Đề ôn thi học kì 1 môn Toán có đáp án26098

a Ch ng minh: SBISAC.. Tính th tích kh i chóp M.ABC... Ch ng minh SABCH.. Tính th tích HABC.

1

Bài 1 Cho hàm s 2 1

2

x y x





 có đ th là (C)

a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s trên

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n vuông góc v i đ ng th ng 5x  y 3 0

c) Tìm nh ng đi m n m trên đ th (C) cách đ u hai tr c t a đ Ox và Oy

Gi i:

a) H c sinh t kh o sát và v đ th

b) PTTT v i (C) t i M x y0( 0; 0) có d ng: y f x'( 0)(xx0)y0

Mà: f x'( 0).kd  1 ( vì ti p tuy n vuông góc v i đ ng th ng 5x  y 3 0.)

2

2

0

5 ( 5) 1 4 21 0

( 2)

x

  



              



Do đó: + '(3)( 3) 1 1 2

5 5

y f x   y x

+ '( 7)( 7) 3 1 22

5 5

y f  x   y x

V y PTTT c n tìm là 1 2

5 5

y x ; 1 22

5 5

y x

c) T p h p nh ng đi m cách đ u hai tr c Ox, Oy là đ ng th ng yx và y x

+ Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C) và yx:

2 1

2 1 2 1 0 (!) 2

x

x

        

 + Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C) và y x:

x



V y nh ng đi m cách đ u Ox, Oy là A( 2  5; 2 5), B( 2  5; 2 5)

Bài 2 Tìm nh ng đi m l n nh t và nh nh t c a hàm s :

( ) 2 5

f x  x x

( ) x x

f x x e  trên đo n [1; 2]

Gi i:

( ) 2 5

f x  x x

+D [ 5; 5]

+

2

2 '( ) 2

2 5

x

f x

x

 



+

2

2

 

 

2

x

x







+ f(2)5; ( 2)f   3; (f  5) 2 5; ( 5)f 2 5

V y

5; 5 5; 5

max f x( ) f(2) 5; min f x( ) f( 5) 2 5

b) f x( )x e x23x trên đo n [1; 2]

+ D R  1; 2

'( ) x x (2 3) x x

f x e  x x e 

'( ) 0 x x (2 3) x x 0 x x[1 (2 3)] 0

f x  e  x x e   e  x x 

2

1 ( )

1( )

  





 



(1) ; (2) 2

f e f  e

[1;2]

[1;2]

max ( )f x 2e ;min ( )f x e

Bài 3 Cho hàm s 3 2

yx  x  mx nh m đ hàm s đ t c c tr t i x x1, 2 th a x1x2 2

Gi i:

+ DR

' 3 6 2

y  x  x m

' 0 3 6 2 0 ( )

y   x  x m 

hàm s đ t c c tr t i x x1, 2 th a x1x2  2 pt (*) có 2 nghi m phân bi t th a x1x2 2

3

2

2

0

3

m

m

m





V y giá tr m c n tìm là m0

Bài 4 Gi i các ph ng trình và b t ph ng trình sau:

2.4x   x 6x   x 9x   x

2

7

x

x





c)

2 0,7 6

4

x x x

  

Gi i:

2.4x x 6x  x 9x  x

2 2 2 2( 2 2) 2 2

x x

t

2 2 3

, 0 2

x x

 

 

  

 

2 0

2( )

t

t t







2

1

x x

x

x

              

V y nghi m c a ph ng trình là x2; x 1

2

7

x

x





+ k:

2

3 10 0

5

0 2

x x

x

x

        

 



5

2

x x





7

2( )

12

x







V y nghi m c a ph ng trình là x 12

c)

2 0,7 6

4

x x x

  

+ D    4; 1 0;

5 24

x

V y nghi m c a b t ph ng trình là x    4; 3 8;

Bài 5 Cho t di n SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B có ABa SA, (ABC) và SA a 3 G i

I là trung đi m AC

a) Ch ng minh: (SBI)(SAC)

b) Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n SABC

c) G i M là m t đi m n m trong đo n SB sao cho MB2SM Tính th tích kh i chóp M.ABC

