Chuyên đề luyện thi Tích phân Dùng cho học sinh lớp 12Ôn thi Đại học và Cao đẳng24006

The good teacher makes the poor student good and the good student superior.. When our students fail, we, as teachers, too, have failed.

CHUYÊN LUY N THI

TÍCH PHÂN Dùng cho h c sinh l p 12-Ôn thi i h c và Cao ng

Don't try to fix the students, fix ourselves first The good teacher makes the poor student good and the good student superior When our students fail, we, as teachers, too, have failed.

M C L C

Trang

A NGUYÊN HÀM 3

B TÍCH PHÂN 4

C PHÂN LO I VÀ PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 6

V N 1: PHÉP THAY BI N t n f x( ) 6

V N Ê 2: TÍCH PHÂN B NG PH NG PHÁP L NG GIÁC HĨA 11

D NG 1: a2 x2 11

D NG 2: x2 a2 14

D NG 3: x2 a2 14

D NG 4: a x hoặc a x a x a x 18

V N 3: TÍCH PHÂN L NG GI ÁC 19

D ng 1: Bi n i l ng giác v tích phân c b n 19

D ng 2: Tích phân d ng sin cos dx a x b x c 23

D ng 3: Tích phân d ng 2 2 sin sin cos cos dx a x b x x c x 24

D ng 4: Tích phân d ng I1 f(sin )cosx xdx I; 2 f(cos )sinx xdx 25

1.Tích phân cĩ d ng sin cosm x n xdx 26

2.Tích phân d ng 1 sin ; 1 os ; , os sin m m n n x c x I dx I dx m n c x x 27

D ng 5: Tích phân ch a tan ;cosx x dx; cot ;sinx x dx 28

D ng 6: i bi n b t kì 29

V N 4: TÍCH PHÂN CĨ CH A GIÁ TR TUY T I 39

V N 5: TÍCH PHÂN HÀM H U T 42

V N 6: TÍCH PHÂN M T S HÀM C BI T 50

V N 7: TÍCH PHÂN T NG PH N 58

V N 8: NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG 69

V N 9: TÍNH TH TÍCH V T TH TRỊN XOAY 77

PH NG PHÁP T N PH KHÔNG LÀM THAY I C N TÍCH PHÂN 95

SAI L M TH NG G P TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100

THI I H C T 2009-2012 107

TÀI LI U THAM KH O 109

A NGUYÊN HÀM

1 Khái ni m nguyên hàm

Cho hàm s f xác nh trên K Hàm s F gl nguyên hàm c a f trên K n u:

'( ) ( )

F x f x , x K

N u F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên K thì h nguyên hàm c a f(x) trên K là:

( ) ( )

f x dx F x C, C R

M i hàm s f(x) liên t c trên K u có nguyên hàm trên K

2 Tính ch t

'( ) ( )

f x dx f x C

f x g x dx f x dx g x dx

kf x dx k f x dx k

3 Nguyên hàm c a m t s hàm s th ng g p

4 Ph ng pháp tính nguyên hàm

a) Ph ng pháp i bi n s

0dx C

dx x C

1

, ( 1) 1

x

1 ln

x

e dx e C

ln

x

a

cosxdx sinx C

sinxdx cosx C

2

cos x dx x C

2

sin x dx x C

1 cos(ax b dx) sin(ax b) C a( 0)

a

1 sin(ax b dx) cos(ax b) C a( 0)

a

ax b ax b

a

1 dx 1 lnax b C

N u f u du( ) F u( ) C và u u x có o hàm liên t c thì:( )

( ) '( ) ( )

f u x u x dx F u x C

b) Ph ng pháp tính nguyên hàm t ng ph n

N u u, v là hai hàm s có o hàm liên t c trên K thì: udv uv vdu

B TÍCH PHÂN

1 Khái ni m tích phân

Cho hàm s f liên t c trên K và a, b K N u F là m t nguyên hàm c a f trên K thì:

a

f x dx

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a

i v i bi n s l y tích phân, ta có th ch n b t kì m t ch khác thay cho x, t c là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x dx f t dt f u du F b F a

Ý ngh a hình h c: N u hàm s y = f(x) liên t c và không âm trên o n [a; b] thì di n tích S c a

hình thang cong gi i h n b i th c a y = f(x), tr c Ox và hai n g th ng x = a, x = b là:

