Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
Trong ch ng trình Hình h c 12, bài toán vi t ph ng trình đ ng th ng trong không gian là bài toán hay và không quá khó làm t t bài toán này đòi h i h c sinh ph i n m v ng ki n th c hình h c không gian, m i quan h gi a đ ng th ng,
m t ph ng và m t c u Là d ng toán chi m t l nhi u trong các đ thi t t nghi p THPT và thi vào Cao đ ng, i h c nên yêu c u h c sinh ph i làm t t đ c d ng toán này là h t s c c n thi t
Trong quá trình gi ng d y, tôi nh n th y các em còn lúng túng nhi u trong quá trình gi i các bài toán v vi t ph ng trình đ ng th ng Nh m giúp các em gi m
b t khó kh n khi g p d ng toán này tôi đã m nh d n đ a ra chuyên đ : “ Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian” Trong
chuyên đ , tôi đã đ a ra phân lo i bài t p vi t ph ng trình đ ng th ng t d đ n khó đ h c sinh ti p c n m t cách đ n gi n, d nh và t ng b c giúp h c sinh hình thành t duy t h c, t gi i quy t v n đ Ngoài ra, giúp cho các em làm t t các bài thi t t nghi p c ng nh thi vào các tr ng Cao đ ng và i h c
Chuyên đ g m 3 ph n:
Ph n I: Ph ng pháp chung đ gi i toán
Ph n II: M t s d ng toán th ng g p
Ph n III: Bài t p t lu n t luy n
Ph n IV: Bài t p tr c nghi m t luy n
PH N I PH NG PHÁP CHUNG GI I TOÁN
Trong bài toán vi t ph ng trình đ ng th ng d thì ph ng pháp chung nh t là đi
xác đ nh vect ch ph ng c a đ ng th ng và to đ m t đi m thu c đ ng th ng
sau đó d a vào công th c c a đ nh ngh a ( trang 83 SGK Hình h c 12) đ vi t
ph ng trình đ ng th ng
M t s tr ng h p c b n đ xác đ nh to đ VTCP c a m t đ ng th ng :
TH1: N u đ ng th ng (d) cho d i d ng ptts : thì 1 VTCP là (a;b;c)
ct z z
bt y y
at x x
0 0
0
u
TH2: N u đ ng th ng d cho d i d ng ptct
c
z z b
y y a
x
(a.b.c 0 ) thì 1 VTCP là (a;b;c) u
TH3: N u đ ng th ng d đi qua 2 đi m phân bi t A, B thì d có 1VTCP là AB
Ví d : Xác đ nh to đ vect ch ph ng u
c a đ ng th ng d trong các
tr ng h p sau: a/ d : ( t là tham s ) b/ d:
t z
t y
t x
5 2
2 1
3 5
3
L i gi i
Trang 2Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian” a/ Ta có VTCP c a d là =(- 2; 1; 5) b/ Ta có VTCP c a d là u u
=(- 4; 5; 3)
PH N II M T S BÀI TOÁN TH NG G P
D ng 1 : Vi t ph ng trình tham s và ph ng trình chính t c c a đ ng th ng
d bi t d đi qua đi m M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có ch ph ng u
= (a; b; c)
H ng d n:
* Ph ng trình tham s c a đ ng th ng d là : ( t là tham s )
ct z z
bt y y
at x x
0 0 0
* PT chính t c c a đ ng th ng d là :
c
z z b
y y a
x
x 0 0 0
( đi u ki n a.b.c 0 )
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s và
ph ng trình chính t c c a d (n u có) bi t đ ng th ng d đi qua đi m M(-2; 1; -4) và
có ch ph ng là u =(-3; 2; -1) L i gi i
Ta có ph ng trình tham s c a d là : ( t là tham s )
t z
t y
t x
4
2 1
3 2
ph ng trình chính t c c a d là:
1
4 2
1 3
2
x
D ng 2: Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d bi t d đi qua hai đi m A,
B cho tr c
H ng d n: - VTCP c a d là AB
- Ch n đi m đi qua là A ho c B
- a bài toán v d ng 1
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình tham s c a d
bi t đ ng th ng d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0 )
L i gi i
Do d đi qua A và B nên VTCP c a d là AB
