biến đổi về căn thức1.. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai - Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0 - Các công thức biến đổi căn thức... Bước 2: Phân tích các đa thức ở
Trang 1biến đổi về căn thức
1 Hằng đẳng thức đáng nhớ
a b a 2ab b
a b a 2ab b
a b a b a2b2
a b a 3a b 3ab b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
2 Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức
2
(A 0;B 0)
A B A B (A 0;B 0) A B A B (A 0;B 0)2
A 1 AB (AB 0;B 0)
B B
2
C C( A B) (A 0;A B )
A B
A B
C C( A B) (A 0;B 0;A B)
A B
Trang 2Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau
3
x
x
2. 3 x
3. x24x5
2
x
x
5. 2008 2 x1
6. 2008
4
x
7. -5x
5
x
x
9. 2 7x
10. xx2
11. 3x 1
12. x23
13. 5 2x
14. 1
7x 14
15 2x 1
16. 3 x
7x 2
17. x 3
7 x
18.
2
1
2xx
19. 2x25x 3
20.
2
1
x 5x6
x 3 5 x
22. 6x 1 x 3
23. x23x7
24. 3x12
25. 3 3
1 3x
26. x5 1
27. 4 2
7 3x
28. 3x2 2
29.
2
5
x
30.
5 3
1
x
31.
3 1 1
5
x x
x
32. 8x1
33. 321x
34.
x
2 2
6
5
x
36. 8 2x 1 33 5 x
37. 3 4 2 5 1
2
x
2 7
7
x
39. 3x2 6
40. 23x2
41.
2 4 2
5 2
x
x
Ph ương pháp: Nếu biểu thức có
Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0
Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
Trang 33
3 6 2
1
x
43.
3
1 3
22 44
x
x
D ạng 2: Tớnh giỏ trị biểu thức
1 3 24 182 32 50
2. 50 18 200 162
3. 5 5 203 45
4 5 484 272 75 108
5. 1 48 2 75 33 5 11
6. 3 124 275 48
7. 125 3 48
8. 2 324 85 18
9. 3 202 454 5
10 2 242 543 6 150
11. 2 187 2 162
12 3 84 185 32 50
13. 1252 203 804 45
14 2 282 63 3 175 112
15. 3 2 8 1 50 32
2
16 3 502 12 18 75 8
17 2 753 12 27
18. 12 75 27
19. 27 12 75 147
20. 2 3 48 75 243
21. 6 8 5 32 14 18
9 25 49
22. 2 16 3 1 6 4
3 27 75
23. 3 2 8 1 50 32
5
24. 12 2 35
25. 5 2 6
26. 16 6 7
27. 31 12 3
28. 27 10 2
29. 14 6 5
30. 17 12 2
31. 7 4 3
32. 2 3
33. 8 28
34. 18 2 65
35. 9 4 5
36. 4 2 3
37. 7 24
38. 2 3
39. 5 2 6 5 2 6
40. 9 4 5 9 80
41. 17 12 2 24 8 8
42. 32 2 64 2
43. 82 15 - 82 15
Ph ương phỏp: Thực hiện theo cỏc bước sau
Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bước 3: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bước 4: Rút gọn biểu thức
Dạng toỏn này rất phong phỳ vỡ thế học sinh cần rốn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toỏn” và tỡm ra hướng đi đỳng đắn, trỏnh cỏc phộp tớnh quỏ phức tạp
Trang 444. 17 3 32 17 3 32
45. 6 2 5 6 2 5
46. 11 6 2 11 6 2
47. 15 6 6 33 12 6
48. 6 2 5 6 2 5
49. 8 2 15 23 4 15
50. 31 8 15 24 6 15
51. 49 5 96 49 5 96
52. 3 2 2 5 2 6
53. 7 2 10 7 2 10
54. 17 4 9 4 5
55. 3 2 2 6 4 2
56. 40 257 40 257
57. 4 10 2 5 4 10 2 5
58. 35 12 6 35 12 6
59. 8 8 20 40
60. 4 15 10 6 4 15
61. 2 3 5 13 48
62. 6 2 5 13 48
63. 4 5 3 5 48 10 7 4 3
64. 13 30 2 9 4 2
65. 30 2 16 6 11 4 4 2 3
66. 13 30 2 9 4 2
67. 4 8 2 2 2 2 2 2
68.
