(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy

(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

-ĐÀO ĐÌNH ĐÌNH

ĐA THỨC THUẬN NGHỊCH BẤT KHẢ QUY

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

Mở

1.1

Vành đa thức 3

1.2 Đa thức bất khả quy trên Q . 4

1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein 5

1.4 Đa thức chia đường tròn 6

1.5 Đa thức Chebyshev 7

2 Đa thfíc thuận nghịch bất khả quy 10 2.1 Định nghĩa đa thức thuận nghịch 10

2.2 Tính chất của đa thức thuận nghịch 11

2.3 Phương pháp thế 16

2.4 Tính chất số học của ánh xạ thuận nghịch 22

3 Tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thfíc thuận nghịch 25 3.1 Tiêu chuẩn bất khả quy trên Q 25

3.2 Tiêu chuẩn của đa thức thuận nghịch bất khả quy 29

Kết

Tài

1

LỜI MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết đa thức, đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọnggiống như vai trò của số nguyên tố trong tập số nguyên Đa thức thuậnnghịch bất khả quy là một chủ đề rất hay nói về đa thức Việc nghiên cứutính bất khả quy của đa thức trong Q là một lĩnh vực nghiên cứu đượcthành lập đòi hỏi các khái niệm và công cụ khác nhau từ nhiều lĩnh vực

Đa thức f (x) ∈ F (x) được gọi là bất khả quy nếu deg[f (x)] > 0 và f (x)

không phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc bé hơn

Cho f ∈ Q[t] là một đa thức bậc n Đa thức f được gọi là thuận nghịch nếu

f (t) = t n f 1

Mục đích của đề tài là nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết các kếtquả về tiêu chuẩn bất khả quy cho các đa thức thuận nghịch và mối liên hệ

giữa đa thức thuận nghịch và đa thức bất khả quy trên Q Nội dung luận văn

được viết dựa theo bài báo của hai tác giả Antonio Cafure và Eda Cesaratto

đã công bố trên tạp chí The Mathematical Association of America vào tháng

1 năm 2017

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở

về vành đa thức, đa thức bất khả quy trên Q, tiêu chuẩn Eisenstein, đa thức

chia đường tròn, đa thức Chebyshev Chương 2 trình bày về đa thức thuậnnghịch bất khả quy, trong đó có định nghĩa, tính chất của đa thức thuậnnghịch bất khả quy, phương pháp thế được sử dụng trong đa thức thuậnnghịch bất khả quy, tính chất số học của ánh xạ thuận nghịch Trong

Chương 3 trình bày một số tiêu chuẩn bất khả quy trên Q, và tiêu chuẩn

của đa thức thuận nghịch bất khả quy

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học- Đại học Thái

t

Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Ngô Văn Định Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất tới TS Ngô Văn Định, người đã định hướng cho đề tài vàtận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy côgiáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại họcKhoa học- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cám ơn những ngườithân trong gia đình và tất cả những người bạn thân yêu đã hết sức thôngcảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể học tập, nghiêncứu thực hiện luận văn của mình

Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2021,

Tác giả luận văn

Đào Đình Đình

Chương 1

Kiến thfíc chuẩn bị

Mục đích của phần này là trình bày lại khái niệm về vành đa thức,

đa thức bất khả quy trên Q, tiêu chuẩn Eisenstein về đa thức bất khả quy.

Ngoài ra tác giả trình bày lại định nghĩa đa thức chia đường tròn, đa thứcChebyshev và các tính chất của đa thức Chebyshev

1.1 Vành đa thfíc

Nhắc lại rằng một tập V ̸= ∅ cùng với phép cộng được gọi là một nhóm

nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Phép cộng có tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c với mọi a, b, c ∈ V (ii) Tồn tại phần tử 0 ∈ V sao cho a + 0 = 0 + a = a với mọi a ∈ V.

(iii) Mỗi a ∈ V, tồn tại phần tử đối −a ∈ V sao cho a +(−a) = (−a)+a = 0.

Nếu thêm điều kiện a + b = b + a với mọi a, b ∈ V thì V được gọi là nhóm

giao hoán Nhóm cộng V được trang bị thêm phép toán nhân được gọi là một vành nếu 3 điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Phép nhân có tính kết hợp: (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c ∈ V.

(ii) Tồn tại phần tử đơn vị 1 ∈ V sao cho a1 = 1a = a với mọi a ∈ V.

(iii) a(b + c) = ab + ac và (b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c ∈ V.

Nếu thêm điều kiện ab = ba với mọi a, b ∈ V thì V là vành giao hoán.

Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến x với hệ số trên V là một tổng hữu

i=0 b i x i là bằng nhau nếu a i = b i với mọi i.

