Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 20162017 môn: Toán lớp 1123556

Chú ý: Giám th coi thi không gi i thích gì thêm.

S GD& T B C NINH

TR NG THPT THU N THÀNH S 1

—————————

CHÍNH TH C

N m h c : 2016-2017

Môn: Toán l p 11

Th i gian làm bài: 120 phút, không k th i gian giao đ

————————————

Câu 1 (2,0 đi m)

4sin 3 cos 2 1 2cos ( )

x

Câu 2(3,0 đi m)

1.G i A là t p h p các s t nhiên có chín ch s đôi m t khác nhau Ch n ng u

nhiên m t s t nhiên thu c vào t p A Tính xác su t đ ch n đ c m t s thu c A và s

đó chia h t cho 3

2.M t ng i có s ti n 100 tri u đ ng quy t đ nh g i ngân hàng v i lãi su t 6%

m t n m H i sau 30 n m thì sô ti n ng i đó thu đ c là bao nhiêu, bi t r ng h ng n m

ng i đó không rút ti n lãi và s ti n lãi l i đ c c ng vào v n c a n m sau

Câu 3 (1,5 đi m)

Cho đ ng tròn ( C) có bán kính R

1 Tính theo R di n tích tam giác đ u n i ti p đ ng tròn ( C)

2. Kí hi u Sn là di n tích c a n giác đ u n i ti p trong ( C), ( n  3) Tính Sn theo R,n

và tìm limSn bi t

0

sin

1

x

x lim x

Câu 4 (2,5 đi m)

Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ có t t c các m t đ u là hình vuông c nh a

1 Ch ng minh r ng AC' vuông góc v i m t ph ng A BD'  và đ ng th ng AC' đi qua tr ng tâm c a tam giác A BD'

2 Hãy xác đ nh các đi m M, N l n l t n m trên các c nh A’D, CD’ sao cho MN

vuông góc v i m t ph ng (CB’D’) Tính đ dài đo n MN theo a

Câu 5 ( 1,0 đi m)

2

( )

x

b khi x

 



Tìm a và b đ hàm s liên t c trên R

-H t -

Chú ý: Giám th coi thi không gi i thích gì thêm

áp án g m 3 trang

I

2 đi m Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i 2(1 cos )x 3 cos 2x 1 1 c (2x 32 )



2cosx 3 cos 2x sin 2x

0,5

0.5

3

0,5

( )

5

k

II

3,0 đi m 1.(1,5 đi m)

+) Tr c h t ta tính n(A) V i s t nhiên có chín ch s đôi m t khác nhau thì

ch s đ u tiên có 9 cách ch n và có 8

9

A cho 8 v trí còn l i V y   8

9

9

+) Gi s B0;1; 2; ;9 ta th y t ng các ph n t c a B b ng 45 3  nên s có chín

ch s đôi m t khác nhau và chia h t cho 3 s đ c t o thành t 9 ch s c a các

t p B\ 0 ;  B\ 3 ;  B\ 6 ;  B\ 9  nên s các s lo i này là

9 3.8 8

A  A V y xác su t c n tìm là 99 88

8 9

3.8 11

27 9.

A





0,5

1,0

2 (1,5 đi m)

Kí hi u An là s ti n thu v sau n n m B ng ch ng minh quy n p

An = 100(1+0,06)n( tri u đ ng)

III

(2,5 đi m) 1.(0,5 đi m)

Gi s tam giác ABC đ u n i ti p đ ng tròn ( C) tâm I Khi đó SABC = 3SAIB

Mà SAIB = IAIBsin1200 = R2

3

2 nên SABC =

2

2

2.(1,0 đi m)

Gi s đa giác đ u A1A2…An n i ti p đ ng tròn ( C) tâm I khi đó

SA1A2 An = nSA1IA2 mà góc A1IA2 = 1 2 1 2

A IA A A A

n

B ng cách đ t x=

2

n

 khi đó n   x 0và s dung k t qu

0

sin

1

x

x lim x

  ta có:

1 2

0

s inx

n

A A A

x

0,5

0,5

IV

(3 đi m) Ta có BDAC và BDAA' nên BDACC A' 'AC' BD

T ng t ta ch ng minh đ c AC' A D' T đó ta suy ra AC' A BD' 

0,25

G i I là giao đi m c a AC và BD Khi đó GAC' A I' chính là giao đi m c a

'

AC và m t ph ng A BD'  Do // ' ' 2

   suy ra G là tr ng tâm

c a tam giác A BD'

0,5

2 (1,5 đi m) t      A A' m A D, ' ' n A B, ' '  p m  n  p a m n;       n p  p m  0

và A M'  x A D D N ' ;   ' y D C ' 

Ta có A M' x m  x n D N ;   '  y m   y p  MN    MA' A D' ' D N'

y x m 1 x n y p

       

Do đ ng th ng MN vuông góc v i m t ph ng (CB’D’) nên ta có

   

   

2

3

x

y x m x n y p m n

y x

 



 

V y M, N là các đi m sao cho 2 1

   

MN   m n pMN  MN 

0,25

G I

C'

B' A'

C

A

D

B

D'

M

N

0,5

V Nh n th y hàm s liên t c t i m i đi m x khác 0 V y hàm s liên t c trên R khi

Ta có :

1     x x  x   1 a xa x  a x

1 ax   x  x   1 b x b x  b x

N u a1 – b1 0 thì không t n t i gi i h n c a f(x) khi x ti n t i 0

V y a1 = b1

Ta l i có:  20002017    2 2017 1

1 2017

1   x  x  1 x x h x( ) a C

 2 3 20172000    2 2000 1

1 2000

Do a1=b1 nên ta có a =

1 2017 1 2000

2017 2000

C

Xét

2 0

2 0

lim

lim

x

x

x

x

x

x x

x







