TÀI LI U B I D NG H C SINH GI I
1
S GD ĐT NGH AN
TR NG THPT Đ NG THÚC H A
H C SINH GI I MÔN TOÁN
VI T B I PH M KIM CHUNG – THÁNG NĂM
I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM
II PH NG TRÌNH HÀM VÀ ĐA TH C
III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
IV GI I H N C A DÃY S
V HÌNH H C KHÔNG GIAN
VI Đ T LUY N VÀ L I GI I
DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O Các di n đàn
www dangthuchua com , www math vn , www mathscope org , www maths vn , www laisac page tl , www diendantoanhoc net , www k pi violet vn , www nguyentatthu violet vn , …
Đ thi HSG Qu c Gia Đ thi HSG các T nh – Thành Ph trong n c Đ thi Olympic -4
B sách M t s chuyên đ b i d ng h c sinh gi i Nguy n Văn M u – Nguy n Văn Ti n
T p chí Toán H c và Tu i Tr
B sách CÁC PH NG PHÁP GI I Tr n Ph ng - Lê H ng Đ c
B sách BÀI TOÁN S C P Phan Huy Kh i
B sách Toán nâng cao Phan Huy Kh i
Gi i TOÁN HÌNH H C Tr n Thành Minh Sáng t o B t đ ng th c Ph m Kim Hùng
B t đ ng th c – Suy lu n và khám phá Ph m Văn Thu n
Nh ng viên kim c ng trong B t đ ng th c Toán h c Tr n Ph ng bài toán hình h c không gian I F Sharygin
Tuy n t p Bài thi Vô đ ch Toán Đào Tam
và m t s tài li u tham kh o khác Chú ý Nh ng dòng ch màu xanh ch a các đ ng link đ n các chuyên m c ho c các website
Trang 2Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM
2
PH N I PH NG TRÌNH – BPT - H PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM
Tìm các giá tr c a tham s m đ hàm s có c c đ i ĐS m -2
+ − =/
=
=
3 xsin2 x f(x)
x
x 0
Cho hàm s Tính đ o hàm c a hàm s t i x và ch ng minh hàm s đ t c c ti u
t i x
( )
y f(x) | x | x 3 Tìm c c tr c a hàm s ĐS x x
Xác đ nh các giá tr c a tham s m đ các ph ng trình sau có nghi m th c
(4m−3) x 3+ +(3m 4− ) 1 x− +m−1=0
9
9 m 7
+ − =
4 2
x 1 x m
b) ĐS 0 m 1< ≤
( + 2− − 2+ )= − 4+ + 2− − 2
c)
+ =
=
2 3
y 2 xlog y
x log
Xác đ nh s nghi m c a h ph ng trình ĐS
−
=
+ +
y x 2
e log
−
−
− + = +
+
+ −
+ = +
x 2x 2 3 1
y 2y 2 3 1
x y
Gi i h ph ng trình
+ = +
+ + + + =
2x y y 2x 1 2x y 1
y x ln y x
Gi i h ph ng trình
(x− )log3 x− +log5(x−3)=x 2 +
Gi i ph ng trình
≤ − + − + + − − + 4 (x 6)(2x + (x 2)(2x 1) 3 x 6 1) 3 x 2
2 x 7
− + − ≤
−
5
3 2x 2x 6
2x 1 3
Gi i b t ph ng trình
( + 2+ )+( + ) ( + + 2+ )=
Gi i ph ng trình
− − + =3 + −
4x 5x 6 7x 9x 4 x
Gi i ph ng trình
Tìm m đ h ph ng trình sau có nghi m ĐS m∈
( + − ) + + ( − )=
−
4
1
x 1
Tìm m đ h có nghi m
1 2
x x
Gi s f x ax bx cx d a đ t c c đ i t i CMR < ∀ ≠
2
1 2
f '''(x) 1 f ''(x)
x x x
f '(x) 2 f '(x)
= 2 + + 3− +
f x cos x sinx cosx sin x m
( )
2 2
x y
Trong các nghi m x y c a BPT Tìm nghi m đ P x y đ t GTLN
Đ thi HSG T nh Ngh An năm Gi i ph ng trình x( 2 )
2009 x +1 - x = 1 ĐS x
Đ thi HSG T nh Ngh An năm Tìm m đ h ph ng trình sau có ba nghi m phân bi t
( + =) ( )
+ + = +
2
x y m
y 1 x xy m x 1 ĐS m ≥3 3
2
Trang 3Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM
3
4 4
Gi i h ph ng trình + ( + )= + +
3 3
Gi i h ph ng trình ( + ) +( − ) − =
+ + − =
2
2 2
4x 1 x y 3 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7
Tìm m đ h ph ng trình sau có nghi m − + + =
5 x 1 y m ĐS m∈
Xác đ nh m đ ph ng trình sau có nghi m th c ( + − ) + + ( − )=
−
4
1
x 1
Tìm m đ h ph ng trình ( + ) + − =
+ =
2
3 x 1 y m 0
x xy 1
có ba c p nghi m phân bi t
Gi i h PT
−
−
+ − + = +
+ − + = +
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
Đ thi HSG T nh Ngh An năm Gi i h ph ng trình
−
=
− = + −
Π
∈
x y sinx e
siny sin x cos y sinx cosy
x y
4
Gi i ph ng trình 3− 2+ − =3
Gi i h ph ng trình ( )
+ = +
+ + + + =
2x y y 2x 1 2x y 1
y x ln y x
Gi i ph ng trình x = + + ( + )
3
x log x
Gi i ph ng trình − 3+ 2− + = 2 3 − 3
2x 10x 17x 8 2x 5x x ĐS
Gi i h ph ng trình + = +
2
Gi i h ph ng trình + + − = + +
+ + − = + +
x 2x 22 y y 2y 1
y 2y 22 x x 2x 1
Gi i h ph ng trình
+ =
+ = +
1
x y
2
x y
y x
Đ thi HSG T nh Qu ng Ninh năm Gi i ph ng trình =
− 2− 1 2− 1
x 5x 7
( x 6)
x
5
1
L i gi i ĐK >x 7
5
Cách PT ⇔ − − + − = ⇔ =
− − − + −
6(4x 6)(x 1) 0 x
2
x x x x
Cách Vi t l i ph ng trình d i d ng ( − ) = −
− −
−
−
(5x 6) 1 x 1
Và xét hàm s =>
−
−
f t t t
7
t 1
Trang 4Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM
4
Đ thi HSG T nh Qu ng Ninh năm Xác đ nh t t c các giá tr c a tham s m đ BPT sau có nghi m
+ − ≤ − −
3x 1 m( x x 1) x
HD Nhân liên h p đ a v d ng ( + − )3 3+ 2− ≤
Đ thi HSG T nh Qu ng Bình năm Gi i ph ng trình
+ + + = + +
x 3x 4x 2 (3x 2) 3x 1
HD PT ⇔ + 3+ + =( + )3+ +
(x 1) (x 1) 3x 1 3x 1 Xét hàm s = +3 >
t
f t) t( t 0
Đ thi HSG T nh H i Phòng năm Gi i ph ng trình
3
2x 1 (3x 1) 2 (2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1)
Đ thi Kh i A – năm Gi i h ph ng trình + + − − =
2
2 2
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0
+ = − 2 − ⇒ = −
2
[(2x) 1 2x) f( 5 2y )
Hàm s = + > ⇒2+ ⇒ = 2
t f t t
2
5 4x
2
Th vào ta có + − + − =
2 2
2 5 4x 4x 2 3 4x 7
4 Hàm này ngh ch bi n trên kho ng và có nghi m duy nh t x=1
2
Đ thi HSG T nh Ngh An năm Cho h + =
Tìm a đ h có nghi m x y th a mãn đi u ki n x≥
HD Đ ng tr c bài toán ch a tham s c n l u ý đi u ki n ch t c a bi n khi mu n quy v bi n đ kh o sát
⇒
− x= y≥0 x≤
4 16 Đ t t= x t∈ và kh o sát tìm Min ĐS ≥ + a 4 2 2
Gi i h ph ng trình
− +
− + =
+ = +
4 xy 2x 4
y 4x 2 5
2 x y 2
Xác đ nh m đ b t ph ng trình sau nghi m đúng v i m i x (esinx−e+ )2−2esinxesinx− e− sinx− 1≤1
Đ thi HSG T nh Th a Thiên Hu năm Gi i PT + 2− − = + 2− −
log x x log x x
Đ nh giá tr c a m đ ph ng trình sau có nghi m (4m 3− ) x 3+ +(3m 4− ) 1 x− + − =m 1 0
Olympic - l n th VIII Gi i h ph ng trình sau −
+
y x 2
e
Các bài toán liên quan đ n đ nh nghĩa đ o hàm
≤
>
=
− − +
x
2
x e x f(x)
x ax x 0 Tìm a đ t n t i f
≤ acosx bsinx x F(x)
0 Tìm a b đ t n t i f
x x lnx x F(x) 2 4
x
và = =>
xlnx x f(x)
x CMR F'(x) f(x)=
Cho f x xác đ nh trên R th a mãn đi u ki n ∀ >a b t đ ng th c sau luôn đúng ∀ ∈x R + − − < 2
f x a f x a a
Ch ng minh f x là hàm h ng
Trang 5Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM
5
Tính gi i h n
→π
−
=
−
x
3
4
tan
N lim
sin
x 1
x 1 Tính gi i h n = → − − +
+
2 3
e 1
N lim
ln x
x )
Tính gi i h n
→
+ + −
3
x 0
x x 1
N lim 1 x
x Tính gi i h n 4= → sin x− s
x
nx 0
i
e e
N lim
sinx
Tính gi i h n
→
+
0
3
5 x
x 8 2 si
N lim
n x Tính gi i h n →
=
+
2 3
e 1
N lim
ln x
x )
Tính gi i h n
→
−
= sin x 3 sin
7 x
3x
0
e
−
x 4
3
8
N
x
im
2 l
Tính gi i h n
→
−
=
9
x 0
3x 2x
cos x sinx
2
sinx
Cho P x là đa th c b c n có n nghi m phân bi t x x x x Ch ng minh các đ ng th c sau n
n 1
1
P x P x P x
P x ) P x ) P x )
n
P x P x P x )
Tính các t ng sau
a Tn(x) c= osx+ cos x+ +ncosnx
T
CMR C C n n C n n
n
S x sinx sin x sin x n innxs
x
S
Các bài toán liên quan đ n c c tr c a hàm s
a Cho α∈R a b+ ≥ Ch ng minh r ng
α
+ ≤ +
n n
a b a b
2 2
b Ch ng minh r ng v i a> n 2≥ ( n N n∈ ch n thì ph ng trình sau vô nghi m
+ n − + n + n =
n x n x a
c Tìm tham s m đ hàm s sau có duy nh t m t c c tr
= + − +
2
y (m 1) x 3 x
1 x m 1 x 4m
d Cho n≥ n N∈ n l CMR ∀ =/x 0 ta có + + + + − + − − <
e Tìm c c tr c a hàm s = 2+ + + 2− +
f Tìm a đ hàm s = = − + 2+
y f(x) 2x a x 1 có c c ti u
g) Tìm m đ hàm s y= msinx cosx− −
mcosx đ t c c tr t i đi m phân bi t thu c kho ng
π
9 4
Các bài toán ch ng minh ph ng trình có nghi m
a Cho các s th c a b c d e Ch ng minh r ng n u ph ng trình 2 ( )
ax + b c x d e+ + + = có nghi m th c thu c
n a kho ng +∞)thì ph ng trình 4 3 2
bx cx dx
ax + + + + =e 0 có nghi m
5x 15x x
Px =x − + − +3x− =7 0 Ch ng minh r ng ph ng trình có m t nghi m th c duy nh t