9 4 5 21 8 5
17 12 2 17 12 2
3 22 3
74. ( 75 3 2 12 )( 3 2 )
2 34 2
4 3 2 4 3 2
2 3 3
10 15 14 21
2 52 2 10
82. 3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
83. 2 30
5 6 7
84. 24 6 2 10
85. 2 15 10
84 6
86 2 40 122 753 5 48
87. 4 20 3 125 5 45 15 1
5
88. 3 82 12 20 : 3 18 2 27 45
89.
:
6 11
Trang 592. 2
7 5 2 35
93. 6 14 3 45 243
2 3 33 3
96.
26 15 3 2 3
99. 3 26 15 3 3 26 15 3
100. 20 14 23 3;20 14 2
101. 3 26 15 3 3 26 15 3
102.
103. 35 2 7 35 27
104.15 505 2003 450 : 10
106.5 5 5 5 10
107.
3 4
1 2
3
1 1
2
1
108. 4 8 2 2 2 2 2 2
109. 14 7 15 5): 1
3
111. 4 7 4 7 7
112. 3 5 3 5 2
113.3 5 3 5 3 5 3 5
116. 5 2 6 5 2 6
118. 2 6 2 3 3 3 27
119. 3 1 2 18 3 2 2
2 3
3 51 5 5
121. 5 5 3 3 5 5
122.
28 3 2
14 6
123.( 22) 22 2
124.
1 5
1 1 5
1
125.
2 5
1 2 5
1
126.
2 3 4
2 2
3 4
2
127.
2 1
2 2
128.( 282 14 7) 7 7 8
129.( 143 2)2 6 28
130.( 6 5)2 120
131.(2 33 2)2 2 63 24
132. (1 2)2 ( 23)2
133. ( 32)2 ( 31)2
134. ( 53)2 ( 52)2
135.( 193)( 193)
136.
5 7
5 7 5 7
5 7
Trang 6139. 2 3 2 3
140. 3 2 2 64 2
3 3 2 3 3 3 1
142 4 3 2 2 5740 2
143. 11007 442 176 1331
1 2002 2003 2 2002
147. 8 2 15 82 15
148. 4 7 4 7
149. 8 60 45 12
150. 94 5 94 5
151.2 83 57 2 725 202 2
152. 2 5 14
12
153.5 3 50 5 24
75 5 2
154.3 5 3 5
155 3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
156.
2 2
157. 3 13 48
158.
35 21
10
6
159. 18 32 50 2
160.
3 2 2
3 2 3
2
2
3 2
161.
2 5
1 2
5
1
162.8 276 48: 3
163.
10 2 7
15 2 8 6 2
5
164. ( 23)2 2(3)2 5 (1)4
2 34 3 3
2 34 3 3
167. 2 5 125 80 605
168. 10 2 10 8
169. 15 216 33 12 6
3 27 75
173. 2 27 6 4 3 75
3 5
174. 3 5 3 5
10 2
175. 8 32 25 12 4 192
176. 2 3 5 2
177. 3 5 3 5
178. 4 10 2 5 4 10 2 5
179. 5 2 6 49 20 6 5 2 6
183.
1 3
1 1
3
1
184. (2 33 2)2 2 63 24
8 17 312
186. 3 2 1330 2 94 2
187. 122 11 22 2 6 11
Trang 7188. : 28
3 7
3 7 3 7
3 7
189.
1 3
15 5 3 1 1 5 3
3 5 5 3
190. 14 8 3 24 12 3
3 1 3 2 3 3
2 1 2 1
194.( 143 2)2 6 28
195. 32 50 27 27 50 32
196.
1 :
197.
199.
200.
6 1
6 6 : 6
5 2
3 3
2
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x A
1
4
x
x A
1
1 1
1 2
x x
x x x
x x
1
1 1
3 :
1
8 1
1 1
1
x x
x x x
x x
x x
x B
4
4
x
x B
4.
x x
x x
x
A
2
1 1
1 1
1 : 1
1 1
x
A
2
3
5.
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x A
3
3
x A
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x
x x
x
x
A 1
7.
3
A
a > 0 ; a 4 4
a
4
a A
Ph ương pháp: Thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.
Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân
tử.
Bước 3: Quy đồng mẫu thức
Bước 4: Rút gọn
Trang 89.A= 1 1 : 1 1 1
1
x x
A
10.
