Toán rời rạc giảng viên cao thanh tình

www.facebook.com/hocthemtoan

CẤU TRÚC RỜI RẠC

n Giảng viên:

§ Cao Thanh Tình (Email: tinhct@uit.edu.vn)

§ Bộ môn Toán Lý – ĐHCNTT – ĐHQGTPHCM

Mệnh đề

Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định có giá trị chân lý xác định, đúng hoặc sai.

Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… không là mệnh đề.

Ví dụ:

- Đại học CNTT trực thuộc ĐHQG TP.HCM.

- 1+7 =8.

- Hôm nay em đẹp quá! (không là mệnh đề)

- Hôm nay ngày thứ mấy? (không là mệnh đề)

Chương 1 Cơ sở lôgic Chương 1 Cơ sở lôgic

3

Mệnh đề

n Ký hiệu: người ta dùng các ký hiệu P, Q, R…

để chỉ mệnh đề.

n Chân trị của mệnh đề: Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai Khi mệnh đề P đúng ta nói P

có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai.

n Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F)

Chương 1 Cơ sở lôgic

Mệnh đề

Phân loại: gồm 2 loại

Ø Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết bằng các liên từ (và, hay, khi và chỉ khi,…) hoặc trạng từ “không”

Ø Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề không thể xây dựng từ các mệnh đề khác thông qua liên từ hoặc trạng từ “không”

Chương 1 Cơ sở lôgic

Mệnh đề

Ví dụ:

- 2 không là số nguyên tố

- 2 là số nguyên tố

- Nếu 3>4 thì trời mưa

- An đang xem phim hay An đang học bài

- Vấn đề này cần được xem xét cẩn thận

- x + 1 = 2

- x + y = z

Chương 1 Cơ sở lôgic

Các phép toán : có 5 phép toán

1 Phép phủ định: phủ định của mệnh đề P được ký hiệu là ¬ P hay (đọc là “không” P hay “phủ định của” P).

1 0

Mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

P P

2 Phép hội (nối liền, giao): của hai mệnh đề P,

Q được kí hiệu bởi P ∧ Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề xác định bởi : P ∧ Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng.

Bảng chân trị

Ví dụ:

P: “Hôm nay là chủ nhật”

Q: “Hôm nay trời mưa”

P ∧ Q: “ Hôm nay là chủ nhật và trời mưa”

P Q P ∧Q

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

3 Phép tuyển (nối rời, hợp): của hai mệnh đề

P, Q được kí hiệu bởi P ∨ Q (đọc là “P hay Q”),

là mệnh đề xác định bởi: P ∨ Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai.

0 1 0 1

0 1 1 1

Mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

4 Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P → Q (đọc là

“P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”)

là mệnh đề xác định bởi: P → Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai.

0 1 0 1

1 1 0 1

Mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

5 Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo

Q và ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P ↔ Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần

và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: P ↔ Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị

Bảng chân trị

Ví dụ: 6 chia hết cho 3 khi

và chi khi 6 chia hết cho 2

P Q P ↔Q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

Mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

Định nghĩa: là một biểu thức được cấu tạo từ:

- Các mệnh đề (các hằng mệnh đề)

- Các biến mệnh đề p, q, r, …, tức là các biến lấy giá trị là các mệnh đề nào đó

- Các phép toán ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ và dấu đóng

mở ngoặc ().

Ví dụ:

E(p,q) = ¬ ( ¬ p ∨ q) F(p,q,r) = (p ∧ q) → ¬ (q ∨ r)

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

Độ ưu tiên của các toán tử logic:

dòng, chưa kể dòng tiêu đề.

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

2n

Độ ưu tiên của các toán tử logic:

dòng, chưa kể dòng tiêu đề.

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

2n

Ví dụ: E(p,q,r) =(p ∨ q) → r Ta có bảng chân trị sau

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị.

Ký hiệu E ⇔ F

Ví dụ: ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1

Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn) nếu nó luôn lấy giá trị 0.

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau khi và chỉ khi E ↔ F là hằng đúng.

Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E nếu E → F là hằng đúng.

Ký hiệu E ⇒ F

Ví dụ: ¬ (p ∨ q) ⇒ ¬ p

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

Chương 1 Cơ sở lôgic

Dạng mệnh đề

Chương 1 Cơ sở lôgic

1 Qui tắc khẳng định (Modus Ponens):

[(p → q) ∧ p] → q [(p ∨ q) ∧ ¬ p] → q

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

p → q p

∴ q

p ∨ q

¬ p

∴ q

2 Qui tắc tam đoạn luận:

[(p → q) ∧ (p → r)] → (p → r)

Ví dụ:

• Nếu trời mưa thì đường ướt

• Nếu đường ướt thì đường trơn Suy ra nếu trời mưa thì đường trơn.