( )

b

a

S f x dx

2 Tính ch t c a tích phân

0

0

( ) 0

f x dx f x dx

kf x dx k f x dx (k: const)

f x g x dx f x dx g x dx b ( ) c ( ) b ( )

f x dx f x dx f x dx

N u f(x) 0 trên [a; b] thì b ( ) 0

a

f x dx

N u f(x) g(x) trên [a; b] thì b ( ) b ( )

f x dx g x dx

3 Ph ng pháp tính tích phân

a) Ph ng pháp i bi n s

( ) ( )

( ) '( ) u b ( )

b

f u x u x dx f u du

trong ó: u = u(x) có o hàm liên t c trên K, y = f(u) liên t c và hàm h p f[u(x)] xác nh trên

K, a, b K.

b) Ph ng pháp tích phân t ng ph n

N u u, v là hai hàm s có o hàm liên t c trên K, a, b K thì:

b a

udv uv vdu

Chú ý:

C n xem l i các ph ng pháp tìm nguyên hàm.

Trong ph ng pháp tích phân t ng ph n, ta c n ch n sao cho

b

a vdu d tính h n

b

a udv

Trong ph n sau s trình bày k thu t l a ch n u và dv

C PHÂN LO I VÀ PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

V N 1: PHÉP THAY BI N t n f x( )

Ph ng pháp: Khi hàm d i d u tích phân có ch a bi u th c có d ng n f x( ) Lúc ó trong nhi u tr ng h p ( ch không ph i m i tr ng h p), ta có th i bi n b ng cách

- B c 1: t t n f x( ) t n f x( ) nt dt n 1 f x dx'( )

- B c 2: Ghi nh i bi n thì ph i i cân

BÀI T P M U: Tính các tích phân sau

Bài 1: Tính

1

3 2 0

1

Gi i:

t t = 1 x2 t2 = 1 x2 xdx = -tdt

i c n:

Khi ó:

1

3 2 0

1

I x x dx =

1 2 0

1 t t tdt =

1

2 4 0

t t dt =

3 5 1

3 5 0

t t

= 2 15

Bài 2: Tính

1

3 4 0

1

Gi i:

t t = 31 4 3 1 4 3 3 2

4

i c n:

Khi ó:

3 4 3 4

1

Bài 3: Tính

1

1 ln

e

x

x

Gi i:

t t 1 lnx t2 1 lnx 2tdt dx

x

i c n:

Khi ó:

2

2 2 2 1

e

x

Bài 4: Tính

2

3

1 1

dx I

Gi i:

Ta có:

2 2 2

3 3 3

1 1 1 1

3

tdt

i c n:

Khi ó:

2 2 2 3 3

2

3 3 3

2

1 ln 1 ln 1 1ln 1 1 ln1 ln 2 1

1ln 2 1 1ln 1

t

t

t

Bài 5: Tính

4 2

7 9

dx I

x x

Gi i:

2 2

9

dx tdt tdt

i c n:

Khi ó:

5 2 4

5

1ln 3 1 7ln

t t

BÀI T P ÁP D NG: Tính các tích phân sau

7 3

3 2

0

ln3

3 0

ln 5

ln 2

141

20 1

1

20

3

x

x

x

x x

x

x

e

e

e

4 7 3

4 4

0

8

3

2

1

3 3 3

8 4 2

1 1

1

11

3

x

x

x

x

3 2

3 3 1

3 2

8

e

x

2

3

2 0

1

x

2 3

2 2

5

4 3 4

dx

x x

1

15

ln 1

e

x

2

1 2 1

1 ln

e

x

2

1

x x

2 3

13) sin

1

x

x

H ng d n :

2 3

sin

1

x

x

Ta tính I1 =

1

2 3 0

sin

x x dx t t = x3 ta tính c I1 = -1/3(cos1 - sin1)

Ta tính I2 =

1

1

x

dx t t = x ta tính c I2 =

1

2

1

1 dt

S :-1/3(cos1 - 1)+2

2

5

2

ln( 1 1)