= (-3; 0; 3)
=> ph ng trình tham s c a d là ( t là tham s )
t z
y
t x
3 3 2
3 1
D ng 3 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M và vuông góc v i m t
ph ng ( )
H ng d n: -VTPT c a m t ph ng ( ) là VTCP c a đ ng th ng d
đ a bài toán v d ng 1
Ví d
: Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s c a
d bi t d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc v i ( ):2x - 3y – 6z + 19 = 0
L i gi i VTPT c a ( ) là n(2;-3;-6) Do d
( ) nên d nh n làm VTCP n
Trang 3Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
ph ng trình tham s c a d là ( t là tham s )
t z
t y
t x
6 3
3 4
2 2
D ng 4: Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M và song song v i
đ ng th ng d’
H ng d n: - VTCP c a d’ chính là VTCP c a d
đ a bài toán v d ng 1
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s c a
đ ng th ng d bi t đ ng th ng d đi qua đi m A(2; -5; 3) và song song v i d’
2
3 2
5 3
x t
y
z t
t ( t là tham s ) L i gi i
Do d // d’ vect ch ph ng c a d là u
= (1; 2; -3)
ph ng trình tham s c a d là:
2
5 2
3 3
x t y
z t
t
( t là tham s )
D ng 5 : ng th ng d đi qua đi m M và song song v i 2 m t ph ng c t nhau (P) và (Q)
H ng d n : - VTCP c a d là u
= [n
P, n
Q] (n
P ;n
Q l n l t là VTPT c a hai mp (P)
và (Q)) - a bài toán v d ng 1
Ví d 1: Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s c a
d bi t d đi qua đi m M(3; 1; 5) và song song v i hai m t ph ng (P): 2x + 3y - 2z +1 =
0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0 L i gi i
Ta có nP = (2; 3; -2); Q=(1; -3; 1) l n l t là VTPT c a hai mp (P) và (Q) Do
d //(P) và d//(Q) nên vect ch ph ng c a d là u
n
= [n
P, n
Q] = (-3; - 4; -9)
Ph ng trình tham s c a d là: ( t là tham s )
D ng 6
t z
t y
t x
9 5
4 1
3 3
: Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M, song song v i m t
ph ng (P) và vuông góc v i đ ng th ng d’ ( d’ không vuông góc v i (P))
H ng d n : - Xác đ nh VTPT c a (P) và VTCP c a d’ l n l t là và n
’
- VTCP c a d là u
= [n
P, k ]=> a bài toán v d ng 1
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s c a
đ ng th ng d bi t đ ng th ng d đi qua đi m M(-2; 1; 3), song song v i m t ph ng (Oxz) và vuông góc v i d’: (t là tham s )
L i gi i
t z
t y
t x
2 4 2
3 1
j
Ta có : VTPT c a (Oxz) là = (0; 1; 0)
VTCP c a d’ là '
u
= (3; -1; 2 )
Trang 4Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
Do d//(Oxz) và dd’ VTCP c a d là u
= [j
, '
u
] = (2; 0; -3)
Ph ng trình tham s c a d là:
2 2 ' 1
3 3 '
x t y
z t
( t’ là tham s )
D ng 7 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M và vuông góc v i hai
đ ng th ng d 1 và d 2 (d 1 và d 2 là hai đ ng th ng chéo nhau)
H ng d n : - Xác đ nh VTCP c a d 1 và d 2 l n l t là u1 và )
2
u
- VTCP c a d là = [ u
1
u
, u2 ] => a bài toán v d ng 1
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s c a
đ ng th ng d bi t d đi qua đi m M(2; -3; 4), vuông góc v i d1: ( t là tham
s ) và d2:
t z
t y
t x
2 1 3
3 2
3
3 5
2
x
L i gi i
Ta có : VTCP c a d1 là u1 = (-3; 1; 2) và VTCP c a d2 là = (2; 5; 3 )
2
u
Do d d 1 và d d 2 VTCP c a d là u
1
u
, u2
= [ ]= (-7; 13; -17)
Ph ng trình tham s c a d là: ( t là tham s )
D ng 8
t z
t y
t x
17 4
13 3
7 2
: Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M đ ng th i c t c hai
đ ng th ng d 1 và d 2
H ng d n :
Chuy n pt c a d1 và d2 v d ng tham s ( l n l t theo tham s t và t’)
- Gi s d c t d1 và d2 theo th t t i B và C Khi đó suy ra to đ B và C theo th t tho mãn các pt tham s c a d1 và d2
- T đi u ki n M, B, C th ng hàng ta xác đ nh đ c to đ c a B và C
- ng th ng d là đ ng th ng đi qua 2 đi m M và B
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình tham s c a
đ ng th ng d bi t d đi qua đi m A(1; 1; 0) và c t c 2 đ ng th ng (d1) :
1 0
x t
y t z
và (d2) : (t, s là tham s )
L i gi i
0 0 2
x
y
z s
Gi s d là đ ng th ng c n d ng và d c t d1 và d2 theo th t t i B và C Khi đó:
B d1=> B(1+t ; -t ; 0); C d2=> C(0 ; 0 ; 2+s)
=> AB t ; t 1;0 ; AC 1; 1; 2s
Trang 5Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
Ba đi m A, B, C th ng hàng
2 ( 1)
1
1 ( 1)
2
0 (2 )
1 2
s
t k
k s
k
V y d đi qua đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) => d có PT :
' ' 0
x t
y t z
( t’ là tham s )
D ng 9 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m A, vuông góc v i đ ng
th ng d 1 và c t đ ng th ng d 2
H ng d n :- Chuy n ph ng trình c a d2 v d ng tham s
- Gi s c t d2 t i B, khi đó tìm đ c to đ B tho mãn pt tham s c a d2 =>
to đ
d
AB
- Vì d d1 AB u 10=> giá tr tham s => to đ đi m B
- Vi t ph ng trình đ ng th ng d th a mãn đi qua A và nh n AB
là VTCP
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình đ ng th ng d
đi qua A(0;1;1), vuông góc v i đ ng th ng d1 và c t đ ng th ng d2 cho b i:
(d1):
1
1
x t
y t
z
và (d2) :
2 1
x u y
z u
u (t, u là tham s )
L i gi i
Gi s d là đ ng th ng c n d ng và c t d2 t i B, khi đó B(2u ;1+u ; u)
=>AB
(2u ; u ; u-1) G i u1là 1 VTCP c a d1 ta có
1
u
(-1;1;0)
Vì d d1 AB u 10
u = 0 => AB
(0;0;-1)
V y ph ng trình đ ng th ng d là :
0 1 1
x y
z t
( t là tham s )
D ng 10 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m A, vuông góc v i đ ng
th ng d 1 và c t đ ng th ng d 1
H ng d n :
- G i H là hình chi u vuông góc c a A trên d1 => to đ H theo tham s t
- Do AH d 1 AH u 10
(u1
là VTCP c a d1) => giá tr c a tham s t =>
to đ H
- V y d là đ ng th ng đi qua 2 đi m A và H
Trang 6Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình đ ng th ng d
đi qua A(1;2;-2), vuông góc v i d’ và c t d’ trong đó d’ có ph ng trình 1
2
x t
y t
z t
( t
là tham s )
L i gi i
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên d’ => H(t ; 1 - t ; 2t) =>AH
(t – 1 ;
-t – 1 ; 2-t + 2)
1
u
(1; -1; 2) là VTCP c a d’
Do AH d’ AH u 1 0
6t + 4 = 0 t = 2
3
=> AH 5 1 2
; ;
3 3 3
V y ph ng trình c a d là :
5 1 3 1 2 3 2 2 3
x u
y
u ( u là tham s )
D ng 11 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d n m trong mp(P) đ ng th i c t c hai đ ng th ng d 1 và d 2
H ng d n : - Nh n xét giao đi m c a d1 và d2 v i d chính là giao đi m c a d1 và d2
v i mp(P)
- Xác đ nh A và B l n l t là giao đi m c a d1 và d2 v i (P)
- ng th ng d c n tìm là đ ng th ng đi qua 2 đi m A và B
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz , vi t ph ng trình đ ng th ng d
n m trong mp(P) : y + 2z = 0 đ ng th i c t c 2 đ ng th ng d1:
1 4
x t
y t
z t
và d2
'
:
2 '
4 2
1
x t
y t
z
( t và t’ là tham s )
L i gi i