Ký hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V.

Cho f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a1x + a0 ∈ V [x] Ta gọi a0 là hệ số tự

do của f (x) Nếu a n 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được ký hiệu bởi

degf (x) Trong tường hợp này, a n được gọi là hệ số cao nhất của f (x).

Nếu a n = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Ta

không định nghĩa bậc cho đa thức 0 Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là

đa thức hằng Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính.

Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x)

1.2 Đa thfíc bất khả quy trên Q

Định nghĩa 1.2.1 Một đa thức f (x) ∈ F [x] được gọi là bất khả quy trên Q

nếu degf (x) > 0 và f (x) không phân tích được thành tích của hai đa thức

có bậc bé hơn Nếu degf (x) > 0 và f (x) là tích của hai đa thức có bậc

bé hơn thì ta nói f (x) là khả quy.

Bổ đề 1.2.1 Các hát biểu sau là đúng.

(i) Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy.

(ii) Nếu f (x) bậc lớn hơn 1 và có nghiệm trong F thì f (x) khả quy.

(iii) Đa thức bậc 2 và bậc 3 là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó không có nghiệm trong F.

(iv) Đa thức f (x) có bậc dương là bất khả quy nếu và chỉ nếu f (x + a) là bất khả quy với mọi a ∈ F.

Đa thức bất khả quy có tính chất tương tự như tính chất của số nguyên

tố Trước hết, chúng ta đã biết, Bổ đề Euclid phát biểu rằng số tự nhiên

p > 1 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu p|ab kéo theo p|a hoặc p|b với mọi số tự

nhiên a, b Mệnh đề sau đây là điều tương tự cho đa thức bất khả quy.

Mệnh đề 1.2.1 Nếu p(x) ∈ F [x] bất khả quy và p(x)|a(x)b(x) thì p(x)|a(x)

hoặc p(x)|b(x) với mọi a(x), b(x) ∈ F [x] Đặc biệt, một đa thức bất khả quy là ước của một tích hữu hạn đa thức thì nó phải là ước của ít nhất một trong các đa thức đó.

Định lý 1.2.1 Mỗi đa thức dạng chuẩn bậc dương có thể phân tích được

thành tích các đa thức bất khả quy dạng chuẩn và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.

Định nghĩa 1.2.2 Đa thức p(x) ∈ F [x] bất khả quy dạng chuẩn xác định

như trong mệnh đề trên được gọi là đa thức bất khả quy của a.

Ví dụ 1.2.1 Đa thức x3 − 2 ∈ Q[x] là đa thức bất khả quy

của thức x2 + 1 ∈ R[x] là đa thức bất khả quy của i ∈ C.

√

3

2 ∈ R; đa

1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein

Tiêu chuẩn 1.3.1 Cho f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a0, a n ̸= 0, là đa thức

với các hệ số nguyên và p là số nguyên tố sao cho a n không chia hết cho p và

các a i , i < n chia hết cho p nhưng a0 không chia hết cho p2 Khi đó f (x) là

đa thức bất khả quy trên Z.

Tiêu chuẩn 1.3.2 [Tiêu chuẩn Eisenstein suy rộng] Cho f (x) = a0x n +

a1x n−1 + + a n , a0 ̸= 0, n > 1 là đa thức với các hệ số nguyên và p là

số nguyên tố sao cho a0 không chia hết cho p và các a i chia hết cho p với

i = k + 1, k + 2, , a n và a n không chia hết cho cho p2 Nếu f (x) biểu diễn

được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên, f (x) = g(x)h(X), thì bậc của một trong hai đa thức g(x) hoặc h(x) không nhỏ hơn n − k.

Ví dụ 1.3.1 Với bất kì số nguyên tố p đa thức f (x) = 1 + x + + x p−1 là

khả quy trên Z Ta chọn số nguyên tố p với p ≤ n < 2p với n chia hết cho p,

bất khả quy trên Z.

1.4 Đa thfíc chia đường tròn

Định nghĩa 1.4.1 Cho n là số nguyên dương Đa thức chia đường tròn thứ

n là đa thức dạng chuẩn (tức là có hệ số cao nhất bằng 1) và có đúng φ(n)

nghiệm là các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị Ta kí hiệu đa thức chia

Φn (x) =

e n=1 ord(e)=

Ví dụ 1.4.1 Các căn bậc 3 của đơn vị là

ϵ k = cos 2kπ

+ i

sin3

ϵ k = cos 2kπ

+ i

sin4

Đa thfíc Chebyshev loại 1

Với mọi n ∈ N tồn tại duy nhất đa thức T n (x) thỏa mãn:

Chữ T trong tên đa thức là viết tắt tên của nhà toán học Nga Chebyshev,

một vài đa thức khởi đầu là:

Đa thfíc Chebyshev loại 2

sin(n + 1)x

U n (cos x) =

Được gọi là đa thức Chebyshev loại 2.