14)

x

dx

H ng d n : t t x 1 1 áp s : ln 3 ln 22 2

6

2

15)

dx

H ng d n : t t 4x 1 t2 4x 1 2tdt 4dx

1

2

I

t t

3 1 ln

2 12

BÀI T P B SUNG

V N Ê 2: TÍCH PHÂN B NG PH NG PHÁP L NG GIÁC HĨA

2 2

a x

sin với / 2 / 2 cos với 0

2 2

x a

với t ; \ {0}

với t 0; \

a x

t a x

t

2 2

x a

tan với / 2 / 2 cos với 0<

hoặc

2

D NG 1: a2 x2

BÀI T P M U: Tính các tích phân sau

Bài 1: Tính 2 2 2

0

a

I x a x dx

Gi i:

t x = asint, ;

2 2

t dx = acostdt

i c n:

t 0

2

Khi ó: 2 2 2

0

a

I x a x dx =

2

2 2 2 2 0

sin 1 sin

=

2

4 2 2

0

sin

a tcos tdt= 4 2 2

0

sin 2 4

a

tdt= 4 2

0

8

a

cos t dt=

4

1 sin4 2

a

4

16

a

Bài 2: Tính

1 2 2 2 2

1 x

x

Gi i:

t x = cost, ;

2 2

t dx = - sint dt

i c n:

Khi ó:

1 2 2 2 2

1 x

0 2

2 4

1 os c t sint

dt cos t =

4

2 0

sin sint t

dt cos t =

2 4 2 0

sin t

dt cos t =

4

2

0

1 1 dt

cos t = tan 4

0

t t = 1

4 (vì t 0;4 nên sint 0 sint sint )

Bài 3: Tính

1

2 2 0

1

Gi i:

t x = sint, ;

2 2

t dx = costdt

i c n:

2

Khi ĩ:

1

2 2 0

1

I x x dx=

2

2 2 0

sin t 1 sin t costdt =

2

2 2 0

1 sin

4 tcos tdt =

2 2 0

1 sin 2

4 tdt = =

2 0

8 cos t dt =

1 1 sin4 2

8 t 4 t 0 = 16

Tính các tích phân sau:

3

2

1

3

2

3 2

3 2

2

2

2

2

2

0

8

2

0

3

27 9

1

8 4 1

x

x

x

1

2

2

0

5) 1 x dx HD Đặt x: sint

5

2

2 1

1

x

2

1

2

2 2

16 1

2

D NG 2: x2 a2

Tính các tích phân sau:

3

6

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

0

5

2

2

1

9

1

1

cos 1

cos 1

t

x x

t

x x

x

t x

t

x x

D NG 3: x2 a2

BÀI T P M U:

Bài 1: Tính

0 2 1

1

2 4

Gi i:

Ta có:

t x 1 3 tant v i ; 3 1 tan2

2 2

i c n:

t 0

6 Khi ó:

2

Bài 2: Tính

1 3 8

01

x

x

Gi i:

Ta có:

1 3 1 3

8 4 2

01 01

t x4 tant v i ; . 3 1 1 tan2

i c n:

4

Khi ó:

1 3 1 3 4 2 4

4

Bài 3: Tính

2

2

01 sin

cosx

x

Gi i:

t sinx tant v i ; 1 tan2

2 2

i c n:

x 0

2

4

Khi ĩ:

2

1 tan

4

BÀI T P ÁP D NG:

4

2

0

3

2

0

1

2

0

3

3 2

3

3

3

2 2

2

3

2

1

8 4

1

9

2 1

2

x

x

x

x

x

1 3

2 3

2

0

3

2 2

1

1

2

2

0

1

1

3

8 1

x

dx HD Đặt x t hoặc u x x

x x

x

3 2

2

1

3

x

x

4 2

0

1 2 0

3

8 1

1 :Biến đổi tích phân đã cho về dạng:

x

x x

du HD

u u

D NG 4: a x hoặc a x

Tính tích phân sau:

5

D NG 5: x a b x

Tính tích phân sau:

3 2

2 5

4

8 12 8

BÀI T P B SUNG

V N 3: TÍCH PHÂN L NG GIÁC

D ng 1: Bi n i l ng giác v tích phân c b n

Ví d 1: Tính

4 4 0

1

cos x

Gi i:

t t = tanx ; 12

cos x

i c n:

4

Khi ó:

1

3 0 3

t

Ví d 2: Tính

12 0

tan 4

Gi i:

Ta có:

12 12

sin 4 tan 4

4

x

cos x

t t = cos4x ; 4s 4 sin 4

4

dt

i c n:

12

2