Trang 6Ph n II PH NG TRÌNH HÀM VÀ ĐA TH C
6
Tìm hàm s f R→R tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau
x 0
f(x) lim 1 x
b f x y( + ) ( ) ( )=f x f y+ + x2+ xy+ y2 ∀x y R∈
Tìm hàm s f R→R tho mãn đi u ki n sau ( − )= ( + 2008) (+ + 2008)+ ∀ ∈
f x f y f x y f f y y x y R
Tìm hàm s f R→R tho mãn đi u ki n sau f x cos( + y ) ( )=f x + cos f y( ( ) )∀ x y R ∈
Tìm hàm s f R→R tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau
c ( )≥ 2009x
f x e
d f x y f x f y( + ) ( ) ( )≥ ∀x y R∈
Tìm hàm s f R→R tho mãn đi u ki n sau ( + )= f y ( ) − 1 ∀ ∈
Tìm hàm s f R→R tho mãn đi u ki n sau ( ( + ) )= ( ) + 2
f x f x y f y f x x
Đ thi HSG T nh H i Phòng năm Tìm hàm f → th a mãn
+ + = + ∀ ∈
2 x yf x f y f y f x x y
Trang 7Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
7
PH N III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
Cho a b c R a b c∈ 2+ 2+ =2 Ch ng minh r ng a b b c c a2 + 2 + 2 ≤
Cho các s th c không âm a b c Ch ng minh r ng
( − )2+ ( − )2+ ( − ) (2≥ − ) (2 − ) (2 − )2
a b a b b c b c c a c a a b b c c a
Cho các s th c a b c Ch ng minh r ng
+ + + ≥ + +
+
∑
2
a b c a b a b c
b c a a b
Cho các s th c không âm a b c tho mãn + + +a b c abc= Tìm Max c a P a b c= 7 8 9
Cho s th c d ng tuỳ ý x y z CMR + + ≤
+a +b +c
a b b c c a 2
Cho a b c Tìm GTNN c a ( + + )
=
6
2 3
a b c P
ab c
Cho các s th c d ng x y z thõa mãn 2+ 2+ 2=
y
x z
CMR x y z− − 2+ y z x− − 2 + z x y− − 2
yz zx xy
abc
a b abc b c abc c a abc Cho các s th c th a mãn đi u ki n + + =
1
Cho các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2+ 2+ 2=
b
a c 3 CMR
3
Cho x y z là s th c d ng tùy ý CMR + + ≤
+x y+ +z
x y y z z x
Cho các s th c d ng a b c CMR + + ≥ + + + −
+ +
a b c a b c a b
b c a a b c
2
a b c b c a c a b
Cho s th c x y z th a mãn xyz và (x− )(y− )(z− )=/0 CMR
+ + ≥
− − −
2
Cho a b c là các s th c d ng b t kỳ CMR − + + − + + − + ≥
2
Cho các s th c d ng a b c th a mãn 2+ 2+ 2=
b
Cho các s th c a b c th a mãn 2+ 2+ 2=
b
a c 9 CMR a b c+ + ≤ +abc Cho a b c là các s th c d ng a b c CMR + + ≥
4
Ch n ĐTHSG QG Ngh An năm Cho các s th c d ng a b c th a mãn
+ + − + + + =
b c ) 25(
a a b c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
+ +
= + + +
a b c
b c c a a F
2b
Trang 8Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
8
L i gi i
T gi thi t
9
a
16
3
Ta l i có
F
b)
L i có a2b b c c a a ab b bc c ca+ 2 + 2 = + + ≤ a2+b c2+ 2 a b2 2+b c c2 2+ 2a2 ≤ a2+b c2+ 2 a2+b c2+ 2 2
