Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đ
Trang 1Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10
Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội
Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đàn, 1 số tài liệu, về phần lời giải thì đa số là do Tuấn giải lại nhưng 1 số câu là do nhác quá :3 nên chép i nguyên lời giải của nó Vì thế nên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại
Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ) Bên cạnh đó hi vọng các bạn
có 1 tài liệu để có thể tham khảo thêm Chúc các bạn học tốt
Bài 1 Giải phương trình sau:
√
x+ 3 +√
3x + 1 = 2√
x+√ 2x + 2
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0
3x + 1 −√2x + 2 = 2√
x−√x+ 3
⇐⇒ 3x + 1 + 2x + 2 − 2√6x2
+ 8x + 2 = 4x + x + 3 − 4√x2
+ 3x
⇐⇒ √6x2
+ 8x + 2 = 2√
x2
+ 3x
⇐⇒ 6x2
+ 8x + 2 = 4 (x2
+ 3x)
⇐⇒ 2x2
− 4x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1
Bài 2 Giải phương trình sau:
x√3
35 − x3
x+√3
35 − x3
= 30
Lời giải:
Đặt √3
35 − x3
= y ⇐⇒ x3
+ y3
= 35 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
(
x3
+ y3
= 35
xy(x + y) = 30 ⇐⇒
( (x + y)3− 3xy (x + y) = 35
xy(x + y) = 30
⇐⇒
( (x + y)3 = 125
⇐⇒
(
x+ y = 5
⇐⇒
"
x= 3
ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ
DeThiThu.Net
Trang 2Vậy nghiệm của phương trình là:
"
x= 3
x= 2 Bài 3 Giải phương trình sau:
16x4
+ 5 = 6√3
4x3
+ x
Lời giải:
Ta có V T > 0 nên điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là V P > 0 ⇐⇒ x > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
6√3
4x3
+ x = 2.3.3
p(4x3
+ x) 1.1 ≤ 2 4x3+ x + 1 + 1
Mặt khác ta có:
16x4
+ 5 ≥ 2 4x3
+ x + 1 + 1
⇐⇒ 16x4
− 8x3
− 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2
+ 2x + 1 ≥ 0
Do đó: V T ≥ V P khi đó
16x4
+ 5 = 6√3
4x3
+ x ⇐⇒
( 4x3
+ x = 1 2x − 1 = 0 ⇐⇒ x =
1 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
2 Bài 4 Giải phương trình sau:
3 x2
− 1 + 4x = 4x√
4x − 3
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 3
4
Ta có:
3 x2
− 1 + 4x = 4x√
4x − 3 ⇐⇒ 3x2
+ 4x − 3 = 4x√4x − 3
⇐⇒ 3x2
− 4x√4x − 3 + 4x − 3 = 0 ⇐⇒ x −√4x − 3
3x −√4x − 3 = 0
⇐⇒
"
x=√ 4x − 3
"
x2 = 4x − 3
⇐⇒
"
x= 3
ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ
DeThiThu.Net
Trang 3Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
"
x= 3
x= 1 Bài 5 Giải hệ phương trình sau:
( √
x+ 1 + 3y x + (3y2
+ 1)√
x+ 1 − 51y − 27 = 7y3
+ 36y2
x2
+ y2
+ 3x + 5y + 10 = 0
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −1
Đặt: √x + 1 = a (a ≥ 0)
Thay a2
− 1 = x vào phương trình thứ nhất ta được (a + 3y) (a2
− 1) + (3y2
+ 1) a − 51y − 27 = 7y3
+ 36y2
⇐⇒ a3
+ 3a2
y+ 3ay2
= 7y3
+ 36y2
+ 54y + 27
⇐⇒ a3
+ 3a2
y+ 3ay2
+ y3
= 8y3
+ 36y2
+ 54y + 27
⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + 3 ⇐⇒ y = a − 3 ⇒ y =√x + 1 − 3
Thế xuống phương trình thứ 2 ta được: x2
+ 4x + 5 = √
x+ 1 Đặt √x + 1 = y + 2 (y ≥ −2)
Khi đó ta có hệ phương trình:
(
x2
+ 4x + 3 = y
y2
+ 4y + 3 = x ⇐⇒
(
x2
− y2
+ 5 (x − y) = 0
x2
+ 4x + 3 = y
⇐⇒
( (x − y) (x + y + 5) = 0
x2
+ 4x + 3 = y ⇐⇒
(
x= y
x2
+ 3x + 3 = 0 (V N )
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 6 Giải phương trình sau:
2x − 1 +√3x − 2 =√8x2
− 2x − 2
Lời giải:
2
ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ
DeThiThu.Net
Trang 4Biến đổi phương trình đầu trở thành:
2x − 1 +√3x− 2 =
q 2(2x − 1)2+ 2 (3x − 2)
Đặt:
2x − 1 = a
a≥ 13
√ 3x − 2 = b (b ≥ 0) Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a+ b =√
2a2
+ 2b2
⇐⇒ a2
+ 2ab + b2
= 2a2
+ 2b2
⇐⇒ (a − b)2 = 0 ⇐⇒ a = b
Từ đó ta có:
2x − 1 =√3x − 2 ⇐⇒ 4x2
− 4x + 1 = 3x − 2 ⇐⇒ 4x2
− 7x + 3 = 0 ⇐⇒
x= 1
x= 3 4
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x= 1
x= 3 4 Bài 7 Giải hệ phương trình sau:
6x
y − 2 =√3x − y + 3y (1)
2p3x + √3x − y = 6x + 3y − 4 (2) Lời giải:
Điều kiện:
( 3x ≥ y 6= 0 3x +√
3x − y ≥ 0
Ta có:
(1) ⇐⇒ 2 (3x − y) = y√3x − y + 3y2
⇐⇒ 2 (3x − y) − y√3x − y − 3y2
= 0
⇐⇒ 2√3x − y − 3y √
3x − y + y = 0 ⇐⇒
"
2√ 3x − y = 3y
√ 3x − y = −y
Trường hợp 1: 2√3x − y = 3y thì
2√
3x − y = 3y 2
r 3x + 3y
2 = 6x + 3y − 4 ⇐⇒
2√ 3x − y = 3y 6x + 3y ≥ 0 p2 (6x + 3y) = 6x + 3y − 4
⇐⇒
(
2√ 3x − y = 3y 6x + 3y = 8
Trường hợp 2: √3x − y = −y thì
( √
ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ
DeThiThu.Net
Trang 5( √ 3x − y = −y
−2y = 6x + 3y − 4 ⇐⇒
( √ 3x − y = −y 6x + 5y = 4
Từ đây các bạn tự tìm ra nghiệm
Bài 8 Giải phương trình sau:
√ 2x2+ x + 9 +√
2x2
− x + 1 = x + 4 Lời giải:
Xét x = −4 không phải là nghiệm của phương trình khi đó ta biến đổi phương trình như sau:
√ 2x2
+ x + 9 +√
2x2
− x + 1 = x + 4
2x2
+ x + 9 −√2x2
− x + 1 = x + 4
⇐⇒ √2x2
+ x + 9 −√2x2
− x + 1 = 2
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
2x2
+ x + 9 −√2x2
− x + 1 = 2
√ 2x2
+ x + 9 +√
2x2
− x + 1 = x + 4
⇒ 2√2x2 + x + 9 = x + 6
⇐⇒ 4 (2x2
+ x + 9) = x2
+ 12x + 36
⇐⇒ 7x2
− 8x = 0 ⇐⇒