Gi i:

a) Ta có: BI AC BI (SAC)







Mà BI(SBI)(SBI)(SAC)

b) G i J là trung đi m SC

+ SAC vuông t i A, trung tuy n AJ 1

2

AJ AJ JC SC

    (1)





1 2

BJ SJ JC SC

    (2)

T (1) và (2) suy ra: AJ BJ SJ JC

V y m t c u ngo i ti p t di n SABC có tâm J, bán kính

2

SC

RAJ BJ SJ JC

ABC

 vuông cân t i B: ACa 2

SAC

 vuông t i A có : SC SA2AC2  3a22a2 a 5

5 2

a R

 

BAMC

M ABC S ABC BASC

3 2

a

.

M ABC

V

2

( 2) ( 1) 2

yx  m x  m x

a) Xác đ nh các giá tr c a m đ hàm s có hai c c tr

J

I

B S

M

b) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 1 g i là đ th (C)

c) Xác đ nh các giá tr c a a đ ph ng trình 3 2

x  x  a có ba nghi m phân bi t

Gi i:

a) + DR

' 3 2( 2) ( 1)

y  x  m x m

' 0 3 2( 2) ( 1) 0

y   x  m x m  (1)

hàm s có hai c c tr thì pt (1) ph i có 2 nghi m phân bi t:

2 2

3 0 0

5 0 ' 0 ( 2) 3( 1) 0

a





V y hàm s có hai c c tr v i m i m

b) H c sinh t kh o sát và v đ th

3 2

yx  x 

x  x    a x  x  a x  x   a

S nghi m c a pt (*) là s giao đi m c a (C) và d: y = a + 2

B ng bi n lu n:

a a + 2 S giao đi m c a (C) và d S nghi m c a pt (*)



0

-4





2 -2



1

2

3

2

1

1

2

3

2

1

V y v i   4 a 0 thì thì ph ng trình 3 2

x  x  a có ba nghi m phân bi t

Bài 2 Cho ( ) 3 2

2 1

x

f x

x





 Tìm ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s f(x) t i giao đi m c a đ th v i

Oy

Gi i:

3 2 ( )

2 1

x

f x

x





 có

1

\ 2

DR  

1 '( )

(2 1)

f x

x







G i M là giao đi m c a đ th và Oy M(0; 2)

PTTT v i đ th (C) t i M x y0( 0; 0) có d ng: y f x'( 0)(xx0)y0

Mà: + ( ;x y0 0)(0; 2)

+ f '(0) 1

Do đó: y 1(x    0) 2 x 2

V y PTTT c n tìm là y  x 2

Bài 3 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s :

a) f x( ) ln( )x

x

 trên 1 2

;

e e

3

x x

ye   x x trên  0; 2

Gi i:

a) f x( ) ln( )x

x



D   e e 

+ f x'( ) 1 ln2 x

x





f x'( ) 0 1 ln2 x 0 lnx 1 x e

x



2

( ) , ( ) , ( )

f e f e e f e



V y

1 2

1 2

1

;

;

1

e e

e e

e 





3

x x

ye   x x

+ D R  0; 2

+ y'  ( 2x 2).e x2 2x3x23

2

2

1

x x

x

 

 

+ f(0)1, (1)f  e 2, (2)f  1

V y

max ( )f x  f(1) e 2,min ( )f x  f(2)  1

Bài 4 Gi i các ph ng trình và b t ph ng trình sau:

2x x2  x x 3

b) log (3 5) log 23 1log (33 20) 0

2

x   x 

c)

2 1

2

3 2

x

   



Gi i:

2x x2  x x 3

2

2

4

2

x x

x x





t t2x2x,t0

Pt 4 2 4

1( )

t

t







1

x



V y nghi m c a ph ng trình là x2, x 1

b) log (3 5) log 23 1log (33 20) 0

2

x   x 

3

x x

x





 



Pt log3 5 1log (33 20) 5 3 20

22 105 0

7

x

x







V y nghi m c a ph ng trình là x15, x7

c)