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

p → q

q → r

∴ p → r

3 Qui tắc phủ định:

[(p → q) ∧ ¬ q ] → ¬ p

Ví dụ:

• Nếu Sơn đi học đầy đủ thì Sơn đậu toán rời rạc.

• Sơn không đậu toán rời rạc.

Suy ra: Sơn không đi học đầy đủ.

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

p → q

¬ q

∴¬ p

4 Qui tắc phản chứng:

Ví dụ:

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

5 Qui tắc chứng minh theo trường hợp :

[(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r]

6 Phản ví dụ:

Để chứng minh một phép suy luận là sai hay không là một hằng đúng Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

Ví dụ: Ông Minh nói rằngnếu không được tăng lươngthì ông ta sẽ nghỉ việc Mặtkhác, nếu ông ấy nghỉ việc

và vợ ông ấy bị mất việc thìphải bán xe.Biết rằng nếu

vợ ông Minh hay đi làm trễthì trước sau gì cũng sẽ bịmất việc và cuối cùng ôngMinh đã được tăng lương

Suy ra nếu ông Minhkhông bán xe thì vợ ông ta

đã không đi làm trễ

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

p : ông Minh được tăng lương.

q : ông Minh nghỉ việc.

r : vợ ông Minh mất việc.

s : gia đình phải bán xe.

t : vợ ông hay đi làm trể.

¬p → q

q ∧ r → s

t → r p

∴¬ s →¬ t

Ví dụ: Giải thích các suy luận sau:

Qui tắc suy diễn

Chương 1 Cơ sở lôgic

Định nghĩa:

Vị từ là một khẳng định p(x,y, ), trong đó x,y là các biến thuộc tập hợp A, B, cho trước sao cho:

- Bản thân p(x,y, ) không phải là mệnh đề

- Nếu thay x,y, thành giá trị cụ thể thì p(x,y, ) là mệnh đề.

Các phép toán trên vị từ

Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x ∈ A Khi ấy, ta cũng có các phép toán tương ứng như trên mệnh đề:

v Phủ định: ¬ p(x)

v Phép nối liền (hội, giao): p(x) ∧ q(x)

v Phép nối rời (tuyển, hợp): p(x) ∨ q(x)

v Phép kéo theo: p(x) → q(x)

v Phép kéo theo hai chiều: p(x) ↔ q(x)

Vị từ - Lượng từ

Chương 1 Cơ sở lôgic

Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên

A Các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) được định nghĩa như sau:

- Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x) ” , kí hiệu: “ ∀ x

∈ A, p(x)” là mđ đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng với mọi giá trị a ∈ A ∀ đgl lượng từ phổ dụng

- Mệnh đề “Tồn tại (có ít nhất một) x thuộc A, p(x)” kí hiệu “ ∃ x ∈ A, p(x)” là mệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x= a’ ∈ A nào đó sao cho mệnh đề p(a’) đúng ∃ đgl lượng từ tồn tại

Vị từ - Lượng từ

Chương 1 Cơ sở lôgic

Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên A × B Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x, y) như sau:

Chương 1 Cơ sở lôgic

Ví dụ: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Chương 1 Cơ sở lôgic

Với vị từ theo 1 biến ta có :

Với vị từ theo 2 biến

Ví dụ phủ định các mệnh đề sau

- “ ∀ x ∈ A, 2x + 1 ≤ 0”

- “ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ R, | x – a | < δ ⇒ | f(x) – f(a) | < ε ”

Vị từ - Lượng từ

TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC

 Giảng viên:

 Cao Thanh Tình (Email: tinhct@uit.edu.vn)

 Bộ môn Toán Lý – ĐHCNTT – ĐHQGTPHCM

Nội dung môn học

 Phần 1: Lý thuyết đồ thị

 Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị

Các khái niệm cơ bản

Các khái niệm cơ bản

 Cạnh bội (song song)

 Hai cạnh phân biệt

cùng tương ứng với một cặp đỉnh

Các khái niệm cơ bản

Biểu diễn đồ thị

 Biểu diễn hình học

đỉnh liên thuộc với nó

 Biểu diễn bằng ma trận

 Ma trận kề

Biểu diễn đồ thị

 Ma trận kề

 Ví dụ 1

 m ij = 1: Nếu cạnh ej liên thuộc với v i của G

 m ij = 0: Nếu cạnh ej không liên thuộc với v i của G

 Tính chất

trân liên thuộc Các vòng ứng với một cột có đúng một phần tử bằng 1 ứng

Biểu diễn đồ thị

 Ma liên thuộc

 Ví dụ

Các khái niệm cơ bản

g

Các khái niệm cơ bản

Các khái niệm cơ bản

 Trong mọi đồ thị G = (V, E), nếu số đỉnh nhiều hơn 2

và có đúng hai đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không đồng thời bằng 0 hoặc n-1