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
1
2 :
1
1 1
2
x x
x x
x x
x x A
2
1
x A
x x
x x
x
x x
x
x
1
1 1 :
x A
13.
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x A
3
5 2
x
x A
14.
1
1 1
1
x
x x
x x A
1
x
x A
15.
1
2 : 1
1 1
4 1
x
x x x
x
A
x
x
16.
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x A
3
3
x A
9 1
A
x
13 3
x
x x
A
Q
1 2
Q x
2
1 1
2 :
1
1 1
x
x x
x x
x
A
x
x A
3
2
1
1 1
1 1
1 1
x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x E
x
x x
21. Ax x x11 x x11: x x x1 A 2x x
22. A x x1 x: x x111 x x2x x A x x1
23. Axx24x 23 x: x x2 xx 2 A 1 x
1
2 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x
x A
3
x
x A
1
1 1
1 1
2 2 : 1
x x
x
x x
x
x x A
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x A
2
2 2
3 :
2
2 3 2
3
2
x
x A
x x x
x x
x
x
2
1 :
4
8 2
4
x
x A
3 4
Trang 91 1
1 1
x
x x x x
x x
29. A11 x x: x x233xx2 x5xx26 A x x12
1
2 1
3 : 1
3 2 1
1
x x
x x
x x x
x A
1
4
x A
1
2 1
1 : 1
2 2 1
1
x x
x x x x
x x
A
1
1
x
x A
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x
x A
3
x
x A
33.
a
a a
a a
a A
3
1 2 2
3 6
5
9 2
3
1
a
a A
34. Ax x525x 1:x252 x x15 x x53 x x35 A35 x
35. Ax x39x 1:x9x x62xx3 x x32 A x32
36. A 2xx3 x x33x x93:2 x x321 A x33
4
A
a
4
a A
38.
1
) 1 2 ( 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x A
1
1
x
x A
1
2 1
1 : 1
1 1
1 2
x
x A
3
x
x A
40.
a a
a a
a A
2
1 6
5 3
2
2
4
a
a A
41. A x11x xx2 x 1:22x x1x A 2xx1
1
1 3
1 : 3
1 9
7 2
x x
x
x x
x x A
3
1
x
x A
43.
2
1 :
1
1 1 1
a a
a
a a
a
a A
1
1
a a a
a a A
1 1
2
1
x x x
x x x
x A
1
3 1
3
x
x x x
x x A
Trang 101 1
1 1
2
a
a a a a
a a a
a A
: 2
A
a
1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a
a A
a a a a
a a
a
a A
1
2 1
1 : 1 1
1
1 1
3 :
1
1 1
8 1
1
x x
x x x
x x
x x
x A
a
a a
a
a a
a A
1
1 1 1
1
3
53.
1 2 1
2 1
1 2
1
a
a a a
a
a a a a a
a a A
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
a
a a
a a
a a
a A
1 1
: 1
1 1
2
x
x x
x x x x
x A
1 2
2 4 1
2 1 : 1 4 1
4
x
x x
x x
x x A
57.
1 4 4
1 :
2 1
1 1
4
5 2
2 1
x x
x x
x
x x
P
58.
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x P
x x
x x x
x P
1
2 1
1 : 1 1
60.
1 2
1 :
1
1 1
x x
x x
x x P
x
x x
x x
x P
1
3 2 : 1
1 3 5 2 2
x x
x x x x x
x x x
x
P
1
2 1
1 2
: 1 1
1
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x M
x
x x x
x
x x x
x x P
1
1 1
1 : 1 1
Trang 1165.
3
2 2
: 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x P
:
1
P
x
68.
1
1 1
1
x
x x
x x
69.
4
5 2 2
2 2
1
x
x x
x x
x
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
71.
x
x x
x x
x
4
4 2 2
72.
1
3 1
x x
x x
x
73.
8
4 4 2
2 2
x x x
x
6
5 3
2
a a a
a P
a
2 1
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
76.
1
2 1
3 1
1
x
77.
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
2 1
1 : 1
x x
Trang 1284. 1 3 2
x
87.
2
1
x
91.
2
92. 2 21 . 11 11
2
a
a a
a a
a P
93.
a
a a
a a
a
a a P
1
2 2
1 2
3 9 3
94.
x
x x
x x
x
x
1
2 1
2
1
1 1
1
a a
A
96.
