Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1.. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến của đồ thị C tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thàn
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2014
Môn thi: TOÁN, Khối A và B Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 4
1
x y x
(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm
đó song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O Câu II (2,0 điểm)
1) Tìm nghiệm x 0; của phương trình 5cos sinx 3 2 sin(2 )
4
2) Giải hệ phương trình 3 3 2
3 2
,
x y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 1
0
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với
AB a BC a Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC 3 IC Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC
Câu V (1,0 điểm) Cho 2 số thực a, b (0; 1) thỏa mãn
3 3
(a b a b ab a )( ) ( 1)( 1) 0b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
1 a 1 b ab a b Câu VI (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ABCcó đỉnh A 3;4, đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 1 0và tâm đường tròn ngoại tiếp ABClà I (1 ;7) Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích ABC gấp 4 lần diện tích
IBC
Câu VII (1,0 điểm) Cho khai triển 2014 2 2014
0 1 2 2014
(1 3 ) x a a x a x a x Tính tổng:
0 2 1 3 2 2015 2014
S a a a a Câu VIII (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 8
2 2
………Hết………
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Chữ kí của giám thị 1:………Chữ kí của giám thị 2:……… Trường THPT Đoàn Thượng sẽ tổ chức thi thử đại học lần 2 vào ngày 16/2/2014
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
1
x y x
a) Tập xác định : D R \ 1
b) Sự biến thiên:
* Tiệm cận :
+) Vì
tiệm cận đứng
+) Vì lim 2 4 2 , lim 2 4 2
tiệm cận ngang
0,25
*Chiều biến thiên:
+) Ta có :
22 0, 1
1
x
0,25
+) Bảng biến thiên
2
+∞
-∞
2 y y'
+ Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ;1và 1;
0,25
c) Đồ thị
*Vẽ đồ thị:Cắt Ox tại A(2;0) cắt Oy tại B(0;-4)
* Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I 1; 2làm tâm đối xứng
0,25
Gọi ; 2 4
1
a
A a a
1
b
B b b
(Với a b, 1;a b ) thuộc đồ thị (C) Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là:
2 1
k
a
2 1
k b
Do các đường tiếp tuyến song song nên:
2 2
0,25
Mặt khác, ta có: ; 2 4
1
a
a
1
b
b
Do OAB là tam giác vuông tại O nên . 0 ( 2 4)( 21 14) 0
0,25
-2
-2
Trang 3Ta có hệ
2
a b
ab
ab a b
Giải hệ ta được 1
3
a b
hoặc
3 1
a
b
hoặc 2
0
a b
2
a b
0,25
Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là 1;1và 3;3 hoặc (2;0) và (0;-4) 0,25 Tìm nghiệm x 0; của phương trình :
5cosx + sinx - 3 = 2sin
4
5cosx + sinx - 3 = 2sin
4
2x 5cosx +sinx – 3 = sin2x +
2cos2x – 5cosx + 2 + sin2x – sinx = 0
(2cosx – 1 )(cosx – 2) + sinx( 2cosx – 1) = 0
+/ cosx + sinx = 2 vô nghiệm
1
Đối chiếu điều kiện x 0; suy ra pt có nghiệm duy nhất là :
3
0,25
2
3 3 2
3 2
,
x y R
Câu
II
Đkxđ x3, y 4
Từ (1) ta có
0,25
Thế (3) vào (2) ta được
0,25
Trang 4 2 2 1 1 1 1 1 0
2 2 1 3 2 21 2 1 3 1 3 12 3 0
0,25
x2x 1 0 x 2,x 1;x 2 y 0,x 1 y 3
Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình đã cho
có tập nghiệm là S 1; 3 ; 2;0
0,25
Tính tích phân 1
0
0
1
1
1
0
2 2 1
x
1 2
0
2
x
I x x
Câu
III
3 2ln2 2
M
E
O
S
I
H
Ta có SABCD a a 3 3a2 Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC,
BD, theo giả thiết ta có SO(ABCD)
AC AB BC a a aOC a Lại có
0,25
Trang 5.
CO CS
SABC ABCD
Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra
SB//(AIM), do đó ( , )d SB AI d SB AIM( ,( ))d B AIM( ,( )) Mà
2
CS CB suy ra d B AIM( ,( )) 2 ( ,( d C AIM)) Hạ
IH ABCD , dễ thấy
3
,
3 AMC SABCD6 IAMC 18 SABCD 54
SO
0,25
Ta có
2 2
2 2
10 3
SB SC
Suy ra
2
.
33
I AMC AMI
S
0,25
Câu
3 3
(1 )(1 )
ab
vì (a3 b a b3)( ) a2 b2 a b 2 ab 2 ab 4 ab
1a1b 1 (a b) ab 1 2 ab ab , khi đó từ (*) suy ra
4 ab 1 2 ab ab , đặt t = ab (đk t > 0)
ta được:
2
1
3
9
t
0,25
0
2
2 2
0
luôn đúng với mọi a, b (0; 1), dấu "=" xảy ra khi a = b
0,25
2
2 2
ab a b ab a b ab nên 2 2
0,25
Trang 6xét f(t) = 2
t
với 0 < t 1
9
f t
với mọi
0 < t 1
9
( ) ( )
f t f
9
a b
a b
t ab
Vậy MaxF = 6 1
9
10 đạt được tại 1
3
a b
0,25
+ Ta có IA 5 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABCcó
dạng C : ( x 1) 2 ( y 7) 2 25
+ Gọi D là giao điểm thứ hai của đường phân giác trong
góc A với đường tròn ngoại tiếp ABC Tọa độ
của D là nghiệm của hệ
1 0
2;3
x y
D
0,25
+ Vì AD là phân giác trong của góc A nên D là điểm chính giữa cung
nhỏ BC Do đó ID BC hay đường thẳng BC nhận véc tơ
3;4
DI
làm vec tơ pháp tuyến
+ Phương trình cạnh BC có dạng 3x4y c 0
0,25
+ Do SABC 4SIBC nên AH 4 IK
+ Mà ; 7
5
A BC
c
5
I BC
c
IK d nên
114 3
131 5
c
c
0,25
Vậy phương trình cạnh BC là : 9 12x y114 0 hoặc
15x20y131 0
0,25
Câu
VII Tính tổng: S a 02a13a2 2015a2014 1,0
0 1 2 2014
Lấy đạo hàm hai vế
0 1 2 2014
(1 3 ) x 6042 (1 3 )x x a 2a x3a x 2015a x (*) 0,25 Thay x 1vào (*) ta được:
2014 2013
0,25
Tính toán ra được S 3022.22014
0,25
K H
D
I
C B
A
Trang 7Câu
VIII Giải hệ phương trình: 2 8
2 2
Điều kiện: x+y>0, x-y0
2 2
2
13
Kết hợp đk ta được v1,u 3 x 5,y4
0,25đ