3
T ng t a2c b a c b+ 2 + 2 ≤ a2+b c2+ 2 a2+b c2+ 2
3
T đó ta có F≥ a2+b c2+ 2 ≥1
3 D u b ng x y ra khi và ch khi a b c
ĐÁP ÁN C A S GD ĐT NGH AN
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có
a b c a 2 a b c a a
b 2c 9 b 2c 9 3
+ + +
a b c F
b c c a a b
≥2 2+ +2 2 −1 2 + + 2 + + 2 +
L i áp d ng AM – GM ta có
+ + + + + + + + ≤ 3 3 3+ 3 3 3+ 3 3 3 = + +
2 2 2 a a c b b a c c b 3 3 3
a c b a c b a b c
T và suy ra
≥2 2+ +2 2 −1 + + 2+ +2 2
Đ t = ( 2+ 2+ 2)
t a b c t gi thi t ta có
( 2+ +2 2)− = ( 4+ +4 4) (≥ 2+ +2 2)2
a b c a b c a b c
⇒ 2+ +2 2 2− 2+ +2 2 + ≤ ⇒ ≤ 2+ + ≤2 2 16
3
Do đó ≥2 2− 1 3=
9 27 v i t∈
Mà ∈
V y minF= x y ra khi a b c= = =
Đ thi HSG T nh Ngh An năm Cho các s th c d ng x y z Ch ng minh r ng
+ + ≥
+ 2 2+ 2 2+ 2 2
1 1 1 36
x y z x y y z z x
L i gi i
2 2 2 2 2 2 1 1 1
x y y z z x
x y z
3
2 xy yz zx xyz xy yz zx
3
Trang 9Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
9
2
3
xy yz zx
xy yz zx
x y z xyz xy yz zx xy yz zx
L i có 9 x+ 2y2+y z z x2 2+ 2 2=6+(x2y2+ )+(y2 2z + + z x2 2+ ≥ + xy yz zx+ +
Nên
( ) ≥ + + + = + + + + ≥
2
≥
9
xy yz zx VT
xy yz zx
ĐÁP ÁN C A S GD ĐT NGH AN
B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng
xy yz zx x2y2 z2y2 x2z2) xyz
Áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có
xy yz zx 3x y z (1) 2 2 2
Và x2y2 z2y2 x2z2 12 4 4 4
x y z hay x2y2 z2y2 x2z2 3xyz(2)
Do các v đ u d ng t suy ra
xy yz zx x2y2 z2y2 x2z2) xyz đpcm
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x y z
Đ thi HSG T nh Qu ng Ninh năm Cho các s th c d ng x y th a mãn đk x+ + =y 1 3xy Tìm giá tr
+ + 2 2
3x 3y 1 M
y(x 1) x y 1) x
1 y (
L i gi i
Ta có 3xy= + + ≥x y 1 2 xy+ ⇒1 xy≥ ⇒1 xy≥1
Ta có
+
− − − + − +
2 2
2
3xy 3xy 1 (1 3xy)
1 1 1 3xy(x y) (x y)
y y (3
2xy
M
y (3x 1) x (3y 1) x x 1) x (3y 1) x y 9xy 3(x y) 1 4xy
Đ thi HSG T nh Qu ng Bình năm Cho các s th c d ng a b c CMR
+ ≥ + + + 33 33
3
3
c a b c
b c a a
a b
b c
HD
≥
≤
+ +
+ +
a a 1
b b
a b c 3
b c a
a 3 b
Đ thi HSG T nh Vĩnh Phúc năm Cho x y z ≥ 0th a mãn 2+ 2+ 2=
y
x z Tìm giá tr l n nh t c a
bi u th c P= y z x+ − + xyz
HD ≤ y2+z2 −x+ x y2+z2 = −x2 −x+ x −x2
2
P
2 (PMax = )
Đ thi HSG T nh H i Phòng năm Cho ≥ 2+ 2+ =2
a b
b c c
+ + ≥
2b 3c a
7
HD Có th dùng cân b ng h s ho c Svacx
Cho x y z là các s th c d ng th a mãn xyz= Ch ng minh r ng
Trang 10Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
10
2
3
12
b c c a
Áp d ng B t đ ng th c AM-GM cho s ta có