"
x= 0
x= 8 7
Thử lại ta thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x= 0
x= 8 7 Bài 9 Giải phương trình sau:
x+
q
5 +√
x− 1 = 6 Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1
ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ
DeThiThu.Net
Trang 6Biến đổi phương trình đã cho như sau:
x+
q
5 +√
x− 1 = 6 ⇐⇒ x − 1 +
q
5 +√
x− 1 = 5
Đặt:
x− 1 = a p
5 +√
x− 1 = b (a ≥ 0, b ≥ 5) Khi đó ta có:
(
a2+ b = 5
b2 = a + 5 ⇐⇒
(
a2+ b = 5
a2− b2
+ a + b = 0 ⇐⇒
(
a2+ b = 5 (a + b) (a − b + 1) = 0
⇐⇒
a2
+ b = 5
"
a+ b = 0
a− b + 1 = 0
⇐⇒
a2
+ b = 5
"
a2
− a − 5 = 0
a2
+ a + 1 = 5
⇐⇒
a2
+ b = 5
a = 1 ±√21
2
a = −1 ±√17
2
⇐⇒
a= −1 +√17
2
b= 1 +
√ 17 2
Từ đó ta tính được x = 11 −
√ 17
Vậy x = 11 −
√ 17
2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Bài 10 Giải phương trình sau:
√
1 − x2
= 2
3 −√x
2
Lời giải:
Điều kiện:
(
1 − x2
≥ 0
x≥ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1 Đặt:
a=√ x
b= 2
3−√x
a ≥ 0, b ≤ 2
3
Khi đó ta có hệ mới
DeThiThu.Net
Trang 7
a+ b = 2
3
√
1 − a4
= b2 ⇐⇒
a+ b = 2
3
a4+ b4
= 1
⇐⇒
a+ b = 2
3 (a2
+ b2
)2− 2a2
b2
= 1 ⇐⇒
a+ b = 2
3
(a + b)2
− 2ab2
− 2a2
b2
= 1
⇐⇒
a+ b = 2
3
4
9 − 2ab
2
− 2a2
b2
= 1 ⇐⇒
a+ b = 2
3 2a2
b2
−169 ab− 6581 = 0
⇐⇒
a+ b = 2
3
ab= 8 −√194
18
a+ b = 2
3
ab= 8 +
√ 194 18
a, b là nghiệm của phương trình
y2
− 23y+8 −√194
18 = 0
y2
− 2
3y+
8 +√ 194
18 = 0 (V N )
Từ đó ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là: x = 1
9
"
−2 +q2 √
194 − 6 +r 97
2
#
Bài 11 Giải hệ phương trình sau:
x+ 3 = 2p(3y − x) (y + 1) (1)
√ 3y − 2 −r x + 52 = xy − 2y − 2 (2) Lời giải:
Điều kiện:
y≥ 23
x≥ −5 (3y − x) (y + 1) ≥ 0
⇐⇒
y≥ 23
x≥ −5 3x − y ≥ 0
Ta có:
(1) ⇐⇒ 3 (y + 1) − (3y − x) = 2√3y − x.√y+ 1
⇐⇒ h2 √
y+ 12
− 2√3y − x.√y+ 1i+h √
y+ 12
− √3y − x2i
= 0
⇐⇒ 2√y+ 1 √
y+ 1 −√3y − x + √
y+ 1 −√3y − x √
y+ 1 +√
3y − x = 0
⇐⇒ √y+ 1 −√3y − x
3√
y+ 1 +√
3y − x = 0
⇐⇒
" √
y+ 1 −√3y − x = 0
0 = 3√
y+ 1 +√
3y − x > 0 (L) ⇐⇒
√
y+ 1 =√
3y − x ⇐⇒ x = 2y − 1 (3)
DeThiThu.Net
Trang 8Thay (3) vào (2) ta được
√ 3y − 2 −√y+ 2 = 2y2
− 3y − 2
⇐⇒ √ 2 (y − 2)
3y − 2 +√y+ 2 = (y − 2) (2y + 1)
⇐⇒ (y − 2)
2
√ 3y − 2 +√y+ 2 − (2y + 1)
= 0
⇐⇒
y= 2 ⇒ x = 3
2
√ 3y − 2 +√y+ 2 − (2y + 1) = 0 (4)
Và (2) ⇐⇒ 2 − (2y + 1) √3y − 2 +√y+ 2 = 0 (5)
Do
y≥ 23 ⇒ (2y + 1) √3y− 2 +√y+ 2 ≥
2.2
3 + 1
r 2
3 + 2
⇐⇒ − (2y + 1) √3y − 2 +√y− 2 ≤ −7
3
r 8 3
Mà 2 − (2y + 1) √3y − 2 +√y− 2 ≤ 2 − 7
3
r 8
3 <0 nên (5) vô nghiệm.