Các khái niệm cơ bản

 Chứng minh và giải toán bằng phương

pháp đồ thị

1. Xây dựng đồ thị mô tả đầy đủ thông tin của bài

toán

 Mỗi đỉnh v  V  các đối tượng trong bài toán

 Mỗi cạnh e  E  mối quan hệ giữa hai đối tượng

 Vẽ đồ thị mô tả bài toán

2. Sử dụng các định nghĩa, tính chất, định lý, …

suy ra điều cần phải chứng minh

Các khái niệm cơ bản

 Một số bài toán ví dụ

Chứng minh rằng trong một cuộc họp tùy ý có ít

nhất 2 đại biểu tham gia trở lên, luôn có ít nhất hai đại biểu mà họ có số người quen bằng nhau trong các đại biểu đến dự họp

Các khái niệm cơ bản

 Một số bài toán ví dụ

Chứng minh rằng số người mà mỗi người đã có một

số lẻ lần bắt tay nhau trên trái đất là một con số chẵn.

Một số đồ thị đặc biệt

 Một đồ thị G được gọi là đồ thị lưỡng phân nếu tập các

đỉnh của G có thể phân thành 2 tập hợp không rỗng, rời nhau sao cho mỗi cạnh của G nối một đỉnh thuộc tập này đến một đỉnh thuộc tập kia

 Ký hiệu: Km,n

Sự đẳng cấu giữa các đồ thị

 Định nghĩa

 G(V, E) đẳng cầu với G’(V’, E’), (GG’) nếu

 Tồn tại song ánh f: V  V’

 Bảo toàn quan hệ liền kề:

uv E  f(u)f(v) E’

 |V| = |V’|

 |E| = |E’|

 deg(v) = deg(f(v))  v V

Sự đẳng cấu giữa các đồ thị

 Chứng minh 2 đồ thị đẳng cấu

 Ví dụ 2

( deg

|

| 1

|

| 1

E v

v

v i

v v

v v

( deg

 Hỏi sau khi có kết quả thi đấu của tất cả các đội có thể

có trường hợp bất kỳ đội nào trong 09 đội này cũng

đều thắng 05 đội khác trong nhóm được không?

Đường đi và chu trình

Đường đi và chu trình

 Đường đi

 Đường đi đơn (giản)

 Đường đi sơ cấp

 Đường sơ cấp  Đường đi đi đơn

Đường đi và chu trình

 Chu trình đơn giản

 Chu trình sơ cấp

Đường đi và chu trình

 Định lý 1.6

 G = (V, E) là một đồ thị vô hướng

 Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng 3

 Bậc của mọi đỉnh đều lớn hơn hoặc bằng 2

thì trong G luôn tồn tại một chu trình sơ cấp

 Định lý 1.7

 G = (V, E) là một đồ thị vô hướng

 Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng 4

 Bậc của mọi đỉnh đều lớn hơn hoặc bằng 3

thì trong G luôn tồn tại một chu trình sơ cấp có độ dài chẵn

Tính liên thông

 Tính liên thông trong đồ thị

vô hướng

 Một đồ thị liên thông nếu

giữa hai đỉnh phân biệt bất kỳ đều có đường đi

 Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó là vô hướng liên thông

TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI

Chu trình và đường đi Euler

 Có thể xuất phát tại một

điểm nào đó trong thành

phố, đi qua tất cả 7 cây

cầu, mỗi cây một lần, rồi

Leonhard Euler

1707 - 1783

 Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/9/1783) là một nhà toán học và nhà vật lý học Thụy Sĩ Ông (cùng với Archimedes và Newton) được xem là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất Ông là người đầu tiên sử dụng từ

"hàm số" (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x) Ông cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý.

Leonhard Euler

1707 - 1783

đồng toán học từ nhỏ Ông làm giáo sư toán học tại Sankt-Peterburg, sau đó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-

cả các tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập Ông là nhà

cuộc đời, nhưng khoảng thời gian đó là lúc ông cho

ra hơn nửa số bài ông viết.

trên Mặt Trăng và cho tiểu hành tinh 2002.

Chu trình và đường đi Euler

Chu trình và đường đi Euler

 Đường đi Euler

 Đường đi đơn chứa tất cả

Chu trình và đường đi Euler

 Ví dụ: Chỉ ra đường đi và chu trình (nếu có) trong các đồ

thị sau đây?

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị vô hướng

 Định lý về chu trình Euler

 Một đa đồ thị liên thông G=(V, E) có chu trình Euler khi và chỉ khi mỗi đỉnh của nó đều có bậc chẵn

 Chứng minh

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị vô hướng

 Qui tắc 1:

 Xóa đỉnh cô lập (nếu có)

 Qui tắc 2

 Tại mỗi đỉnh, ta chỉ đi theo một cạnh là cầu nếu không có

sự lựa chọn nào khác

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị vô hướng

 Ví dụ

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị vô hướng

 Đa đồ thị liên thông G có đường đi Euler, không có chu trình Euler khi và chỉ khi G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ

 Chứng minh

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị vô hướng

 Ví dụ: Đồ thị nào có đường đi Euler?