Đ thi HSG T nh Đ ng Nai năm Cho a b c Ch ng minh r ng
+ + + +
+
≥ + + +
a b c
a b b c c a 2(a b c )
HD
+
a
c a
)
Và chú ý a b2+ 2≥ a b+ 2
2
Đ thi HSG T nh Phú Th năm Cho x y z> x y z+ + = Ch ng minh r ng
+ + + +
+ + + ≥
+
x y z
xy yz zx
z x
9
y
9
Đ thi ch n ĐT Ninh Bình năm Cho a b c là đ dài ba c nh m t tam giác có chu vi b ng Ch ng minh
r ng 2+ 2+ +2 ≤272
a b c abc
27
HD Bài này thì ch n ph n t l n nh t mà đ o hàm
Đ thi HSG T nh Bình Đ nh năm Cho a b c CMR a3+b3+c3 ≥ + +a
ca ab
HD =∑a4 ≥ a b c2+ 2+ 2 2 ≥ a b c+ + 4 ≥ + +a b c
abc abc abc VT
Đ thi ch n HSG QG T nh Bình Đ nh năm Cho x y z th a mãn 2 xy+ xz= Tìm giá tr nh
nh t c a S= yz+ zx+5xy
x y z
Đ thi ch n HSG Thái Nguyên năm Cho các s th c x y z th a mãn đi u ki n + + =
+ + +
1 2 3
1
x y z
Tìm giá tr nh nh t c a P xyz=
Đ thi ch n HSG QG t nh B n Tre năm Cho > 2+ 2+ 2=
b
a b c a c 3 Ch ng minh b t đ ng th c
1
ab bc ca
Đ thi ch n ĐT tr ng ĐHSP I Hà N i Cho các s th c d ng x y z Tìm giá tr nh nh t c a
y y z z x x
L i gi i 1
Đ t x=a y=b z= ⇒c abc=
b c 13
3
a P
b c a a b c
Ta có a b c abc a b c+ + = + + = ab ac + ab bc + ac bc ≤ ab bc ca+ + 2
3
L i có
+
≥
+
2
2
2 b
b
a
a b
b
ab bc ca
a b c
c
2
+ + 2
13
ab bc ca
ab bc ca
Trang 11Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR
11
L i gi i
Đ t y=a =b z = ⇒c a =
z
x
y bc
+
+
=
+
2
a P
b
Bài toán t ng t Cho x y z> xyz 1≤ Ch ng minh r ng + + + ≥
+ +
x y z 4
x y z
y z x
L i gi i Đ t 1=a 1=b 1= ⇒c abc≥
x y z
2
3
3
Đ thi ch n đ i tuy n ĐH Vinh năm Cho a b c là các s th c thu c đo n và + + =a b c Tìm giá
tr l n nh t và nh nh t c a = +
+ +
P
+ + + + +
x y (x y x y
) x y 1
Đ thi ch n HSG QG t nh Lâm Đ ng Cho a b c là các s th c d ng Ch ng minh r ng
+ ≥ − + + − + + − + +
b c
a ab b b bc c c ca
c a
a
L i gi i
C THTT Ta có + + + ≥ + + ⇒ + ≥ + +
+
c a a b c a b c
a b
a
Do đó = + ≥ + − + = +≥
− +
c a
a
ab b b
C Ta có ∑ 2− + 2≥ + +
a ab b a b c Mincopxki
+ +
∑
acx
2 o
a a
b
ab b
a b c b
Đ thi ch n đ i tuy n tr ng L ng Th Vinh – Đ ng Nai năm Cho a b c> abc= Ch ng minh
r ng ab bc c2+ 2+ a2≥ +a b+c
HD BĐT ⇔ + + ≥ + +a b c a b c
+
2c a a c2 a
b
a b a
L i gi i Ta có ab2+ab bc2+ 2≥ 3 a2b c2 2 b3 =3b
Ch n ĐT HSG QG t nh Phú Th năm Cho a b c> Ch ng minh b t đ ng th c
+ + +
+ + ≥
3
2
3
b c c a b
3 2
3
b c b c b c a a
a a a a b c 3 2 b c
Đ thi HSG T nh Ngh An năm Cho s d ng a b c thay đ i Tìm giá tr l n nh t c a
bc ca ab P
a bc b ca c ab
HD Đ t =x b=y c= ⇒z =
c a
P
2
3
Do đó ≤ −P 1 3=3
3 4 4 D u x y ra khi và ch khi x y z