So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (3; 2)
Bài 12 Giải hệ phương trình sau:
(
x+√
x2+ 1 = y +py2
− 1
x2
+ y2
− xy = 1 Lời giải:
Điều kiện:
"
y≥ 1
y≤ −1 Biến đổi phương trình đầu như sau:
x+√
x2 + 1 = y +py2
− 1 ⇐⇒ x − y =py2
− 1 −√x2+ 1
⇒ x2
− 2xy + y2
= x2
+ y2
− 2√x2+ 1.py2
− 1
⇐⇒ xy =√x2 + 1.py2
− 1 ⇒ x2
y2
= (x2
+ 1) (y2
− 1) ⇐⇒ y2
− x2
= 1
Khi đó ta được hệ mới:
DeThiThu.Net
Trang 9y2
− x2
= 1
x2
+ y2
− xy = 1 ⇐⇒
(
x2
+ y2
− xy = y2
− x2
y2
− x2
= 1
⇐⇒
( 2x2
− xy = 0
y2
− x2
"
x= 0 2x = y
y2
− x2
= 1
⇐⇒
(
x= 0
y= ±1
x= ±1
√ 3
y = ±2√ 3
Thử lại thì hệ phương trình có các nghiệm: (x; y) = (0; 1) ,√1
3;
2
√ 3
Lưu ý: Bài toán được giải hoàn chỉnh nhưng tại sao lại phải thử lại nghiệm Ở đây vì khi biến đổi phương trình thứ nhất chúng ta không đặt điều kiện nên sau khi giải ra nghiệm chúng ta phải thử lại Mặt khác nếu chúng ta không đặt điều kiện mà bình phương thì dùng dấu ⇒ nhé
Bài 13 Giải phương trình sau:
4√
x2
+ x + 1 = 1 + 5x + 4x2
− 2x3
− x4
(1) Lời giải:
Ta có: (x2
+ x + 1)2 = x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 2x + 1
Khi đó
(1) ⇐⇒ 4√x2
+ x + 1 = − x2
+ x + 12
+ 7 x2
+ x + 1 − 5
Đặt: a =√x2
+ x + 1 (a > 0) Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a4− 7a2
+ 4a + 5 = 0 ⇐⇒ a2
− a − 1
a2+ a − 5 = 0 ⇐⇒
a= 1 +
√ 5 2
a= −1 +√21
2
Với a = 1 +
√ 5
2 thì
√
x2
+ x + 1 = 1 +
√ 5
2 ⇐⇒ x2
+ x −1 +
√ 5
2 = 0 ⇐⇒ x = −1 ±
p
3 + 2√
5 2
DeThiThu.Net
Trang 10Với a = −1 +
√ 21
√
x2
+ x + 1 = −1 +√21
+ x + −9 +√21
2 = 0 ⇐⇒ x = −1 ±
p
19− 2√21 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x= −1 ±p3 + 2√
5 2
x= −1 ±p19− 2√21
2 Bài 14 Giải phương trình sau:
16x2
− 23x + 10 = (x + 2)√4x2
+ 4x − 7 Lời giải:
Điều kiện:
x≥ −1 + 2
√ 2 2
x≤ −1 − 2
√ 2 2
Ta có:
16x2
− 23x + 10 = (x + 2)√4x2
+ 4x − 7
⇐⇒ 4x2
+ 4x − 7 − (4x − 3)√4x2
+ 4x − 7 + (5x + 1)√4x2
+ 4x − 7 − (5x + 1) (4x − 3) = 0
⇐⇒ √4x2
+ 4x − 7 + 5x − 1 √4x2
+ 4x − 7 − (4x − 3) = 0
⇐⇒
" √
4x2
+ 4x − 7 + 5x − 1 = 0
√
4x2
+ 4x − 7 − (4x − 3) = 0 ⇐⇒
" √ 4x2
+ 4x − 7 = 1 − 5x
√ 4x2
+ 4x − 7 = 4x − 3
