3
ABCD ABC a S ABCD a a a
0.5
ta có
BC IN BC SI⊥ ⊥ =>BC⊥ SIN
Trong m t ph ng (SIN) k IK ⊥( ), SN K SN ∈ Ta có
( ) ( ,( ))
IK BC
⊥
⊥
L i có :
2 2 2
IS
0.5
K :
2 0
0
1
3
x y
x y
x
y
− − ≥
+ ≥
>
≥ −
x y
y x
= −
⇔
0,25
1
3
x
0,25
A
D
S
I
M
N K
Trang 12T (3) và (2) ta có :
( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0
5
x
x
=
x= => =y x= => =y
0,25
T (5) và (2) ta có :
x− x+ = x− − x− ⇔ x− x+ = ⇔ =x (do x > 0)
V y h đã cho có nghi m : ( ; ) (1;0);( ; ) (5;4) x y = x y =
0,25
G i G là đi m đ i x ng c a M qua O =>G=(1; 3) − ∈ CD
G i I là đi m đ i x ng c a N qua O => = −I ( 1;5) ∈ AD
0,25
Ph ng trình c nh MO qua M và có VTCP MO uuuur là : 9x−5y −24 0 =
=> Ph ng trình c nh NE qua N và vuông góc MO là : 5x+9y −22 0 =
G i E là hình chi u c a N trên MG => 163 39 ;
53 53
E NE MG= ∩ =>E =
0,25
L i có
( 0, ) ( 1;3)
NJ MG
NE k NJ
=
⊥ => ≠ ∈ => −
=
uuur uuur ;(Vì uuur uuurNE NJ , cùng chi u ) Suy ra ph ng trình c nh AD : 1 0 9
2
x+ = =>OK = Vì KA = KO = KD nên K,O,D thu c đ ng tròn tâm K đ ng kính OK
ng tròn tâm K bán kính OK có ph ng trình : ( 1 ) 2 3 2 81
x+ +y − =
0,25
V y t a đ đi m A và D là nghi m c a h : ( ) 2 2
1
1
1
1 0
3
x
y
x
x
y
= −
=
Suy ra ( 1;6); ( 1; 3)A − D − − =>C (8; 3); (8;6) − B Tr ng h p ( 1;6); ( 1; 3) D − A − −
lo i do M thu c CD .
0,25
ThuVienDeThi.com
Trang 139 1,0
( x3 y x y3 ) ( ) xy(1 x)(1 y) x2 y 2 (x y) (1 x)(1 y ) (1)
Ta có : x2 y x y2 ( ) 4 xy
+ + ≥
(1−x)(1−y) 1 (= − x +y)+xy ≤ −1 2 xy + xy
1
9
=> − + ≥ ⇔ < ≤
0.25
D ch ng minh : 2 2 ( )
1 1 1 ; ; (0;1)
1
xy
+ +
1
+
0.25
3xy−(x +y )=xy−(x y− ) ≤ xy
9
=> ≤ + = + = < ≤
Xét hàm s
1
t
= + < ≤ => => = = + ∈
0.25
H T
C m n b n Ngô Quang Nghi p nghiepbt3@gmail.com ) đã g i t i www laisac page tl
Trang 14S GD& T HÀ N I THI TH T T NGHI P VÀ XÉT TUY N I H C N M 2015
Th i gian: 180 phút không k th i gian phát đ
a)Kh o sát s bi n thiên và v đ (C) c a hàm s (1).
b)Tìm t a đ đi m M thu c đ th (C) sao cho ti p tuy n c a (C) t i M vuông góc v i đ ng th ng
d: x + 3y +1 = 0.
Câu 3 (1,0đi m).Gi i các ph ng trình sau
Câu 5 (0,5đi m). Cho t p h p X g m các s t nhiên có ba ch s phân bi t đ c l p t các ch s
1,2,3,4,5,6 Ch n ng u nhiên m t s t nhiên t t p h p X, tính xác su t đ s đ c ch n có t ng các ch s
b ng 8.
Câu 6 (1,0đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m A(1;4;6) và đi m B(2;3;6). Vi t ph ng
trình m t c u (S) có tâm thu c tr c Ox và đi qua đi m A và đi m B Tìm t a đ các giao đi m c a (S) v i
tr c Oz.
Câu 7 (1,0đi m). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, m t bên SAB là tam giác vuông
cân t i đ nh S và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng đáy. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC
và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB và AC.
đi m K thu c c nh DC và KD = 3KC Tìm t a đ đi m C c a hình vuông ABCD bi t đi m E có hoành đ
nh h n 3.
Câu 10 (1,0đi m).
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
C m n b n RafaeL Fuj ( leekuyngpyoungjan19@gmail.com )đã chia s t i www.laisac.page.tl
ThuVienDeThi.com