Dễ thấy U0(x) = 1, U1(x) = 2x và từ hệ thức lượng của sin ta có

U n+1 (x) = 2x.U n (x) − U n−1 (x).

Một số đa thức khởi đầu của U là:

+) T n (x) có đúng n nghiệm thực phân biệt là cos (2k+1)π , k = 0; n − 1 U n có

đúng n nghiệm thực phân biệt là cos kπ , k = 1; n.

+) |T n (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Dấu bằng xảy ra tại n + 1 điểm cos k π , k = 0; n

2

n n+1

n

được gọi là các điểm luân phiên Chebyshev (Các luân điểm)

Chương 2

Đa thfíc thuận nghịch bất khả quy

Trong chương này, tác giả nghiên cứu và trình bày lại định nghĩa đathức đảo, đa thức thuận nghịch Trình bày và chứng minh các tính chất,mệnh đề, bổ đề của đa thức thuận nghịch Trình bày phương pháp thế được

sử dụng trong đa thức thuận nghịch với mục đích tối ưu hóa việc tìm nghiệmcủa đa thức thuận nghịch dựa theo tài liệu tham khảo số [1],[2]

2.1 Định nghĩa đa thfíc thuận nghịch

Định nghĩa 2.1.1 Cho một đa thức f ∈ Q[t], đa thức đảo của f được định

nghĩa như sau:

nghiệm của frev.

Ví dụ 2.1.1 Nếu f = t2 − t + 2 thì đa thức đảo của f là:

Trong phần 2, tính chất của f rev được phát biểu chính xác, đa thức

thuận nghịch được biết đến nhiều và xuất hiện trong nhiều trường hợp

Định nghĩa 2.1.2 Đa thức f ∈ Q[t] là một đa thức thuận nghịch nếu

Khi đó frev(t) = f (t) Vậy f (t) chính là đa thức thuận nghịch.

Ta nhận thấy rằng: Đa thức thuận nghịch f (t) có cùng hệ số với frev nhưng

ở thứ tự ngược lại

2.2 Tính chất của đa thfíc thuận nghịch

Trong mục này chúng ta đưa ra một số tính chất quan trọng của đa thức thuận nghịch

Tính chất 2.2.1 Giả sử 0 là nghiệm bội k của f Khi đó bậc của frev bằng deg f − k Nếu f (0) ̸= 0 thì (frev)rev = f.

Chứng minh Giả sử f (t) là đa thức bậc n Nhận 0 là nghiệm bội k của f.

Nên đa thức f (t) có dạng: f (t) = a n t n + + a k t k Ta có

f (t) = t n a n

+ + a k

= a n + + a k t n−k

Do đó deg frev = deg f − k.

Ta chứng minh: Nếu f (0) ≠ 0 thì (frev)rev = f.

Giả sử f (t) là đa thức bậc n, khi đó f (t) có dạng:

f (t) = a n t n + a n−1 t n−1 + + a0. (2.3)

rev

t

Vậy f (rev)rev = f.

Tính chất 2.2.2 (f.g)rev = frev.grev.

Chứng minh Giả sử đa thức f, g lần lượt có dạng

Ta lại có

(f.g)rev = frev.grev.

Tính chất 2.2.3 Nếu f (0) ̸= 0 thì f là bất khả quy trong Q[t] khi và chỉ khi

frev là bất khả quy trong Q[t].

Chứng minh ⇒) Ta chứng minh nếu f là bất khả quy trong Q[t] thì frev

cũng bất khả quy trong Q[t].

Giả sử f bất khả quy, frev là khả quy Khi đó ta có

frev = g.h

Do f (0) ̸= 0 nên (frev)rev = f Do vậy f = (frev)rev = (g.h)rev = grev.hrev Điều

này vô lý vì f là bất khả quy Do đó điều giả sử trên là sai Vậy nên f bất

trong Q[t].

Giả sử f là khả quy, frev là bất khả quy Khi đó: f = g.h Ta lại có frev =

(g.h)rev = grev.hrev Điều này vô lí vì frev là bất khả quy Do đó giả sử trên là

Xuyên suốt bài luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu sau:

R := {f ∈ Q[t] : f là đa thức nghịch đảo và có bậc chẵn}

Mệnh đề 2.2.1 Đa thức f ∈ Q[t] là thuận nghịch khi và chỉ khi hai tính

chất sau đây được thỏa mãn.