⇐⇒
x≤ 15 4x2
+ 4x − 7 = 25x2
− 10x + 1
x≥ 34 4x2
+ 4x − 7 = 16x2
− 24x + 9
⇐⇒
x≤ 15 21x2
− 14x + 8 = 0
x≥ 34 12x2
− 28x + 16 = 0
⇐⇒
x= 4 3
x= 1
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x= 4 3
x= 1 Bài 15 Giải phương trình sau:
3
√ 12x2
+ 46x − 15 −√3
x3
− 5x + 1 = 2x + 2 Lời giải:
Đặt: a =√3
12x2
+ 46x − 15, b = 2x + 1, c =√3
x3
− 5x + 1
DeThiThu.Net
Trang 11Ta có:
3
√ 12x2
+ 46x − 15 −√3
x3
− 5x + 1 = 2x + 2
⇐⇒ √3
12x2
+ 16x − 15 − (2x + 1) =√3
x3
− 5x + 1 + 1
⇐⇒ 12x
2
+ 46x − 15 − (2x + 1)3
a2
+ ab + b2 = x
3
− 5x + 2
c2
− c + 1
⇐⇒ −8(x
3
− 5x + 2)
a2
+ ab + b2 = x
3
− 5x + 2
c2
− c + 1
⇐⇒ (x3
− 5x + 2)( 8
a2
+ ab + b2 + 1
c2
− c + 1) = 0
⇐⇒
x= 2
x= −1 +√2
x= −1 −√2
Vậy nghiệm của phương trình là:
x= 2
x= −1 +√2
x= −1 −√2 Bài 16 Giải phương trình sau:
√
x2+ x + 1 +√
4x2 + x + 1 √
5x2
+ 1 −√2x2+ 1= 3x2 Lời giải:
Biến đổi phương trình đầu trở thành:
√
x2
+ x + 1 +√
4x2
+ x + 1 √
5x2
+ 1 −√2x2+ 1 = 3x2
⇐⇒ √x2
+ x + 1 +√
4x2+ x + 1 3x2
= 3x2 √
5x2
+ 1 +√
2x2
+ 1
⇐⇒
"
x= 0
√
x2
+ x + 1 +√
4x2
+ x + 1 =√
5x2
+ 1 +√
2x2
+ 1
Mặt khác:
√
x2
+ x + 1 +√
4x2
+ x + 1 =√
5x2
+ 1 +√
2x2
+ 1
⇐⇒ √5x2
+ 1 −√4x2
+ x + 1 =√
2x2
+ 1 −√x2
+ x + 1
2
− x
√ 5x2
+ 1 +√
4x2
+ x + 1 =
x2
− x
√ 2x2
+ 1 +√
x2
+ x + 1
⇐⇒
"
x2− x = 0
√ 2x2
+ 1 +√
x2
+ x + 1 =√
5x2
+ 1 +√
4x2
+ x + 1
⇐⇒
x= 1
x= 0
√ 2x2
+ 1 =√
5x2
+ 1
⇐⇒
"
x= 0
x= 1
Vậy nghiệm của phương trình là:
"
x= 0
DeThiThu.Net
Trang 12Bài 17 Giải bất phương trình sau:
(x + 1) (x − 3)√−x2
+ 2x + 3 < 2 − (x − 1)2 Lời giải:
Điều kiện:
"
x≥ 3
x≤ −1 Biến đổi bất phương trình như sau:
(x + 1) (x − 3)√−x2
+ 2x + 3 < 2 − (x − 1)2
⇐⇒ (x2
− 2x − 3)√−x2
+ 2x + 3 < −x2
+ 2x + 1
Đặt: √−x2
+ 2x + 3 = t (t ≥ 0) Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
t3 < t2− 2 ⇐⇒ t3
− t2
+ 2 < 0
⇐⇒ (t + 1) (t2
− 2t + 2) < 0 ⇐⇒ t < −1 (KT M)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 18 Giải phương trình sau:
3 q (3x + 1)2+q3
(3x − 1)2+√3
9x2
− 1 = 1 Lời giải:
Đặt:
(
3
√ 3x + 1 = a
3
√ 3x − 1 = b ⇒ a
3
− b3
= 2 Khi đó ta có hệ phương trình:
(
a2
