Toán học Chương I: Căn bậc hai – căn bậc ba24919

Căn bậc hai số học Định nghĩa: Với số dương , a số a được gọi là căn bậc hai số học của.. Căn thức bậc hai  Với A là một biểu thức đại số.. Người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, cò

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA Bài 1 Căn bậc hai

 Kiến thức cơ bản

1 Căn bậc hai

Định nghĩa: Căn bậc hai của một số không âm là a số sao cho x x2 a

 



















a a x

x a

2

0

Nhận xét:

 Mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là: a  a

 Ta có : 00

 Số âm không có căn bậc hai

2 Căn bậc hai số học

Định nghĩa: Với số dương , a số a được gọi là căn bậc hai số học của Số 0 cũng được a

gọi là căn bậc hai số học của 0

Nhận xét:

 Với a0, ta có:

 Nếu x a thì x0 và x2 a

 Nếu x0 và x2 a thì

a

x

 Phương trình x a có nghiệm 2 nếu , vô nghiệm nếu

a

3 Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự

Định lý: Với a, b là các số không âm, ta có: ab a  b

Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2  A

 Kiến thức cần nhớ

1 Căn thức bậc hai

 Với A là một biểu thức đại số Người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

hay ta viết















a x

x a

2 Hằng đẳng thức A2  A

















0

0

2

A khi A

A khi A A A

Chú ý: Khi A0

 X2 A X  A  A X  A

























A X

A X A

X A

X2

 Bài tập áp dụng:

1 Với giá trị nào của thì các biểu thức sau có nghĩa x

5

1

2 



x

2

1

2 





x

x

4

1

2 

 x

x

1

2 

2.Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử

c* x2  x4 1 d 2x2 6 2x7

e* x2x24x2 4x12 f x2 2x 1

3 Rút gọn các biểu thức

a A 42 3 42 3 b B 62 5  62 5

c C 74 3  74 3 d D 62 5 134 3 e* E  3 5  3 5 2

Bài 3 Khai phương một tích – Nhân các căn thức bậc hai

 Kiến thức cần nhớ

1 Khai phương một tích

 Định lý: Nếu a0 và b0 thì a.b  a b

 Quy tắc: Muốn khai phương một tích của các số không âm ta có thể khai phương

từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau

2 Nhân các căn thức bậc hai

 Quy tắc: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số

dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó

 Chú ý: Định lý và các quy tắc trên vẫn đúng khi thay các số không âm bởi các biểu

thức có giá trị không âm

 Bài tập áp dụng

1 Rút gọn các biểu thức sau

28 3

2

14 6





3 5

27 3 5 9





4 3 2

4 8 6 3 2













45 27

2 18 3

20 12

2 8 3









2 Thực hiện phép tính

4

1 2 5 3 4 6









17 9 17

c* 3 5  3 53 5  3 5 d* 4 15 4 15 10 6

3 Phân tích các biểu thức thành nhân tử

1

1a  a 1a1

c a3  b3  a2b ab2 a,b0 d xy xy2  y3 x,y0

4 Giải các phương trình sau

3

1 5 20

4x  x  x 

3

7 2

2

5

Bài 4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai thương

 Kiến thức cần nhớ

1 Khai phương một thương

 Định lý: Nếu a  b0, 0 thì:

b b

a 

 Quy tắc: Muốn khai phương một thương , trong đó là số không âm, b là số

b

a

a

dương thì ta có thể lần lượt khai phương số và khai thương số , rồi lấy kết quả a b

thứ nhất chia cho kết quả thứ hai

2 Chia hai căn thức bậc hai

Quy tắc: Muốn chia căn bậc hai của số không âm cho a căn bậc hai của số dương, ta có thể b

chia số cho số rồi khai phương kết quả đó.a b

 Bài tập áp dụng

1 Rút gọn các biểu thức sau đây

y

z x z

x

y

0 , 0 ,

4 3 2

4

2

y

x x

y

0 ,

0 

 x

y

c 5 2562 với x  y0, 0 d với

y

x

4

1

y x y

2 Thực hiện phép tính

a  12 75 27: 15 b 7 483 272 12: 3

c 12 508 2007 450

3 Giải các phương trình

a 3x 48 x4 b 5x2  800

c x52 25 d x2  x6 9 4

Bài 5 Bảng căn bậc hai ( SGK )

Chú ý: Số chính phương là số tự nhiên có căn bậc hai là số nguyên hay có thể viết dưới dạng bình phương của một số tự nhiên.

Bài 6 - 7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

 Kiến thức cơ bản

1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn A2B  A B B0

2 Đưa thừa số vào trong dấu căn

 A B  A2B ( với A0 và B0 )

 A B  A2B ( với A0 và B0 )

3 Khử mẫu của biểu thức lấy căn  2  AB0,B0

B

AB B

AB B

A

4 Trục căn thức ở mẫu

 Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số thì ta phân tích tử thành dạng tích có thừa số là căn thức bậc hai ở mẫu để giản ước

 B0

B

B A B A

 Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tổng có chứa căn thì hoặc ta phân tích tử thành dạng tích có thừa số là biểu thức chứa căn ở mẫu để giản ước hoặc ta nhân

tử và mẫu với lượng liên hợp của biểu thức ở mẫu để có thể làm mất căn thức ở mẫu

A B A B

B A

B A B





 Bài tập áp dụng

1 Rút gọn các biểu thức sau

2

b a

b a

ab a



b

a b a

2 Giải phương trình

a 36x36 9x9 4x4 16 x1

b 18x9 8x4 50x25 12

3.Tính

1 24 7

1 1

24 7

1













A

5 4 9

4 5

4 9

4









B

c d

1 1 3

3 1

1 3

3











3

2 2 1 3

2 2 1

3

1 3

1













6

5x y x y

a Phân tích B thành nhân tử

b Tính giá trị của B khi

7 4

18

; 3

2







x

5 Cho biểu thức

x

x x

x x

x

x B





















3

1 2

2

3 6

5

9 2

a Tìm điều kiện của để B có nghĩax

b Rút gọn B

Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

 Kiến thức cần nhớ

Các công thức và các quy tắc đã học ở các bài trước.