Chu trình và đường đi Euler

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị có hướng

 Định lý về chu trình Euler

 Ví dụ: Đồ thị nào có chu trình Euler?

Chu trình và đường đi Euler

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị có hướng

 Ví dụ

Chu trình và đường đi Euler

 Trong đồ thị có hướng

 Ví dụ

Chu trình và đường đi Euler

Chu trình và đường đi Euler

 Bài tập

 Tổng thư ký Đại hội đồng Liên hợp quốc triệu tập

một cuộc họp có N nhà ngoại giao của N tổ chứctham gia Các đại diện ngoại giao được bố trí ngồiquanh một bàn tròn Giữa một số tổ chức có quan hệcăng thẳng, vì vậy không thể xếp họ ngồi cạnh nhauđược Hãy lập trình giúp Tổng thư ký Liên hợp quốc

bố trí chỗ ngồi quanh bàn họp

Chu trình & đường đi Hamilton

 Đồ thị Hamilton

 Đồ thị có chứa chu trình Hamilton

Chu trình & đường đi Hamilton

Khi đó G có chu trình Hamilton

 Chứng minh

Chu trình & đường đi Hamilton

Chu trình & đường đi Hamilton

Chu trình & đường đi Hamilton

 Chu trình Hamilton

 Ví dụ

Chu trình & đường đi Hamilton

 Chu trình Hamilton

 Qui tắc 1: Nếu tồn tại một đỉnh v của G có d(v)<=1 thì đồ thị G không có chu trình Hamilton.

 Qui tắc 2: Nếu đỉnh v có bậc là 2 thì cả 2 cạnh tới v đều phải thuộc chu trình Hamilton.

 Qui tắc 3: Chu trình Hamilton không chứa bất kỳ chu trình con thực sự nào.

 Qui tắc 4: Trong quá trình xây dựng chu trình Hamilton,

Hamilton rồi thì không thể lấy thêm cạnh nào tới v nữa, do

đó có thể xóa mọi cạnh còn lại tới v.

Chu trình & đường đi Hamilton

Chu trình & đường đi Hamilton

 Chu trình Hamilton

 Ví dụ 2: Đồ thị sau có chu trình Hamilton không?

c

Chu trình & đường đi Hamilton

 Chu trình Hamilton

 Ví dụ 3: Đồ thị sau có chu trình Hamilton không?

I

Chu trình & đường đi Hamilton

 Đường đi Hamilton

 Đường đi sơ cấp đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị G,

mỗi đỉnh đúng một lần

 Ví dụ

Chu trình & đường đi Hamilton

 Đường đi Hamilton

 Mọi đồ thị có hướng đầy đủ (đồ thị vô hướng tương

ứng là đầy đủ) đều có đường đi Hamilton

Chu trình & đường đi Hamilton

 Mã đi tuần

 Tìm hành trình của quân mã từ ô xuất phát, đi qua tất cả

các ô, mỗi ô đúng một lần.

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Mở đầu

không đường đi giữa 2 đỉnh

 Lựa chọn đường đi với chi phí ít nhất

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Mô hình hóa bài toán về đồ thị có trọng số

 Đồ thị có hướng G = (V,E) với hàm trọng số W: E  R

(gán các giá trị thực cho các cạnh)

 Trọng số của đường đi p = v1  v2  …  vk là

 Đường đi ngắn nhất là đường đi có trọng số nhỏ nhất

1

1 1

k

i i i

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Mở đầu

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Thuật toán Dijkstra

 Ở mỗi bước, chọn đỉnh u ”gần” nhất, thêm vào tập S

và cập nhật độ dài đường đi qua các cạnh đi ra từ u

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Thuật toán Dijkstra

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Thuật toán Dijkstra

 Chọn u sao cho L(u) = min{ L(v) | v  S}

 Đưa u vào tập S: S = S  {u}

 Bước 4: Sửa nhãn

 Với mỗi đỉnh v kề với u

 L(v) = min { L(v); L(u) + w(uv) }

 Bước 5: Quay lại Bước 2

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất

 Thuật toán Dijkstra

 Định lý

đỉnh trong đơn đồ thị liên thông, có trọng số.

 Nhận xét

từ đỉnh xuất phát đến nó.

Bài toán đường đi ngắn nhất

 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất

 Thuật toán Dijkstra

 Bài toán vận dụng

con mã với số bước di chuyển là ít nhất từ vị trí đang đứng đến một vị trí xác định trên bàn cờ.