+ b2
+ ab = 1
a3
− b3
(
a2
+ b2
+ ab = 1 (a − b) (a2
+ b2
+ ab) = 2
⇐⇒
(
a2
+ b2
+ ab = 1
a= b + 2 ⇐⇒
( 3b2
+ 6b + 3 = 0
a= b + 2
⇐⇒
(
a= 1
b= −1
Lúc đó:
(
3
√ 3x + 1 = 1
DeThiThu.Net
Trang 13Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 0
Bài 19 Giải bất phương trình sau:
(3 − x)√x− 1 +√5 − 2x ≥ √−x3
+ 10x2
− 34x + 40 (1) Lời giải:
Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
2
Ta có:
(1) ⇐⇒ 2 (3 − x)p(x − 1) (5 − 2x) ≥ −2x3
+ 17x2
− 47x + 44
⇐⇒ 2√−2x3+ 17x2
− 48x + 45.√x− 1 ≥ (−2x3
+ 17x2
− 48x + 45) + (x − 1)
⇐⇒ √−2x3
+ 17x2
− 48x + 45 −√x− 12
≤ 0
⇐⇒ √−2x3
+ 17x2
− 48x + 45 =√x− 1
⇐⇒ −2x3
+ 17x2
− 49x + 46 ⇐⇒ x = 2 (T M)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x = 2
Bài 20 Giải hệ phương trình sau:
5
√
x− 1 +√3
x+ 8 = −x3
+ 1 Lời giải:
Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình
Mặt khác:
Trường hợp 1 Với x > 0 thì ta có: √5
x− 1 +√3
x+ 8 > √5
0 − 1 +√3
0 + 8 = 1 trong khi đó
−x3
+ 1 < 1 do đó phương trình đã cho vô nghiệm
Trường hợp 2 Với x < 0 thì ta có √5
x− 1 +√3
x+ 8 < 1 < −x3
+ 1 nên phương trình cũng
vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 0
Bình loạn: Thông thường khi chúng ta gặp các bài toán mà số mũ của mỗi phần tử không có
1 tý nào liên quan đến nhau thì hay đoán nghiệm và sử dụng đánh giá xem sao nhé
DeThiThu.Net
Trang 14Bài 21 Giải hệ phương trình sau:
1 2x+
x
y = 3x + 3√y 4x2
+ 2y (1) 4x + y =√
2x + 6 − 2√y (2) Lời giải:
Điều kiện:
(
−3 ≤ x 6= 0
y >0 Đặt: √y = z (z > 0) khi đó phương trình (1) trở thành:
2x2
+ z2
xz2 = 3x + 3z
2x2 + z2 ⇐⇒ (2x2
+ z2
)2 = xz2
(3x + 3z)
⇐⇒ 4x4
+ 4x2
z2
+ z4
= 3x2
z2
+ 3xz3
⇐⇒ 4x4
+ x2
z2
− 3xz3
+ z4
= 0
⇐⇒ 4xz
4
+x z
2
− 3.xz + 1 = 0 ⇐⇒ 2xz − 1
2
x z
2 + x
z + 1
= 0
⇐⇒ 2x = z ⇒ 2x = √y
Thay vào phương trình còn lại ta được:
4x2
+ 8x =√
2x + 6
⇐⇒
(
x >0 16x4
+ 64x3
+ 64x2
= 2x + 6
⇐⇒
(
x >0 8x4
+ 32x3
+ 32x2
− x − 3 = 0
⇐⇒
(
x >0 (2x2
+ 3x − 1) (4x2
+ 10x + 3) = 0
⇐⇒ x = −3 +
√ 17
4 ⇒ y = 13 − 3
√ 17 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = −3 +
√ 17
13 − 3√17 2
!