G i A và B l n l t là giao đi m c a d1 và d2 v i (P) => A(1;0;0) và B(5;-2;1)
Trang 7Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian” Khi đó đ ng th ng d c n tìm là đ ng th ng đi qua A và nh n AB
(4;-2;1) là VTCP
=> Ph ng trình c a d là:
1 4 2
x t
y t
z t
( t là tham s )
D ng 12 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d song song v i d’ đ ng th i c t c hai đ ng th ng d 1 và d 2
H ng d n:
- Chuy n pt c a hai đ ng th ng d1 và d2 v d ng tham s (gi s theo tham
s t và t’)
- Gi s A và B l n l t là giao đi m c a d v i d1 và d2 => To đ A và B theo tham s t và t’
- Xác đ nh u
là VTCP c a d’
- Do d//d’ nên u và AB cùng ph ng => giá tr c a tham s t và t’ => to đ
2 đi m A và B
- ng th ng d là đ ng th ng đi qua A và nh n AB
là VTCP
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình đ ng th ng d
bi t d song song v i d’ : x - 4 = 7
4
y z 3
2
đ ng th i c t c hai đ ng th ng d1 và
d2 v i d1 : 1 2
x t
y t
z t
và d2 : 1 1
y z
x
L i gi i
d’ có VTCP u
(1;4;-2), d2 có pt tham s
'
1 2 '
1 3 '
x t
y t
z t
Gi s A và B l n l t là giao đi m c a d v i d1 và d2 => A(t ; -1 + 2t ; t) và B(t’;1- 2t’;1 + 3t’)
=>AB
(t’-t;2-2t’-2t;1+3t’-t)
Do d // d’ nên và u
AB
cùng ph ng
' 2 2 ' 2 1 3 '
2
t t
t t t t
' 1 2
t t
=> A(2;3;2)
Trang 8Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
V y d là đ ng th ng đi qua A và nh n u
là VTCP => d có pt là:
2
3 4
2 2
x u
y u
z u
(
u : tham s )
D ng 13 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d song song và cách đ u hai đ ng
th ng song song d 1 và d 2 đ ng th i d n m trong m t ph ng ch a d 1 và d 2
H ng d n :
- VTCP c a d là VTCP c a du 1 ho c d2
- Xác đ nh to đ đi m Md1, N d2 to đ trung đi m I c a MN thu c d
- V y đ ng th ng d c n tìm là đ ng th ng đi qua I và nh n u là VTCP
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hai đ ng th ng
d1:
( t là tham s ) và d2:
t z
t y
t x
2 4 3
3 2
2 1
1 4
x
Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d n m trong m t ph ng ch a d1 và
d2đ ng th i cách đ u hai đ ng th ng đó
L i gi i
Do d1//d2 và d cách đ u d1, d2 ch ph ng c a d là u
= (3; 1; -2)
L y M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2 to đ trung đi m I c a MN là I(3; -2; 2) d
ph ng trình tham s c a d là ( t là tham s )
D ng 14
t z
t y
t x
2 2 2
3 3
: Vi t ph ng trình đ ng th ng d là đ ng vuông góc chung c a hai
đ ng th ng d 1 và d 2 chéo nhau
H ng d n :
Cách 1
- G i AB là đo n vuông góc chung c a d1 và d2( Ad1 và B d2) Khi đó to đ
A và B tho mãn ph ng trình tham s c a d1 và d =>To c a
đ
- T đi u ki n AB d 1 và AB d2 =>To đ A và B
- ng th ng d c n tìm là đ ng th ng đi qua 2 đi m A và B
Cách 2
Trang 9Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
- Xác đ nh vect u
và '
u
l n l t là VTCP c a hai đ ng th ng d1 và d2 G i
v
là VTCP c a đ ng th ng d => '
,
v u u
- Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a d và d1
- Xác đ nh A là giao đi m c a d2 và mp(P)
- ng th ng d c n tìm là đ ng th ng đi qua A và nh n v
là VTCP
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz cho hai đ ng th ng chéo nhau
d1:
x 1 2
2
3 3
t
y t
z t
d2 :
2
3 2
1 3
x u
y
z u
u Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a d1 và d2?