2 1

2

3 2

x

   

  0;1 2; 

x

         

Bài 5 Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC, c nh đáy AB = a, SA a 2, O là tâm c a đáy

G i I là trung đi m BC

a) Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a

b) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC theo a

c) D ng IH vuông góc SA t i H Ch ng minh SA(BCH) Tính th tích HABC

Gi i:

a) Ta có: ABC đ u, O là tr ng tâm: 2 2 3 3

Xét SAO vuông t i O:

2

2

.

b) Vì S.ABC đ u nên SO là tr c c a đa giác đáy

G i J là trung đi m SA, qua J k đ ng trung tr c c a SA c t SO t i K

 M t c u ngo i ti p hình chóp SABC có tâm K và bán kính RKA KB KCKS

90 SJKSOA , JSK: chung)

5

15 / 3 2

SK

15 5

a

R SK







L i có: SAIH(2)

T (1) và (2) suy ra: SA(BCH)

Xét SAI có:

4 2

SO AI IH SA IH

Xét AIHvuông t i H có:

       

J

O

I

B

S

K H

Mà 2 / 4 1

4 2 AHBC

ASBC

V  AS  a 

AHBC ASBC

3 Bài 1 Cho hàm s 4 2

4 3

y  x x  có đ th (C)

a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s trên

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t ti p tuy n song song v i (d): 16x  y 3 0

Gi i:

a) H c sinh t kh o sát và v đ th

b) PTTT v i (C) t i M x y0( 0; 0) có d ng: y f x'( 0)(xx0)y0

Do đó: y 16(x   2) 3 16x29

V y PTTT c n tìm là y 16x29

Bài 2 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s :

( ) ln( 5) 4

f x  x  x trên đo n 4;3

3 x

y x  e trên đo n  0; 4

Gi i:

( ) ln( 5) 4

f x  x  x

+ DR\   5  4;3

+

7 8

x

f x



5

x

         

 +

3 x

y x  e

+ DR

' 2 x 2 3 x

y  x e  x  e

2

1 13 2

1 13

( ) 2

x













+ 1 13 4 3 1 13, (0) 3, (4) 13 8

V y

1 13 0;4 0;4

Bài 3 Tìm k đ đ ng th ng d y: kx2k1 c t đ th (C): 2 1

1

x y x





 t i hai đi m phân bi t A, B sao cho kho ng cách t A, B đ n tr c hoành b ng nhau

Gi i:

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (C): 2 1 2 1

1

x

kx k x



  



2x 1 kx 2kx x kx 2k 1 kx (3k 1)x 2k 0

             (*)

(C) và (d) c t nhau t i hai đi m phân bi t khi và ch khi (*) có 2 nghi m phân bi t:

0

3 2 2 3 2 2

k



G i A x kx( A, A2k1), (B x kxB, B2k1) A, B cách đ u tr c Ox

V i x xA, B là nghi m c a pt (*) nên: xA xB 1 3k

k



 

1 3

k



V y k 3 th a ycbt

Bài 4 Gi i các ph ng trình và b t ph ng trình sau:

4 x 5.2 x  160

b) lg(2x 3) lg(5x)lg 5 lg(1 3 )  x

3

2 log (4x 3) log (2x 3) 2

Gi i:

4 x 5.2 x  160 (x 1)

2 x 10.2 x 16 0

2 x , 0

t  t

10 16 0

8

t

t







V y x0, x8 là nghi m c a ph ng trình

b) lg(2x 3) lg(5x)lg 5 lg(1 3 )  x

k:

3

1

3

3

x x

x

x



 



 



       



lg (2 3)(5 ) lg 5(1 3 ) (2 3)(5 ) 5(1 3 ) 2 8 10 0

5( )

x







V y x1 là nghi m c a ph ng trình

3

2 log (4x 3) log (2x 3) 2

k:

3

2

x x

x x

x

 



 



Bpt

2

V y nghi m c a b t ph ng trình là 3 3

4  x

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AC2 ,a ABa 3,SA(ABC) và SB

h p v i đáy 1 góc 0

60

a) Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a

b) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p t di n S.ABC

c) Qua B d ng mp ( )P SC Tính t s th tích hai ph n c a hình chóp S.ABC b chia b i mp (P)

Gi i:

BC AC AB  a  a a

I

B

S

H K

( )

SA ABC A là hình chi u c a S lên (ABC)  AB là hình chi u SB lên (ABC)

SB ABC SB AB SBA

SAB

tanSBA SA SA tanSBA AB tan 60 a 3 3a

AB

3

S ABC ABC

a

b) G i I là trung đi m SC

SAC

 vuông t i A, AI là trung tuy n: 1

2

SI ICAI  SC(1)







SBC

  vuông t i B, BI là trung tuy n: 1

2

BI SI IC SC(2)

T (1) và (2) suy ra S.ABC n i ti p m t c u tâm I, bán kính 1

2

RAI BI SI IC SC SAC

SC SA AC  a  a a 13

SC a

R

c) Qua B k BH SC, Qua H k HKSC K AC

SAB

1 cos

2

SBA

SBC

13 13

BHC

 vuông t i H có:

2

CHK CAS

CHKCAS HCK chung)

CK

13

13 1

1 52

52

CHKB

CSAB

CSAB CHKB

BHKAS

CSAB

V V

V

V

4

Bài 1 Cho hàm s 2 1

2

x y x







a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) đi qua đi m M (1; 5)

c) Tìm m đ đ ng th ng (d): ymx1 c t (C) t i hai đi m A, B sao cho tam giác OAB vuông t i O

v i O là g c t a đ

Gi i:

a) H c sinh t kh o sát và v đ th

b) PT (d) qua M(1;5)có HSG k: yk x(  1) 5

2

2 1

( 1) 5

2

.( 1) 5

( 2)

x

k x

x x

x

k x









1

2

1 5

3

2( )

    





  





Do đó: + 1( 1) 5 1 14

y x   x + y3(x  1) 5 3x2

V y PTTT c n tìm là 1 14

3 3

y x , y3x2

c) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C) và (d):

2 1

1 2

x

mx x

  



2x 1 mx 2mx x 2 mx (2m 1)x 1 0

           (*) (C) và (d) c t nhau t i hai đi m phân bi t thì pt (*) có 2 nghi m phân bi t:

0

m





G i 2 giao đi m là A x mx( ;1 11), ( ;B x mx2 21)OA( ;x mx1 11),OB( ;x mx2 21)

OAB

OAOB x x mx mx x x m x x mx mx

m m

  



 



V y m 1 2, m 1 2 th a ycbt

Bài 2 Gi i các ph ng trình và b t ph ng trình sau:

a) 32x445.6x9.22x2 0

log (x2) log (x 10) 4log 3

log (4x144) 4log 2 1 log (2   x 1)

Gi i:

a)

2

3 45.6 9.2 0 81.9 45.6 36.4 0 81 45 36 0

   

   

3

x

t  t

 

  pt

2

9

1( )

t

 





 



x



   

        

   

V y x 2 là nghi m c a ph ng trình

log (x2) log (x 10) 4log 3, k: 2 0 2 2

x

1 log ( 2) log (x 10) log 9 log ( 2)(x 10) log 9 12 11 0

11( )

x

 





V y nghi m c a ph ng trình là x 1

log (4 144) 4 log 2 1 log (2 1) log log 5.(2 1) 5.(2 1)

4 144

5.(2 1) 4 144 20.2 80 2 20.2 64 0 4 2 16 2 4 16

x

x





V y nghi m c a b t ph ng trình là 2 x 4

Bài 3 Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s :

a)

2

2

x

yx e trên  0; 2

ln( 1) ln( 1)

y x   x x  trên  0; 2

Gi i:

a)

2

2

x

yx e

+D R  0; 2

+

2

1( )

x

x l

           +

1

2 2

(0) 0, (1) , (2) 2

f  f e f  e

V y

1 2 0;2 0;2

max ( )f x  f(1) e , min ( )f x  f(0) 0

ln( 1) ln( 1)

y x   x x 

+D R  0; 2

1

1( )

x









+ (0) 0, (1) ln 2, (2) ln3

5

f  f   f 

V y

max ( )f x  f(0)0, min ( )f x  f(1) ln 2

Bài 4 Tìm m đ ph ng trình x2mx 2 2x1 có hai nghi m phân bi t

Gi i:

2

2 (2 1) 3 (4 ) 1 0( )

          

Ph ng trình (*) có hai nghi m phân vi t khi và ch khi ph ng trình (**) có 2 nghi m phân bi t l n

h n 1

2

 :

 

2 2

1 2

1 2

9

(4 )

1 1

1

m

m

m



 



2

m  thì ph ng trình (*) có hai nghi m phân bi t

Bài 5 Cho kh i chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a và m t bên t o v i đáy m t góc 0

60

a) Tính th tích kh i chóp S.ABC

b) Tính th tích kh i c u ngo i ti p kh i chóp S.ABC

c) M t ph ng qua c nh AB và vuông góc v i c nh SC chia kh i chóp thành hai ph n Tính t s th tích

hai ph n y

Gi i:

J

O

N M

B

S

I

H

a) G i O là tr ng tâm tam giác ABC SO(ABC), M là trung đi m AB, N là trung đi m BC







SON

ON

.

b) Vì S.ABC là hình chóp đ u nên SO là tr c đ ng tròn ngo i ti p đa giác đáy

G i J là trung đi m SA, qua J k đ ng trung tr c c a SA c t SO t i I

IS IA IB IC

V y hình chóp S.ABC n i ti p m t c u tâm I, bán kính RISIA IB IC

SAO

 vuông t i O có:

21 21

12 2

a

7

12

a

R

 

Th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp:

3

a

V R     a

c) Ta có: AB(SCM)ABCM AB, SOABSC

K MH SC H SCAB(ABH)SC

Xét SMC có:

3

14 21

6

a a

MHC

 vuông t i H có:

1

21

7 6

CSAB

CHAB CSAB HSAB CSAB

CSAB

a

V

5

Bài 1 Cho hàm s 1 4 2 3

y x mx  (1)

a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) khi m = 3

b) Tìm trên tr c tung các đi m có th k đ c ba ti p tuy n đ n đ th (C)

c) Tìm các giá tr m đ đ th (1) có ba đi m c c tr l p thành ba đ nh c a tam giác vuông cân

d) Tìm các giá tr m đ đ th (1) c t tr c hoành t i b n đi m có hoành đ th a mãn

x x x x 

Gi i:

a) H c sinh t kh o sát và v đ th

b) G i M0;mOy

Pt đ ng th ng qua M0;m có h s góc k có d ng: ykx m (d)

3

6

kx m x x

x x x m x x

k x x

    



  



3 4 2 3

4x x m 2

t 2

, 0

tx t 3 2 3

4t t m 2

     

k đ c ba ti p tuy n v i (C) thì (*) ph i có ba nghi m phân bi t (**) ph i có m t nghi m

d ng và m t nghi m b ng 0

3

0

3

0

0

3 / 4

m

m m

m S





 

 









V y 0; 3

2

M  

  th a ycbt

2

0

2 (*)

x







đ th (1) có ba c c tr thì y’ = 0 có ba nghi m phân bi t (*) có 2 nghi m phân bi t khác 0 0

m

 

A  B m m   C m m  

AB m m AC  m m

ba đi m c c tr l p thành 3 đ nh c a tam giác vuông cân:

3

0( )

2

AB AC





3



d) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (1) và tr c hoành: 1 4 2 3

0

4x mx  2 (*)

t tx t2, 0 (*) 1 2 3 0

3t mt 2

(1) và Ox c t nhau t i 4 đi m phân bi t khi (*) có 4 nghi m phân bi t khi (**) có 2 nghi m phân bi t

0

0

0

a

m

P









 



x   t x   t x x t x x  t x x x x  t t 

10 2.3 20

3

3

m th a ycbt