Bài 22 Giải phương trình sau:
√
x+ 3 −√x+ 1 x2+√
x2+ 4x + 3= 2x
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −1
DeThiThu.Net
Trang 15Ta có phương trình đã cho tương đương với:
2
√
x+ 3 +√
x+ 1
x2
+p(x + 3) (x + 1)= 2x
⇐⇒ x2
+p(x + 3) (x + 1) = x √x+ 3 +√
x+ 1
⇐⇒ x −√x+ 3
x−√x+ 1 = 0
⇐⇒
"
x=√
x+ 3
x=√
x+ 1 ⇐⇒
(
x≥ 0
x2
− x − 3 = 0 (
x≥ 0
x2
− x − 1 = 0
⇐⇒
x= 1 +
√ 13 2
x= 1 +
√ 5 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x= 1 +
√ 5 2
x= 1 +
√ 13 2 Ps: Bài toán nay mình đã làm mất khá nhiều thời gian nhưng đăng lên diễn đàn và nhìn đáp án lại thấy khá là cơ bản Do đó mình rút ra 1 kinh nghiệm là khi làm chúng ta nên sử dụng các biến đổi đơn giản, không nên sử dụng các biến đổi phức tạp, biến bài toán trở nên
khó khăn
Bài 23 Giải phương trình sau:
√
1 + x2+ x4+ x = √
x− x3 Lời giải:
Điều kiện:
"
0 ≤ x ≤ 1
−∞ < x ≤ −1 Xét với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Với x ∈ (0; 1] ta có:
xr 1
x2 + x2+ 1 + x = xr 1
x − x ⇐⇒ r 1
x2 + x2+ 1 + 1 =r 1
x − x
Đặt r 1
x− x = t ⇒ t4
= 1
x2 + x2
− 2 khi đó phương trình đã cho trở thành:
√
t4
+ 3 + 1 = t ⇐⇒
(
t− 1 ≥ 0
t4
+ 3 = t2
− 2t + 1 ⇐⇒ t = −1 (loai)
Xét với (−∞; −1] ta có
DeThiThu.Net
Trang 16Tương tự ta có: r 1
x− x = t ⇒ t4
= 1
x2 + x2
− 2 Khi đó
−√t4
+ 3 + 1 = −t ⇐⇒
(
t+ 1 ≥ 0
t4
+ 3 = t2
+ 2t + 1 ⇐⇒ t = 1 (T M)
Với
t= 1 ⇒ 1
x − x = 1 ⇐⇒ x2
+ x − 1 = 0 ⇐⇒
x= −1 +√5
2 (loai)
x= −1 −√5
2
⇐⇒ x = −1 −
√ 5 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −1 −
√ 5 2 Bài 24 Giải bất phương trình sau:
x√
x+ 7 − 2x√
x >4
r
x+ 4
x − 2 Lời giải:
Điều kiện x > 0
Bất phương trình đã cho tương đương với
x2
− 2x + 7 > 4√x2
− 2x + 4 ⇐⇒ x2
− 2x + 4 − 4√x2
− 2x + 4 + 3 > 0
⇐⇒ √x2
− 2x + 4 − 1 √
x2
− 2x + 4 − 3 > 0 ⇐⇒
" √
x2
− 2x + 4 < 1
√
x2
− 2x + 4 > 3
⇐⇒ x2
− 2x − 5 > 0 ⇐⇒
"
x >1 +√
6
x <1 −√6
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 1 +√6
Bài 25 Giải phương trình sau:
x+ 3 2 − 3x22
= 2 Lời giải:
DeThiThu.Net