2
2 : 1 1
a
a a a
a a a a
a a A
1
1 1
1 1
1
x
x x
x A
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x x
x x x x
x x A
x
x x
x x
1
1 1
1 2
1 2
2 1 2
1 1
: 1 1 2
2 1 2
1
x
x x x
x x
x x x
x
Trang 131 Cho biểu thức :P a 2 5
1
2 a a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
2 Cho biểu thức: P = 1 x : x 3 x 2 x 2
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 0
3 Cho biểu thức: P = x 1 1 8 x : 1 3 x 2
9x 1
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P = 6
5
4 Cho biểu thức P = 1 a : 1 2 a
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3
5 Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- )1
2
6 Cho biểu thức: P = x 1 2x x x 1 2x x
1 : 1
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x 1 3 2 2
2
7 Cho biểu thức: P = 2 x 1 : 1 x
x 1
x x x x 1 x 1
a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0
Ph ương phỏp: Thực hiện theo cỏc bước sau
Để tớnh giỏ trị của biểu thức biết xa ta rỳt gọn biểu thức rồi thay
vào biểu thức vừa rỳt gọn.
xa
Để tỡm giỏ trị của khi biết giỏ trị của biểu thức A ta giải phương x
trỡnh Ax
Lưu ý: Tất cả mọi tớnh toỏn, biến đổi đều dựa vào biểu thức đó rỳt gọn.
Trang 148 Cho biểu thức: P =
3 3
a 1
a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P 1 a
9 Cho biểu thức P = 1: x 2 x 1 x 1 .
x 1
x x 1 x x 1
a) Rút gọn P b) So sánh P với 3
10 Cho biểu thức : P = 1 a a a 1 a a a
a) Rút gọn P b) Tìm a để P < 7 4 3
11 Cho biểu thức: P = 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1
x 9
a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
12 Cho biểu thức: P = x 3 x 9 x x 3 x 2
1 :
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P < 1
13 Cho biểu thức : P = 15 x 11 3 x 2 2 x 3
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P=1
2
c) Chứng minh P 2
3
14 Cho biểu thức: P= 2 x x m2 2 với m > 0
4x 4m
x m x m
a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = 0
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mn điều kiện x > 1
15 Cho biểu thức P =
2
a) Rút gọn P b) Biết a > 1 Hy so sánh P với P c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
16 Cho biểu thức P = a 1 ab a a 1 ab a
Trang 15a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P nếu a =2 3 và b =
3 1
1 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4
17 Cho biểu thức : P = a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1
a) Với giá trị nào của a thì P = 7
b) Với giá trị nào của a thì P > 6
18 Cho biểu thức: P =
2
a) Tìm các giá trị của a để P < 0
b) Tìm các giá trị của a để P = -2
19 Cho biểu thức P = 2
a b 4 ab a b b a
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a =2 3 và b = 3
20 Cho biểu thức : P = x 2 x 1 x 1
: 2
x x 1 x x 1 1 x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 x 1
21 Cho biểu thức : P = 2 x x 1 : 1 x 2
a) Rút gọn P
b) Tính Pkhi x=52 3
22 Cho biểu thức P =
3x
4 x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
23 Cho biểu thức: P = 1 2a a 1 2a a a a a. a
a) Cho P= 6 tìm giá trị của a
1 6 b) Chứng minh rằng P > 2
3
24 Cho biểu thức: P = x 5 x 1 : 25 x x 3 x 5
a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì P < 1
25 Cho biểu thức P = 3 a 3a 1 a 1 a b
:
Trang 16a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
26 Cho biểu thức P = 1 1 : a 1 a 2
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P > 1
6
27 Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 x 1
x 1
a) Tìm x để Q Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên
28 Cho biểu thức P = 1 x
x 1 x x
a) Rút gọn biểu thức sau P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1
2
29 Cho biểu thức : A = x x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1
4
c) Tìm x để A < 0
d) Tìm x để A A
30 Cho biểu thức : A = 1 1 3
1
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Xác định a để biểu thức A > 1
2
31 Cho biểu thức : A = x x 1 x x 1 2 x 2 x 1
:
x 1
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Tìm x để A < 0
32 Cho biểu thức : A = x 2 x 1 : x 1
2
x x 1 x x 1 1 x
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2
33 Cho biểu thức : A = a 3 a 1 4 a 4
4 a
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Tính giá trị của P với a = 9
34 Cho biểu thức : A = 1 a a 1 a a
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Tìm giá trị của a để N = -2010