CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG1.
Trang 1CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
1 sindx x= lntan2x + C 2 cosdx x=ln ) + C
4 2 tan(x
1
x
x
cos
tan
) 4 2 tan(x
dx3x
1
x
x
sin
cot
2 tan x
a
x
dx
a
1
a x
a x
a x
a
x
a x
xdx
2 1
a
x
xdx
2
1
2 2
a x
a
x
a
x
a
2
a
2
a
15. tanxdx = - ln|cosx| + C 16.cotxdx = ln|sinx| + C
L ưu ý:
1 du = u'.dx
2
x
2
x
2
x
2 cos2 x
dx
2 1
2 cos2 x
dx
2 cos
) 2 (
2 x
x d
2 Nếu f(u)du = F(u) + C thì f(au du b) = F(au + b) + C (a 0)
a
1
VD: au du b = a1ln|au + b| + C; (axb) dx = + C ( -1) ;
a
1
1
)
b
2
x
2
1
2
t
t
2
1
1
t
t
2
1
2
t
t
1
2
t
dt
) )(
(
1
b x
a
1
a
x
1
b
x 1
dx
2 2
a x dx
a
x
dx
t
a
cos
x
a
dx
Chứng minh
2
cos 2
dx
2
1
2
cos 2
dx
2 tan
) 2 (tan
x
x d
2 tanx
Cách 2: sindx x= xdx2 x = = - = -
sin
sin
d 2x x
cos 1
) (cos
(1cosd(cosx)(1x)cosx) 12
1 cos
1
1
x x
Trang 2= - (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = + C
2
1
2
1
x
x
cos 1
cos 1 ln
x
x
cos 1
cos 1
2 cos 2 2 sin 2
2
2
x
x
2
tan2 x
2 tan x
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = 2
1
2
t
dt
2
2 tan 1 ( 2
1
2
t
t
2
1
1
t
t
2
1
2
t
t
I = sindx x = = = ln|t| + C = ln|tan | + C
2 2
1 2 1 2
t t t
dt
Phương pháp này là biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số
2
x
) 2
x
dx
2
1
4 2 cos(
) 4 2
dx
2
1
4 2 ( cos ) 4 2
dx
= =ln + C
) 4 2 tan(
) 4 2
(tan
x
x d
) 4 2 tan(x
Cách 2: cosdx x= xdx2 x = = =
cos
cos
d 2x x
sin 1
) (sin
(1sind(sinx)(1x)sinx) 21
1 sin
1
1
x x
= (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = + C
2
1
2
1
x
x
sin 1
sin 1 ln
x
x
sin 1
sin 1
2 2
) 2
cos 2 (sin
) 2
cos 2 (sin
x x
x x
2
cos 2 sin
2
cos 2 sin
x x
x x
) 4 2 cos(
2
) 4 2 sin(
2
x
x
) 4 2
x
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx =
2
1
2
t
dt
; thay cosx = 2
2 tan 1 ( 2
2 2
1
1
t
t
2 2 2
1 1 1 2
t t t
dt
1 2
2
t
dt
(12t)(dt1t)
t 1 t)dt
1 1
1 (
t
t
1
1 ln
= ln ) + C
4 2 tan(x
x
x
2
cos
sin
x
dx
2
x
x
cos
tan
cosx 2x xdx
tan sin
x
x
cos
tan
3xdx x
2
cos
sin
x
x
cos tan
2
cos
sin
3 x xdx
2
cos
cos 1
dx3 x
4 2 tan(
x
x
cos
tan
x
x
cos
tan
) 4 2 tan(x
x
x
cos
tan
) 4 2
2
1
x
x
cos
tan
) 4 2 tan(x
Trang 34. 3 Đặt
sin
dx
I
x
2
1
cos sin
sin cot sin
x u
x
x dx
dv
x
1 2
Tính
ln tan
1
ln tan
a
x
dx
(xa dx)(xa) 1a
1 1
(
a
1
a x
a x
ln
a x
dx
t
adt
2
cos
2 2
a
a a2(1tan2t)
t
a
cos
2 2
a
x
dx
t
a t adt
cos )
4 2
tan(t
a x
Cách 2: Đặt t = x+ x2a2 dt = (1+ )dx = dx = dx dx = dt
2 2
a x
x
2 2
a x
a x x
2 2
a x
t
a
x2 2
a x
dx
2 2
2 2
a x t
dt a x
a x
dx
t
a
t
t a
2
cos
a
2 2
a
2 2
a
x
dx
t
t a
dt t
t a
cos
sin cos
sin
2
4 2
t
x a
Cách 2: Đặt t = x + x2 a2 dt = (1+ )dx = dx = dx
2 2
a x
x
2 2
a x
a x x
2 2
a x
t
t
a
x2 2
2 2
a x
dx
2 2
2 2
a x t
dt a x
xdx
2
1
2 2
2 2
) (
a x
a x d
2
1
x2 a2
xdx
2
1
2 2
2 2
) (
a x
a x d
2 1
a
x
xdx
2
1
2
1 2 2
2 2
) (
) (
a x
a x d
2
1
( )2 ( 2 2)
1 2 2
a x d a x
2 1
2 1
)
1 2 2
a
a
x
a
x
xdx
2
1
2
1 2 2
2 2
) (
) (
a x
a x d
2
1
( )2 ( 2 2)
1 2 2
a x d a x
2 1
2 1
)
1 2 2
a
a
x
t
adt
2
cos
2 2
a
a a2(1tan2t)
t
a
cos
x2 a2dx a t adt 2t
cos cos
dt3t
1
t
t
cos
tan
) 4 2
t
a x
Trang 4Cách 2: I = x2 a2dx = dx = + = I1 + I2
a x
x a
2 2
2 2
a x
a
2 2
2
a x
x
2 2 2
a x
a
2 2
2
2 2
a
x
x
2 2
2
2 2
a x
x
2 2
a
x ADCT NHTP I2 = x x2 a2 - x2 a2dx = = x x2 a2 - I
a
2
a
2
a
t
a
t
t a
2
cos
a
2 2
t
t a t a
2
cos
sin
t
t
3 2
cos
sin
t
t
3 2
cos
cos 1
t
3
cos
1
t
cos 1
t
3
cos
1
2
1
t
t
cos
tan
) 4 2 tan(t
t
cos
1
) 4 2 tan(t
Cách 2: I = x2 a2dx = dx = - = I2 - I1
a x
a x
2 2
2 2
a x
x
2 2
2
a x
a
2 2 2
a x
a
2 2
2
2 2
a
x
x
2 2
2
2 2
a x
x
2 2
a
x ADCT NHTP I2 = x x2 a2 - x2 a2dx = = x x2 a2 - I
2
a
14. I = lnxdx
Đặt u = lnx du = ; dv = dx v = x
x
dx
ADCT NH TP : I = xlnx - dx = xlnx - x + C
x
x
= Good luck! =