Bài tập Hình học 11 Chuyên đề: Quan hệ song song23426

* Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.. Định nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng

TÀI LIỆU

MỤC LỤC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

I Đường thẳng và mặt phẳng 5

II Đường thẳng song song 9

III Đường thẳng song song với mặt phẳng .11

IV Mặt phẳng song song .13

V Hình lăng trụ 16

B PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG THEO CHỦ ĐỀ 18

Chuyên đề 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 19

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1) 19

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 23

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy 27

Dạng 4: Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động 29

Dạng 5: Thiết diện (dạng 1) .32

Dạng 6: Bài toán về diện tích thiết diện 35

Chuyên đề 2: QUAN HỆ SONG SONG 37

Dạng 1: Chứng minh 2 đường thẳng song song 37

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng .40

Dạng 3: Chứng minh 2 mặt phẳng song song 42

Dạng 4: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (cách 2/dạng 1) Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 45

Dạng 5: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2/dạng 2) Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước 48

Dạng 6: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (cách 2/dạng 3) Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước 51

α

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Đường thẳng và mặt phẳng

1 Mở đầu (sgk)

2 Các tính chất

* Tính chất thừa nhận 1:

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

* Tính chất thừa nhận 2:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

* Tính chất thừa nhận 3:

Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

* Tính chất thừa nhận 4:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

* Tính chất thừa nhận 5:

Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học không gian đều đúng.

* Định lí:

Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

b) Đường thẳng cắt mặt phẳng

c) Đường thẳng thuộc mặt phẳng

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

a) Mặt phẳng song song với mặt phẳng

b) Hai mặt phẳng trùng nhau

c) Hai mặt phẳng cắt nhau

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

a) Đường thẳng song song với đường thẳng

α β 

b) Hai đường thẳng cắt nhau

c) Hai đường thẳng trùng nhau

d) Hai đường thẳng chéo nhau

6 Điều kiện xác định mặt phẳng

- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng

- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.

- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

7 Hình chóp và hình tứ diện

a b

a) Hình chóp

- Định nghĩa

Hình gồm n tam giác đó và đa giác A 1 A 2 …A n gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A 1 A 2 …A n

Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác

b) Tứ diện

Định nghĩa:

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọi là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD

c) Thiết diện của hình chóp

Định nghĩa:

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng � là một đa giác phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến của � với các mặt bên hay mặt đáy của hình chóp.

Ví dụ: Trong hình vẽ, tứ giác MNPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng �



II Đường thẳng song song

1 Định nghĩa

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Kí hiệu: a // b

2 Các định lí.

* Định lí 1: (tiên đề Ơ-clít trong không gian)

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song song với thẳng đã cho.

Hệ quả:

Nếu từ một điểm B của mặt phẳng �, ta dựng đường thẳng b song song với đường thẳng a nằm trong � thì đường thẳng b nằm trong �.

* Định lí 2:

Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào cắt đường này ắt phải cắt đường kia.

* Định lí 3:



a (α)

B (α) !b : b // a (B b)

B a





   



 



B (α)

a (α) b (α)

B b:b // a





   



 



a // b

b ( α)

a ( α)



 

 



Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

* Định lí 4: (định lí về giao tuyến)

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với hai đường thẳng ấy.

* Định lí 5:

Hai góc trong không gian có các cạnh song song và cùng chiều thì bằng nhau.

3 Góc của hai đường thẳng trong không gian.

Góc của a và b, kí hiệu �,� , là góc � (� ≤ 90�) tạo bởi a’ và b’ vẽ từ điểm O bất

kì lần lượt song song với a và b.

Nếu �,� = 90� ta nói a vuông góc với b

Kí hiệu a ⊥ b

a, b, c (α)

a // c a // b

b // c













(α) (β) c

a (α)

a, b c

b (β)

a // b

 



 

 









III Đường thẳng song song với mặt phẳng.

1 Định nghĩa

Đường thẳng d và mặt phẳng � gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

Kí hiệu: d // �

2 Điều kiện song song.

* Định lí 6:

Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng � thì bất kì mặt phẳng � nào chứa d mà cắt � thì sẽ cắt � theo giao tuyến song song với d.

Hệ quả 2: Cho mặt phẳng � song song với đường thẳng d Nếu từ một điểm M của

� ta dựng đường thẳng a song song với d thì a nằm trong mặt phẳng �

3 Các tính chất khác.

* Định lí 7:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

( α) (β) = a ( α) // d a // d





 





ThuVienDeThi.com

* Định lí 8:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b Qua đường thẳng này ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng kia.

* Định lí 9:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b Từ một điểm bất kì O không thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đã cho.

a,b chéo nhau

a ( α) !b' (b' qua A): b' // b

b' (α)





 



IV Mặt phẳng song song.

1 Định nghĩa.

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

2 Điều kiện song song của 2 mặt phẳng.

* Định lí 10:

Nếu mặt phẳng � chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng � thì � song song với �.

3 Dựng mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước.

* Định lí 11:

Qua một điểm O bất kì nằm ngoài mặt phẳng � cho trước bao giờ cũng dựng

được một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng �

Cách dựng:

- Trong α dựng a, b cắt nhau

- Qua O dựng a’ song song với a, b’ song song với b

- Mặt phẳng (a’, b’) là mặt phẳng qua O và song song với α









Hệ quả:

Cho hai mặt phẳng � và � song song với nhau Một điểm O thuộc mặt phẳng � