XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐTỪ CÁC BÀI TOÁN VỀ DẤU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM Dương Ngọc Anh Trường THPT Bến Tre, TP.Phúc Yên, tỉnh Vĩnh Phúc I.. Bởi vậy, là
Trang 1XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TỪ CÁC BÀI TOÁN VỀ DẤU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM
Dương Ngọc Anh
Trường THPT Bến Tre, TP.Phúc Yên, tỉnh Vĩnh Phúc
I LỜI NÓI ĐẦU:
Hàm số và đồ thị là chủ đề cơ bản và xuyên suốt của chương trình toán phổ thông Bài toán xét tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số là dạng toán quen thuộc và hiển nhiên xuất hiện trong kỳ thi THPT QG và các kỳ thi khác
Khi giải quyết tốt dạng bài tập này sẽ giúp HS rèn luyện kỹ năng tư duy
giải toán, kỹ năng phân tích, tổng hợp, kỹ năng ‘‘đọc đồ thị’’ Đồng thời hạn chế
việc sử dụng MTCT trong giải toán để ‘‘ mò ’’ đáp án đúng Thêm vào nữa, học sinh có thể giải nhiều câu tương tự hoặc mức độ khác nhau trong nhiều mã đề của một kỳ thi
Bởi vậy, làm thế nào thiết kế để xây dựng nên bài toán cho dưới dạng ‘‘
Xét tính đơn điệu của một hàm số hợp của hàm số f(x) nào đó khi biết bảng xét dấu hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm f’(x)’’ (Đây là dạng toán mà hiện nay xuất
hiện khá nhiều và tương đối mới lạ đối với HS) Đồng thời giúp học sinh biết cách giải một số lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số, nhìn nhận dưới góc
độ bảng dấu và đồ thị của hàm số đạo hàm đã biết, trên cơ sở việc khai thác ứng
dụng của đạo hàm, kỹ năng ‘‘đọc đồ thị ’’ của hàm số Học sinh nắm chắc kiến
thức, hệ thống hóa, tổng quát hóa dạng toán này và phát triển tư duy giải toán Mặt khác, trong quá trình kiểm tra đánh giá học sinh, chúng ta phải xây dựng ngân hàng câu hỏi về chủ đề toán đó với các câu hỏi trắc nghiệm tương đương cùng mức độ kiến thức hoặc mức độ cao thấp khác nhau, trong việc thiết kế ma trận và đề thi THPT QG bám sát vào chuẩn kiến thức kỹ năng; sử dụng cho
nhiều mã đề gồm những mã đề gốc và mã đề được sinh ra từ các mã đề gốc của
một thời điểm thi
Từ những suy nghĩ trên, tôi trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp và các em
học sinh bài viết “ Xây dựng một số bài toán về tính đơn điệu từ các bài toán
về dấu và đồ thị của hàm số đạo hàm ” nhằm giúp các em định hướng và tự tin
hơn khi làm bài và góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT
Qua bài viết này, tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ thiết kế được nhiều hơn các lớp bài toán hàm số và đồ thị càng sát thực với các đề thi THPT QG và thi chọn học sinh giỏi toán và truyền sự say mê này đến các học sinh của mình
Trang 2II PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN THIẾT KẾ
1 Xây dựng một bài toán xét tính đơn điệu của hàm số khi biết trước bảng xét dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm:
Cho hàm số đạo hàm (thường là những hàm số đạo hàm đơn giản, quen thuộc) của hàm số dưới dạng bảng xét dấu của hàm số đạo
hàm đại diện hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm Sử dụng các
kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số, hàm hợp, thay thế x bởi những hàm
số g(x) thỏa mãn tính chất nào đó, ta có những bài toán tương ứng, mức độ khó hơn, tùy thuộc việc chọn hàm số g(x) để hình thành lên bài toán xét tính đơn
điệu của hàm số
Muốn giải quyết bài toán đó, chúng ta phải nắm chắc và hệ thống về bài toán xét tính đơn điệu của hàm số trên cơ sở điều kiện tương đương của tính đơn điệu và dấu hiệu I về cực trị của hàm số đã xây dựng nên bài toán cụ thể
Chìa khóa để mở cánh cửa của bài toán đã được người ra đề cất đi, yêu cầu
người học phải đi tìm chìa khóa đó với những kiến thức tổng hợp mới giải quyết được
2 Các bước tiến hành xây dựng bài toán:
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Xuất phát điểm từ bài toán cho trước bảng xét dấu của hàm số đạo hàm đại
diện f x hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm đại diện f x của hàm số nào đó
Trên cơ sở phân tích các yếu tố và dữ kiện của bài toán, phát triển và mở rộng bài toán từ việc xét tính đơn điệu của hàm số thành bài toán xét tính đơn điệu của hàm hợp, thiết lập các yêu cầu của bài toán mới như hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào, số cực trị của hàm số hợp là bao nhiêu, Từ
đó, ta nhận được bài toán xét tính đơn điệu của hàm số (ở mức độ thông hiểu, hoặc vận dụng, vận dụng cao) tương ứng với bài toán tính đơn điệu của hàm số ban đầu khi biết bảng dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ đã chỉ ra
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng).
3 Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập tương ứng:
Sử dụng các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, xây dựng thành bài toán xét tính đơn điệu của nhiều hàm hợp khác nhau mà cách giải của những bài toán đó qui về bài toán xét tính đơn điệu của hàm số quen thuộc
Bằng cách phân tích các yếu tố liên quan đến việc xét tính đơn điệu của hàm số gốc liên kết với bài toán xét tính đơn điệu của hàm hợp Từ việc phân tích đó, giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, để từ đó các em biết định
Trang 3hướng trong việc tiến hành giải bài toán Việc phát triển bài toán tương tự, hoặc tổng quát hóa giúp thầy cô xây dựng các bài toán, câu hỏi trắc nghiệm tương đương cùng mức độ kiến thức hoặc mức độ cao thấp khác nhau để sử dụng cho
nhiều mã đề gồm những mã đề gốc và mã đề được sinh ra từ các mã đề gốc của
một kỳ thi Đồng thời, giúp học sinh nắm chắc kiến thức, hệ thống hóa, tổng quát hóa dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số để phát triển tư duy giải toán
(Trong giờ ôn thi THPT QG năm học 2019-2020 của HS trường THPT Bến Tre, tỉnh Vĩnh Phúc)
III CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
1.1 Bài toán 1.1
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Xuất phát từ bài toán:
Cho hàm số nào đó cụ thể có hàm đạo hàm đại diện
hoặc tổng quát có bảng xét dấu của f x như sau:
Trang 4Cho hàm số , bảng xét dấu của f x như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
*) Khi đó thay bởi và khi đó, ta có bài toán 1.1.2:
Cho hàm số , bảng xét dấu của f x như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A 2;3 B 0; 2 C 3;5 D 5;
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
*) Ta có bài toán 1.1.1 là bài toán quen thuộc, ở mức độ nhận biết, chỉ cần dựa
vào bảng xét dấu của f x là ta chọn ngay được đáp án D
*) Với bài toán 1.1, ta có điều kiện để hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi
Dựa vào bảng xét dấu , ta được:
Khi đó, thay bởi biểu thức tuyến tính (bậc nhất) vào hệ thức (*),
ta có kết quả cần tìm
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán 1.1 theo sơ đồ trên
Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi
Dựa vào bảng xét dấu , ta được:
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng) Do đó, chọn đáp án B, vì khoảng
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
Từ bài toán 1.1 ở trên, chúng ta có rất nhiều hướng khai thác để xây dựng
hệ thống bài tập tương tự, mức độ khó hơn hoặc cùng mức độ kiến thức mà có thể sử dụng cho nhiều mã đề của một kỳ thi
Trang 5+) Giữ nguyên giả thiết của bài toán và thay hàm tuyến tính g(x) bởi những hàm
tuyến tính khác, chẳng hạn, thay ở bài toán trên bởi hàm số
ta được bài toán mới với mức độ tương đương:
Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau:
Hàm số y f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A 4; B 2;1 C 2;4 D 1;2 +) Hướng thứ hai, vẫn giữ nguyên giả thiết ban đầu, thay đổi phương án lựa chọn các đáp án, ví dụ :
A 2;3 B C D 5;
ta cũng được bài toán mới với mức độ tương đương
Hoặc có thể thay bằng câu hỏi, hàm số nghịch biến bởi hàm số đồng biến trên những khoảng nào, đồng thời chỉnh sửa phương án lựa chọn đáp án, ta cũng xây dựng thành các bài toán tương ứng
+) Hướng thứ ba, khi thay hàm số bậc nhất ở bài toán trên bằng hàm số đa thức bậc cao hơn, như hàm số bậc hai, bậc ba,… thì ta đã phát triển thành bài toán ở mức độ cao hơn bài toán đã cho
+) Hướng thứ tư có thể thay hàm số nào đó khác mà có đạo hàm dạng
(hoặc có bảng xét dấu của f x cho trước) thì chúng ta cũng thiết lập câu hỏi tương tự như cách làm ở trên sẽ cho chúng ta lớp bài toán tương ứng
1.2 Bài toán 1.2
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Xét bài toán sau:
:
- 0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
Rõ ràng hàm đại diện cùng dấu với hàm số đạo
Viết lại hàm số đạo hàm
Trang 6Thay bởi trong công thức hàm số đạo hàm ở trên và ta thấy hàm số đạo hàm là hàm số đạo hàm trong đó là hàm số cho
Ta nhận được bài toán 1.2 như sau:
và với mọi Hàm số đồng biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Tính đạo hàm của hàm số
Từ hàm số đạo hàm suy ra hàm số đạo hàm Từ đó có
nên , từ đó, kết luận được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ trên
Theo giả thiết
Bảng xét dấu của
- 0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
Từ đó chọn được đáp án cần tìm
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng) Do đó, chọn đáp án C.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Bài toán 1.2 là bài toán có liên quan đến đạo hàm của hàm hợp Mức độ của
bài toán là mức độ vận dụng Để giải quyết tốt bài toán dạng này, học sinh phải
Trang 7hiểu tường tận về tính chất đạo hàm của hàm hợp Hàm số gốc cho
trước có bảng xét dấu của hàm số đạo hàm đại diện đã biết ở bài toán này thể hiện ở dạng định tính, nhân tử ở trong hàm số đạo hàm đó càng tăng
thêm tính chất định tính ở đây Nếu thay hàm số đạo hàm đại diện bằng những hàm số tương tự khác, ta cũng có các bài toán tương tự
+) Khái quát hóa bài toán, bằng cách xuất phát từ hàm số có
, với , ta có thể xây dựng một số bài
toán tương tự, đơn giản khi cho a, b, c những giá trị cụ thể.
Tiếp theo dưới đây, chúng ta xây dựng bài toán cho hàm số bậc cao hơn bậc hai, bậc ba, …
1.3 Bài toán 1.3
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Bắt đầu từ bài toán:
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên và có hàm đạo hàm đại
diện với
, với a, b, c đôi một phân biệt.
Để có bảng xét dấu của đơn giản, ta có thể chọn như sau:
Khi ấy, bảng xét dấu :
- 0 + 0 + 0 - Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta nhận thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên các khoảng và ; hàm số
có hai cực trị Từ đó ta có bài toán sau :
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên và có đạo hàm
Khẳng định nào sau đây đúng
Trang 8A Hàm số đồng biến trên các khoảng và
B Hàm số có ba cực trị
C Hàm số đồng biến trên các khoảng
D Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Lập bảng xét dấu của đạo hàm Từ đó ta có kết quả cần tìm
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
Ta có
Bảng xét dấu của :
- 0 + 0 + 0 - Hàm số nghịch biến trên khoảng nên loại đáp án A.
Hàm số có hai cực trị nên loại đáp án B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng nên chọn đáp án C.
Hàm số đạt cực đại tại nên loại đáp án D.
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng) Do đó, chọn đáp án C.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Bài toán 1.3 là bài toán ở mức thông hiểu, bài toán này xét dấu của đạo hàm
mà không cần tường minh hàm số cho trước và dấu của thực chất chính là dấu của tam thức bậc hai
+) Tổng quát hóa bài toán, bằng cách xuất phát từ hàm số có thể xét dấu được, dễ dàng ta có thể xây dựng một lớp bài toán như ở bài toán 1.3 như sau:
Xét hàm số liên tục và có đạo hàm trên và có đạo hàm
, trong đó
và xây dựng các phương án trả lời trắc nghiệm khách quan liên quan đến tính đơn điệu của hàm số ( chú ý phương án sai gây nhiễu) để thiết lập lên các bài toán
Ngoài cách cho hàm số nào đó có hàm số đạo hàm biết trước bảng xét dấu của nó, còn có những phương pháp khác như cho trước đồ thị của hàm số đạo
Trang 9hàm của một hàm số không tường minh nào đó Từ đây, chúng ta xây dựng bài toán về tính đơn điệu của lớp hàm số khi biết trước đồ thị của hàm số đạo hàm
Đây chính là dạng toán “đọc đồ thị” của hàm số đạo hàm để suy ra các khoảng
mà trên đó đạo hàm mang dấu dương (hoặc âm), tương ứng hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó Hoặc đạo hàm của hàm số đổi dấu từ (+) sang (-) (hoặc từ (-) sang (+) ) để kết luận về điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm số Hoặc dựa vào đồ thị đó ta biết được giá trị của đạo hàm tại một điểm,… Tùy theo đồ thị mà ta xuất phát và cách thức chúng ta thiết kế bài toán TNKQ
Sau đây là bài toán đơn giản ở mức độ thông hiểu về cách thiết lập bài toán về tính đơn điệu của hàm số khi biết trước đồ thị đạo hàm của một hàm số
1.4 Bài toán 1.4
Bước 1: Thiết kế bài toán.
Cơ sở từ bài toán:
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên và có hàm đạo hàm đại
chỉ ra cụ thể)
Dựa vào đồ thị trên ta thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng và
; hàm số nghịch biến trên
Từ đó ta có bài toán sau :
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên và có đạo hàm có
đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng
Trang 10A Hàm số nghịch biến trên các khoảng
B Hàm số đồng biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Dựa vào đồ thị của hàm số đạo hàm, ta có kết quả cần tìm
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
Từ đồ thị trên ta thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng và ; hàm số nghịch biến trên Từ đó chọn đáp án đúng
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng) Đáp án D.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Thay thế đồ thị hàm số đạo hàm bằng một đồ thị hàm số bậc hai bất kỳ trong bài toán 4.1 ở trên ta sẽ nhận được các bài toán tương tự và mức độ câu hỏi ở
mức độ thông hiểu.
Bây giờ, thay việc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số có đồ thị đạo hàm cho trước, bằng việc tìm các khoảng đơn điệu của hàm hợp của hàm số đó thì bài toán sẽ khó hơn và ta có thể thiết kế các bài toán ở mức độ vận dụng cao
1.5 Bài toán 1.5
Bước 1: Thiết kế bài toán.
Cho có hàm số đạo hàm đại diện bậc ba đơn giản, hệ số đẹp
chiều cao của điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đó cho đồ thị cân đối)
Khi đó đồ thị hàm đạo hàm đại diện thỏa mãn các điều kiện:
Trang 11Nếu thay x trong bởi hàm số , với là hàm số liên tục và có đạo hàm trên và thỏa mãn điều kiện
Tiếp đó, chọn một biểu thức chứa tham số m và xét bài toán tìm
đương với bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số
đồng biến trên đoạn , với b là hằng số.
Gỉả sử là hàm số liên tục và có đạo hàm trên , thỏa mãn các điều kiện:
Ẩn hàm số đạo hàm đi, chỉ giữ lại giả thiết biết đồ thị của và chọn , ta có bài toán 1.5 sau đây:
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên Biết hàm số
có đồ thị được cho trong hình vẽ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
đồng biến trên
Trang 12A B C D
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Sử dụng công thức đạo hàm
Yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm m để
Dựa vào đồ thị để xác định được giá trị nhỏ nhất của hàm h(x), ở
Do vậy tìm được các giá trị của m.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
+ Để hàm số đồng biến trên đoạn thì và dấu
‘‘ = ’’ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
Khi ấy
Dựa vào đồ thị hàm số đạo hàm , ta thấy nếu thì
biến trên đoạn
Lại có hàm số đồng biến và dương trên đoạn nên
đồng biến trên đoạn