L i gi i
G i u1 và theo th t là VTCP c a d1 và d2 =>
2
u
1
u
(2;1;3) và u2(1;2;3)
G i AB là đo n vuông góc chung c a d1 và d2( Ad1 và Bd2) =>
A(1+2t;2+t:-3+3t) và
B(2+u;-3+2u;1+3u) =>AB
(u-2t+1;2u-t-5;3u-3t+4)
T đi u ki n AB d 1 và AB d2
1
2
29
25
2 1 2 2
9
t
u t u t u t
AB u
u t u t u t
=> 67 47 20; ; ; 24; 24 24;
A AB
V y đ ng th ng vuông góc chung d là đ ng đi qua A và nh n u1;1; 1
là
VTCP => d có ph ng trình là:
67 ' 9 47 ' 9 20 ' 3
x t
y t
z t
( t’ : là tham s )
D ng 15 : Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d là hình chi u c a d’ trên m t ph ng (P)
H ng d n : - Xác đ nh đi m chung c a d’ và mp(P)
+ N u d’ ( )P thì hình chi u c a d’ chính là d’
Trang 10Chuyên đ : “Phân lo i các d ng bài t p vi t v ph ng trình đ ng th ng trong không gian”
+ N u d’//(P) thì
*Xác đ nh Ad'
*Xác đ nh B là hình chi u vuông góc c a A trên (P)
*d là đ ng th ng đi qua B và //d’
+ N u d' ( ) P M thì:
*Xác đ nh Ad'( A không trùng v i M) *Xác đ nh B là hình chi u vuông góc c a A trên (P) *d là đ ng th ng đi qua 2 đi m M và B
Ví d : Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình tham s c a
đ ng th ng d là hình chi u c a d’ : trên m t ph ng (P): 2x- 3y + z +1 =
0
t z
t y
t x
3 1
3 2
L i gi i
G i M = d' ( ) P => M(1 3 5; ;
2 2 2)
Ta có A(2 ; 1 ; 3 )d’
G i d1 là đ ng th ng đi qua A và vuông góc v i (P) => d1 có pt là:
2 2
1 3
3
x u
y u
z u
(*)
G i B là hình chi u vuông góc c a A trên (P) => B = (P) d1
Thay (*) vào ph ng trình mp (P) ta đ c: 2(2+2u) – 3(1-3u) + 3+u +1 = 0
14u = - 5 u= 5
14
=> B 9 29 37; ;
7 14 14
=>
; ;
14 14 14
1
u
ng th ng d c n tìm là đ ng đi qua C và nh n (11;8;2) là VTCP
Ph ng trình tham s c a d là :
9 11 7 29 8 14 37 2 14
x t
y t
z t
( t là tham s )
PH N III BÀI T P T LUY N