(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về các giá trị chung của các hàm nguyên và các đa thức vi phân
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẶNG THỊ THU THẢO
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG
CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, năm 2021
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẶNG THỊ THU THẢO
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CÁC GIÁ TRỊ CHUNG
CỦA CÁC HÀM NGUYÊN VÀ CÁC ĐA THỨC VI PHÂN
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TSKH TẠ THỊ HOÀI AN
Thái Nguyên, năm 2021
Trang 3Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021
Tác giả
Đặng Thị Thu Thảo
Trang 4em rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các quý thầy cô và các bạn
để luận văn của em được hoàn thiện hơn
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đãgiúp đỡ và hỗ trợ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văncủa mình
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 05 năm 2021
Tác giả
Đặng Thị Thu Thảo
Trang 5Mục lục
1.1 Một số hàm cơ bản của lý thuyết Nevanlinna 3
1.2 Tính chất cơ bản của các hàm Nevanlinna 7
1.3 Định lý cơ bản thứ nhất 11
1.4 Định lý cơ bản thứ hai 12
Chương 2 Cấp của một hàm phân hình 19 2.1 Định nghĩa 19
2.2 Một số tính chất về cấp của hàm phân hình 20
Chương 3 Các hàm nguyên có chung giá trị 24 3.1 Hàm nguyên và đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị 24 3.2 Một số hệ quả 36
3.3 Hàm nguyên và đạo hàm cùng chung giá trị 37
Trang 6Tài liệu tham khảo 44
Trang 7Mở đầu
Việc nghiên cứu tính duy nhất của hàm nguyên và hàm phân hình làmột trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức và thuhút nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm Trong những nămgần đây, các kết quả và công cụ của lý thuyết Nevanlinna được áp dụngrộng rãi vào giải quyết các vấn đề này
Theo hướng nghiên cứu này, bài toán về sự phân bố của hàm phânhình f thông qua giá trị chung và đạo hàm f(k) của nó đã được đưa rabởi Hayman, sau đó phát triển hơn bởi một số nhà toán học khác Ví dụRubel và Yang [11] đã chứng minh rằng nếu một hàm nguyên f có chunghai số phức phân biệt hữu hạn tính cả số bội với f0 thì f ≡ f0, Gundersen[5], Jank, Mues và Volkmann [8] và Yang [14] nghiên cứu cho các trườnghợp tổng quát hơn
Năm 1996, Br¨uck [3] đưa ra giả thuyết như sau:
Giả thuyết Cho f là một hàm nguyên khác hằng Giả sử rằng
σ2(f ) = lim sup
r→+∞
log log T (r, f )log rkhông phải là số nguyên dương hoặc vô hạn Nếu f và f0 chung nhau mộtgiá trị a hữu hạn tính cả bội, khi đó
f0 − a
f − a = cvới mọi hằng số c khác không
Giả thuyết này đã được chứng minh trong các trường hợp sau:
Trang 8(i) f có cấp hữu hạn, xem [6];
Luận văn được viết dựa trên bài báo [2] Bố cục của luận văn gồm cóphần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệutham khảo Nội dung chính của luận văn được trình bày trong chương 3.Chương 1: Kiến thức cơ bản: trình bày tổng quan và hệ thống một
số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna
để phục vụ cho các nghiên cứu trong chương sau
Chương 2: Cấp của một hàm phân hình: trình bày các khái niệm vềcấp của hàm phân hình cùng các tính chất liên quan
Chương 3: Các hàm nguyên có chung giá trị: đây là nội dung chínhcủa luận văn Trong chương này chúng tôi đưa ra một số các kết quả vềhàm nguyên và đa thức vi phân tuyến tính có chung giá trị, hàm nguyên
và đạo hàm có chung giá trị
Trang 9Chương 1
Kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản trong
lý thuyết Nevanlinna
Định nghĩa 1.1.1 Hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) xác định trong miền
G được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu tồn tại một số r > 0 sao choD(z0, r) ⊂ G và các hàm u(x, y), v(x, y) khả vi và thoả mãn điều kiệnCauchy-Riemann trong D(z0, r) Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình trên Gnếu f chỉnh hình tại mọi điểm z ∈ G
Định nghĩa 1.1.2 Điểm a ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập củahàm f (z) nếu hàm f (z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ
Trang 10c) Điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại lim
Định nghĩa 1.1.7 Hàm f (z) được gọi là hàm phân hình trong miền
D ⊂ C nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bấtthường là cực điểm
Nếu D = C thì ta nói f (z) phân hình trên C, hay đơn giản f (z) là hàmphân hình
Nhận xét 1.1.8 Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cậncủa mỗi điểm z ∈ D, f (Z) có thể biểu diễn được dưới dạng thương củahai hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1.9 Giả sử f là hàm phân hình trên U Khi đó, với mỗi
a ∈ U ta có thể viết f (z) = (z − a)mg(z), m ∈ Z, trong đó g(z) là hàmchỉnh hình trên U và g(a) 6= 0
• Nếu m > 0 ta nói rằng a là không điểm bậc m của f
• Nếu m < 0 ta nói rằng a là cực điểm bậc m của f
Định lý 1.1.10 (Công thức Poisson - Jensen, xem [9]) Giả sử f (z) làhàm phân hình trong hình tròn {|z| ≤ R}, 0 < R < ∞, có các không điểm
aµ (µ = 1, 2, , M ), các cực điểm aν (ν = 1, 2, , N ) trong hình tròn đó(mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó).Khi đó, nếu
r = reiϕ(0 ≤ r < R), f (z) 6= 0, ∞
Trang 11R(z − aµ)
R2 − ¯aµz
R(z − aν)
R2 − ¯aνz
Tiếp theo, ta có định nghĩa về các hàm trong lý thuyết phân bố giá trịNevanlinna như sau
Trước hết, ta có định nghĩa hàm logarit dương
Cho f (z) là hàm phân hình và không là hàm hằng trong đĩa |z| ≤ R,(0 < R < ∞) Với 0 < r < R, nhà toán học Nevanlinna đã định nghĩa cáchàm sau
Định nghĩa 1.1.12 Hàm
m(r, f ) = 1
2π
Z 2π 0
log+
Từ đó, ta có
m(r, F ) ≤ T (r, f ) − N (r, 1
f) + log
1
f (0)
+ m
Trang 22f (0)
f0(0)
+ m(rf0F )
+ N
δ + log 2+ N
+ log 1
Z 2π 0
log
... giá trị gần a” Trong đó, vếphải đẳng thức định lý xem không phụ thuộcvào a (sai khác đại lượng giới nội) Vì định lý thứ nhấtcho ta thấy hàm phân hình f (z) nhận giá trị a (và giá trị gầna) số. ..
Tiếp theo, ta có định nghĩa hàm lý thuyết phân bố giá trịNevanlinna sau
Trước hết, ta có định nghĩa hàm logarit dương
Cho f (z) hàm phân hình khơng hàm đĩa |z| ≤ R,(0 < R <...
Bổ đề hồn tồn chứng minh
Bổ đề 1.2.4 (xem [12]) Cho f hàm phân hình k số nguyên dương.Nếu f nghiệm phương trình vi phân a0w(k)+a1w(k−1)+·