1 Nếu 1 là nghiệm của f thì nó là nghiệm bội chẵn.

1

2 Nếu α là nghiệm bội r của f thì

α cũng là một nghiệm bội r của f.

Chứng minh Giả sử f ∈ Q[t] là đa thức thuận nghịch bậc n và có các nghiệm

frev và f là đa thức thuận nghịch Trong mệnh đề này ta thấy rằng nếu f là

thuận nghịch thì 0 không là nghiệm

−

−

Bổ đề 2.2.1 Các khẳng định sau là đúng:

1 Tích các đa thức thuận nghịch là đa thức thuận nghịch.

2 Nếu f = g.h, f, g là thuận nghịch thì h cũng là thuận nghịch.

Chứng minh (1) Theo Tính chất 2.2.2 ta có: (f.g)rev = frev.grev.

Vì f = frev, g = grev nên f.g = frev.grev = (f.g)rev (2)

Giả sử f = g.h Khi đó frev = (g.h)rev = grev.hrev

Theo giả thiết

frev = f.

grev = g.

Do đó h = hrev.

Mặc dù là đơn giản như bổ đề sau đây rất quan trọng

Bổ đề 2.2.2 Cho f ∈ Q[t] sao cho f (0) 0 Khi đó frev ∈ R.

Chứng minh Do f (0) ̸= 0 nên theo Tính chất 2.2.1 ta có:

(frev)rev = f.

Vậy nên (frev)rev = f.frev Do đó frev ∈ R.

Mệnh đề 2.2.2 Cho f ∈ Q[t] là một đa thức thuận nghịch tùy ý với f (1) ̸= 0

và cho g là nhân tử bất khả quy trong Q[t] Nếu g không là đa thức thuận nghịch thì f = ggrevh với h ∈ Q[t] là đa thức thuận nghịch.

Chứng minh Gọi g ∈ Q[t] là một nhân tử bất khả quy không thuận nghịch

của f Khi đó g không thể là đa thức t + 1 hay t − 1 Ta có grev là đa thức

bất khả quy trong Q[t].

Với mọi nghiệm α của g thì

1

1

α

thấy rằng ggrev ∈ R Theo Bổ đề 2.2.1 ta có f = ggrevh.

Bổ đề 2.2.2 chỉ ra rằng gg rev thuộc R và do đó theo Bổ đề 2.2.1, chúng

ta thấy rằng hệ số f là gg rev h với h ∈ Q[t].

Định nghĩa 2.2.1 Ta nói rằng f ∈ R là bất khả quy trong R nếu nó không

thể phân tích thành hai đa thức không phải là hằng số

trong R nhưng không bất khả quy trong Q[t] Do đó tính bất khả quy trong

R không thể kéo theo bất khả quy trên Q[t] Rõ ràng với f ∈ R thì bất khả

quy trên Q[t] cũng là bất khả quy trên R.

Ta có kí hiệu sau:

Irred(R) = {f ∈ R : f là bất khả quy trên R}.

Red(R) = {f ∈ R : f là khả quy trên R}.

Hệ quả 2.2.1 Giả sử f ∈ Irred(R) Khi đó hoặc f là bất khả quy trên Q[t]

hoặc f có dạng f = aggrev với g là bất khả quy, g ∈ Q[t], a ∈ Q∗.

Hệ quả 2.2.1 cho ta thấy rằng: Irred(R) được tách thành R1 ∩ R2 trong đó

R2 = {f ∈ Irred(R) : f = agg rev , a ∈ Q∗, g bất khả quy trên Q} Chúng ta

thấy rằng, nếu f ∈ Irred(R) và f (1) = 0 thì f = a(t − 1)(−t + 1) Do đó f

t

một đa thức trong Q[x] bậc n có dạng α +

tìm nghiệm t của đa thức f ta đưa đa thức này về dạng t + 1 Khi đó ta

có phương trình bậc n với ẩn x, giải phương trình bậc n ta tìm được nghiệm

x sau đó tìm nghiệm t.

Định nghĩa 2.3.1 Ánh xạ nghịch đảo R gán cho mỗi đa thức thuận nghịch

t

f bậc chẵn, đa thức duy nhất p = R(f ) ∈ Q[x] thỏa mãn phương trình

Có thể biểu diễn mỗi số hạng t k + 1

ta nói rằng đa thức với chu kì Φn với n > 1 là một ví dụ tốt nhất cho đa thức

thuận nghịch với hệ số hữu tỉ

1

Sự thay đổi của biến x = t +

thông thường (hoặc ít nhất đơn giản hóa việc tìm kiếm) nghiệm của đa thức