 Bài tập áp dụng

1 Thực hiện phép tính

1 2

1 1 2 5

1 2

5

1

















1 2

2 2 3

3 2









5 3

5 3 5 3

5 3











6 2 5

6 2 5 6 2 5

6 2 5











2 Cho biểu thức

x

x x

x x

x

x x

P























1

2 2

1 2

3 9 3

a Tìm điều kiện của để biểu thức P có nghĩax

b Rút gọn P

c Tìm các giá trị của để P có giá trị nguyên.x

3 Chứng minh rằng với x0,y0,x y , biểu thức sau không phụ thuộc vào x

xy y x

y x y

x

y x A













4 Chứng minh rằng với a  b0, 0, biểu thức:   không

ab

a b b a b

a

ab b

a







2

phụ thuộc váo a

5 Cho biểu thức:  3 2 6

2

2 4

2











x x

x y

a Rút gọn y

b Tìm giá trị lớn nhất của y

Bài 9 Căn bậc ba

 Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa căn bậc ba

 Căn bậc ba của một số thực là số sao cho a x x3 a

 Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc baa

 Kí hiệu căn bậc ba của số là a 3 a

2 Tính chất căn bậc ba

 Liên hệ giữa thứ tự và căn bậc ba

Nếu ab thì 3 3

b

a 

 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai căn bậc ba

Với a, b bất kì thì 3 a.3 b 3 ab

 Liên hệ giữa phép chia và phép khai căn bậc ba

Với a, b bất kì và b0 thì

3

3 3

b

a b

a 

 Bài tập áp dụng

1 Thực hiện phép tính

a 3 27 3 83 125 b 3 4831353 384 3 40

3

1 2 : 3

1 4 3 5

9

















37 8 37

2 Tính

a A3 5 273 5 27 b B3 2014 2 3 2014 2

3 Rút gọn biểu thức: với

3 2 3

3 2

b ab a

A





4 Trục căn thức ở mẫu

3 3

1



1









3

1

2







5 Giải phương trình

c 3 4 x2 53 d 3 2 2x3 6x2 3 2x11 2

TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu nào sau đây đúng nhất ?

Căn bậc hai của 9 bằng:

Câu 2 Với giá trị nào sau đây của thì x x x ?

Câu 3 Với giá trị nào của thì biểu thức x 12xx2  2x có nghĩa:

Câu 4 Với giá trị nào của x, y ta có

x

y

x y 2

Câu 5 Với giá trị nào của thì biểu thức x 9x2  x6 1 có nghĩa ?

3

1





x

64

3 32

121 75 2

40

11

20

33

160

11

5 4

Câu 7 Giá trị của biểu thức  2 bằng:

2 1

32 

Câu 8 Trong các câu sau câu nào sai ?

Câu 9 Giá trị của biểu thức bằng:

1 5

4



5 3

5 3







x

5 3

5 3







5 3

2 5

3

2







48

2 3

2 3 2 3

2 3











1 2

1 2 2 2 3







2 2

3

Câu 14 Giá trị của phân thức   bằng:

3 2 2

6 2 2





3

2

2

3

3 2

3 4

Câu 15 Lũy thừa bậc 4 của 1 1 1 là:

2

Câu 16 Giá trị của biểu thức 42 3 42 3 bằng:

Câu 17 Giá trị của biểu thức  2 bằng:

3 2

Câu 18 Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn  4 là:

2

3

Câu 19 Biết x  y 1 Biểu thức ax  by  bx  ay bằng:

3 5 14 2

2 23

b

a





2 3

6 2 5

b

a







b a.

Câu 22 Biết x2 2, giá trị  2 bằng:

2



x

Câu 23 Biết x13, giá trị của x2 x2 5 bằng:

Câu 24 Tổng các nghiệm của phương trình 3 x13 7x 2 bằng:

Câu 25 Điều kiện của để x x2 4x4 x2 là:

Câu 26 Điều kiện của để x x2 4 3x12 2 3x là:

Câu 27 Phương trình x x12 3 có:

Tập nghiệm của phương trình 2  x 

c  0;3 d Một đáp số khác

Câu 29 Phương trình 41 x2 6 có:

Câu 30 Nghiệm của phương trình x2 x12 1 là:

Câu 31 Để phương trình 3 x3  x2 x xm vô nghiệm thì giá trị của là:

1 3

Câu 32 Với x2 thì giá trị biểu thức x32 x2  x64 x2 bằng:

Câu 33 Nghiệm của phương trình 2 3x4 3x 273 3x là:

Câu 34 Nghiệm của phương trình 23 x523 x521 là:

Câu 35 Phương trình x2  x2 52 có nghiệm là: