Dòng chảy chất khí trong đường ống có cấp nhiệt

DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU CỦA CHẤT KHÍ HOÀN HẢO TRONG ĐƯỜNG ỐNG TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT Trên thực tế các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng

1

1

B

p,V A,M T,ρ

dQ

dm

dW

p+Dp

V +DV

A+DA

M+DM

T+DT

r +Dr

2

2

Hình 1.1

Dòng chảy chất khí trong đường ống có cấp nhiệt

Nguyễn Công Hảo

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Chuyên ngành: Cơ học Chất lỏng; Mã ngành: 60 44 22 Người hướng dẫn: PGS - TS Trần Văn Trản

Năm bảo vệ: 2011

Abtract: Tổng quan về dòng chảy một chiều của chất khí hoàn hảo trong đường ống Nghiên

cứu chuyển động của chất khí trong đường ống có ma sát Tìm hiểu dòng chảy một chiều trong đường ống có cấp hoặc thu nhiệt Trình bày các kết quả tính toán

Keywords: Cơ học chất lỏng; Dòng chảy chất khí; Ống cấp nhiệt; Vật lý

Content

1 DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU CỦA CHẤT KHÍ HOÀN HẢO TRONG ĐƯỜNG ỐNG TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

Trên thực tế các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng khí và một yếu tố khác nữa cùng một lúc tồn tại nên việc nghiên cứu dòng chảy là hết sức phức tạp trong chương này chúng ta sẽ thu nhận hệ phương trình tổng quát khi mà nhiều yếu tố ảnh hưởng cùng hiện diện và xem xét một số trường hợp đặc biệt

Ngoài các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng khí chúng ta còn đề cập thêm các yếu tố như sau: sự tồn tại của các vật rắn trong dòng chảy; dòng chảy

có thêm vào hoặc bớt đi một lượng khí tại một thiết diện nào đó; dòng khí trong khi chuyển động thực hiện một công cơ học hoặc được tạo một công cơ

học trên nó Bên cạnh các yếu tố thuần túy cơ học

nói trên còn phải kể đến các yếu tố ít nhiều mang

bản chất hóa học cũng ảnh hưởng nhiều đến dòng

chảy Đó là các yếu tố như phản ứng hóa học xảy

ra trong dòng chảy; sự chuyển pha: ngưng tụ hoặc

bốc hơi của các chất lỏng có trong dòng chảy: sự

thay đổi trọng lượng phân tử hoặc các đặc trưng

về nhiệt do phản ứng hóa học hoặc sự ngưng tụ,

bốc hơi gây nên Các yếu tố ’’hóa học’’ này được

xem xét cùng với các yếu tố cơ học nói trên trong [3] khá kỹ Trong luận văn này chúng ta chỉ đề cập đến nhóm các yếu tố cơ học

Chúng ta cần đến các giả thiết: dòng chảy là một chiều, dừng và liên tục

Hệ phương trình tổng quát

Xét một phần tử thể tích như trên hình 1.1, giới hạn bởi hai thiết diện 1-1 và 1-2 và phần tử đường ống tiếp xúc với dòng khí giữa hai thiết diện đó Giả sử B là vật rắn tồn tại trong không khí Để

cho đơn giản, ta giả thiết rằng, trong trường hợp nếu một lượng khí được phun thêm vào dòng chảy thì chất khí phun thêm có cùng tính chất cần thiết như chất khí chính Khi đó phương trình liên tục viết cho thể tích chọn trên sẽ có dạng:

2 2V A2 1 1V A1 m

trong đó Δm là lượng khí thêm vào hoặc bớt đi từ dòng chảy trong thể tích đang xem xét Ký hiệu

m=ρAV là lưu lượng dòng chảy chính Khi đó từ biểu thức trên ta có thể thu nhận phương trình vi phân

như sau:

dV d dA dm

r r

+ + = (1.1)

Phương trình động lượng viết cho phần tử thể tích đã chọn có dạng:

p A - p A + D - p A t D Ac j - D R = m +D m V - mV - D mV

trong đó:

- pΔA là tổng hợp lực áp suất tác động lên ΔA w được chiếu xuống phương dòng chảy Ox;

- τ w ΔA w cosφ lực ma sát của đường ống tác động lên dòng khí với φ là góc lệch của đường sinh

của đường ống so với Ox

- ΔR b là lực cản của vật rắn B

- ΔmV a là động lực của phần khí thêm vào hoặc bớt đi với vận tốc V a Ta coi φ là góc nhỏ (do giả thiết dòng một chiều) nên có thể lấy cosφ=1

Mặt khác, lực ma sát đường ống có thể biểu diễn ở dạng:

2 w

4 2

D

trong đó f là hệ số ma sát, D là đường kính thủy lực tương đương của tiết diện đường ống Tương tự

như vậy, đối với lực cản của vật rắn người ta cũng biểu diễn ở dạng:

2

2

V

D =

trong đó c x là hệ số lực cản; S b là diện tích đặc trưng của vật sử dụng các biểu thức này cho lực ma sát

và lực cản để thay vào phương trình động lượng ở trên rồi chia hai vế cho ρV 2

và lấy giới hạn khi hai thiết diện 1-1 và 1-2 của phân tử thể tích tiến sát vào nhau, ta được phương trình ở dạng vi phân:

2 4dx

b

S

r

- - - = + - (1.2)

Thay

2 V p V p 2

g

g

= = = ở số hạng đầu trong (1.2), ta thu được:

2

1 2

a

x b

V

g

è ø è ø (1.3)

Tiếp theo, ta xem xét phương trình năng lượng Trước tiên viết cho phần tử thể tích:

trong đó ΔQ là lượng nhiệt trao đổi trong thể tích xem xét; ΔW là công cho dòng khí thực hiện(như làm

quay tuốc bin) hoặc công cấp cho dòng khí (như máy nén hoặc cánh quạt đẩy) Trong trường hợp thứ

nhất ta lấy dấu trừ, trường hợp thứ hai ta lấy dấu cộng trước số hạng W Tương tự, nếu cấp nhiệt ta lấy dấu cộng và nếu thu nhiệt ta lấy dấu trừ trước ΔQ , còn Δh 0a là chênh lệch enthanlpy toàn phần của lượng khí thêm vào hoặc bớt đi Do đó:

( )

2 2 0a

2

a

trong đó T a và V a là nhiệt độ và vận tốc của lượng khí đó Thay h=c p T, chia phương trình năng lượng

cho m và lại xét giới hạn khi phân tử thể tích co về một thiết diện, ta nhận được một phương trình :

dm

m

Tiếp theo viết V V d V2 dV

V

= và thay

2

1

p

a

c T

l

=

- rồi chia 2 vế của phương trình trên

cho c p T, ta thu được:

0a

Phương trình trạng thái của chất khí hoàn hảo ở dạng vi phân có dạng:

dp d dT 0

r r

- - = (1.5)

Các phương trình (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) đủ để xác định dV/V, dT/T, dp/p, và dρ/ρ Do số

m có mặt trong các phương trình đó nên sẽ tiện lợi hơn nếu ta thu nhận thêm phương trình nữa cho m

Ta có:

M 2 ≡V 2

/(γRT)

từ đây ta có thể rút ra:

0 2

M - V + T = (1.6)

Như vậy, khi đã cho quy luật thay đổi của dA, dm, f, c x , D, V a , T a , dq, dw, từ (1.1), (1.3), (1.4),

(1.5) và (1.6) chúng ta hoàn toàn xác định sự biến thiên của V, p, ρ, T, M theo các đại lượng vừa kể

trên và dọc theo chiều dài dòng chảy trong ống Cụ thể, ta nhận được các phương trình sau:

2

1 1

dV

e a d

V =M - - - ;

2

1 1

d

a e d M

r

r = - + - ;

1

1 (1 ) 1

g g

g

ê - + - çç + ÷÷ú

;

1

2

g g

g

- - çç + ÷÷

2

1

g

+

2

x

c

0

a

Để thấy rõ ảnh hưởng của từng yếu tố đến M, ta xem xét kỹ phương trình cho dM/M ta có:

2

2dx

x b

c

g

-2

2

1 [1 ( 1)]

1

a

dT

M r

g

trong đó dT 0 biểu diễn qua dq và dw bằng hai vế của (1.4) bằng cách xem xét từng yếu tố riêng biệt ở

vế phải của (1.7), chúng ta có thể thấy tác động của mỗi yếu tố đó lên dòng chảy Chẳng hạn, giữ lại số

hạng đầu tiên của vế phải, các số hạng khác cho bằng không ta sẽ rút ra được kết luận như ở chương 4

về ảnh hưởng của dA lên dòng chảy

Để tính các thông số của dòng chảy dọc theo đường ống khi đã biết các thông số đó ở

một thiết diện nào đó trong dòng chảy, ta tích phân cùng lúc (1.7) và phương trình cho T Sau khi đã tính được M(x) và T(x), các thông số còn lại được tính trực tiếp từ các biểu thức giải tích:

1 1 1

V =Ma=M g RT r VA=r V A +Dm v p=r RT

Cần lưu ý đặc điểm sau của dòng chảy trong trường hợp tổng quát này Từ (1.7) chúng

ta thấy, nói chung, có thể tồn tại thiết diện ở đó M=1 và tại đó vế phải của (1.7) và các phương trình

khác sẽ không xác định Nếu ta viết (1.7) ở dạng:

2

(M -1)dM =M j (M x A x( ), ( ), f c dq d, x, , w,dm)

trong đó φ là biểu thức vế phải của (1.7), chúng ta thấy, tại thiết diện x=x * nơi có M=1 thì φ(1, A(x * ), f,

c * , dq(x * ), dw(x * ), dm(x * ))=0 Đây cũng chính là phương trình để tìm x * về nguyên tắc, khi chúng ta

tích phân (1.7) thì các đại lượng f và c x trong biểu thức vế phải được coi là các hằng số và bằng một giá

trị trung bình nào đó Sau khi tìm được x * , ta cần tìm dM(x * ).Giá trị đó tìm như sau: ta cho dM(x *) một

giá trị nào đó và tích phân ngược trở lại đến thiết diện mà ở đó đã biết trước M Chẳng hạn ta tích phân (1.7) từ x * đến x1(x1<x * ) và theo giá trị M1 đã cho để chỉnh dM(x * ) cho phù hợp Quy trình tìm dM(x *)

cũng giống như tìm hệ số f khi chưa cho biết lưu lượng dòng chảy trong mục 2.2 để cho quá trình sấp

sỉ liên tục(chẳng hạn bằng phương pháp Newton) chóng hội tụ, ta có thể lấy giá trị gần đúng ban đầu

cho dM(x *) bằng cách sau Ta coi

'

( , ) ( , )

x

x M

x M

dM x

j j

Trong biểu thức (1.8), giới hạn của vế phải sẽ là '

( ,1) / ( )

x x dM x

j khi đó dM x( )* sẽ được tìm

từ phương trình:

2 '

(dM x( )) =j x( ,1)x (1.9)

Cần phải giải thích rằng, giá trị dM(x *) tìm từ phương trình (1.9) không phải là phù hợp ngay

cho bài toán của chúng ta trong trường hợp này, bởi vì việc coi f và c x là các consts trên toàn bộ độ dài đường ống sẽ dẫn đến sự không phù hợp trên, nghĩa là, nếu ta tích phân (1.7) từ x * ngược trở lại x1 với

dM(x * ) từ (1.9) thì giá trị M1 nhận được tại x1 có thể sẽ khác nhiều so với giá trị đã cho trước của M tại

đó Sau khi đã làm được dM(x *) phù hợp theo thuật toán xấp xỉ liên tục nói trên, ta tiếp tục tích phân

(1.7) và phương trình cho dT từ x * đến cuối đường ống

Để kết thúc phần này, chúng ta nói thêm về việc xác định T(x *) như một giá trị ban đầu cho bài

toán tích phân (1.7) và phương trình cho dT từ x* về hai phía của đường ống: một là từ x* ngược về x1,

hai là từ x* xuôi về cuối đường ống Ta có phương trình:

0 w 0a

p

dm

m

với vế phải là một hàm số đã biết theo x Do vậy, ta dễ dàng tính được T0(x*) bằng cách tích phân

phương trình này từ x1 đến x* ta có biểu thức liên hệ giữa T và T0 theo (4.19) Tại x* do M=1 nên

* 0 *

1 ( ) ( ) / 1

2

T x T x æ g - ö

Như vậy, bài toán có thể giải được chọn vẹn trong trường hợp tổng quát Cuối cùng, cần lưu ý thêm rằng, do ảnh hưởng tổng hợp của nhiều yếu tố cùng một lúc, dòng chảy hoàn toàn có thể từ trên

âm trở thành dưới âm hoặc ngược lại với sự tồn tại của thiết diện x=x* trong đường ống ngay cả khi

A=const

2 DÒNG CHẢY CÓ TRAO ĐỔI NHIỆT TRONG ĐƯỜNG

ỐNG CÓ MA SÁT

Ta xem xét trong mục này ảnh hưởng của các yếu tố: trao đổi nhiệt, thiết diện thay đổi, ma sát ống đến dòng chảy Để đơn giản, chúng ta xem xét hai trường hợp sau:

-2.1 Dòng chảy có trao đổi nhiệt trong đường ống thiết diện thay đổi

Trong trường hợp này chúng ta có các phương trình sau:

0

d dA dV

A V

r

0

dq=c dT p =c dT V V p + d (3.41)

dp d dT

r r

Bằng các phép biến đổi đại số, từ (3.39) ÷ (3.42) và sử dụng biểu thức 2 2 2 2

V =M a =M g RT, chúng ta có thể thu nhận được phương trình sau:

0

1 ( 1) / 2 1 ( 1) / 2 p

g

Phương trình này biểu diễn sự thay đổi của M dọc theo đường ống dưới tác động của dA và dq Cũng từ (3.43) ta suy ra rằng M=1 tại thiết diện mà ở đó điều kiện sau phải thỏa mãn:

1

1 ( 1) / 2 p

dq dA

c T A

g g

-=

Cũng giống như trường hợp dòng chảy có ma sát trong đường ống thiết diện thay đổi, M đạt giá trị 1 không phải tại nơi A có giá trị nhỏ nhất mà tại nơi có dA > 0 xác định từ (3.44)

Bây giờ chúng ta xem xét việc tính toán các thông số của dòng chảy ở thiết diện với x=l 2 nếu ta

biết các thông số đó ở thiết diện với x=l 1 và qui luật biến thiên A(x), q(x) với l 1 <x< l 2 Cũng từ (3.39)

và (3.42) dễ dàng nhận được:

2

2

1

2

M

g

g

+

Từ (3.43)ta có:

Thay dM/M từ (3.46) vào (3.45) và sau khi rút gọn ta được :

Như vậy, với qui luật A=A(x), q=q(x) đã cho trên [l1,l2], ta tích phân hệ hai phương trình (3.46)

và (3.47) trên đoạn [l1,l2] để tính M2 =M l2( ),2 T2 =T l( )2 Sau đó ta tính V2 =M2 g RT2 và

2 1 1V A1/ (V A2 2)

r =r và p2 =r2RT2

2.2 Dòng chảy có trao đổi nhiệt, có ma sát trong đường ống thiết diện không đổi

Trong trường hợp này hệ phương trình mô tả chuyển động của chất khí hoàn hảo bao gồm:

0

dV d V

r r

2

2

f

D

0

dq=c dT V V p + d =c dT p ; (3.50)

dp d dT

r r

Trong đó f là hệ số ma sát đã đưa vào trong trang 6 từ các phương trình trên, sử một số phép biến đổi

ta có thể nhận được:

1

g

g

2

g

+

Từ đây ta có thể rút ra:

2

2(1 ) 1

2

p

g

(3.54)

2 2

1

M

Để tính toán các thông số của dòng chảy khi đã biết q=q(x) và f trước tiên ta tích phân các phương trình (3.54) và (3.55) để tìm M(x) và T(x), sau đó ta cũng tính p(x), ρ(x) theo trình tự như đã

nói trong mục trước

References

1 Trần Văn Trản, 2004, Khí động lực học cơ bản, NXB ĐHQG HN

2 Trần Văn Trản, 2007, Phương pháp số thực hành Tập 1 và Tập 2, NXB ĐHQG HN

3 Ascher H Shapiro, 1953, The Dynamic and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow The

Ronald Press Company

4 Schlichting H., 1960, Boundary Layer Theory McGraw-Hill

5 Fundamental of Gas Dynamics, vol III : High speed Aerodynamics and Jet Propulsion Oxford

University Press, 1958

6 Zel’dovich Y.B., 1968, The Theory of Detonation Oxford University Press,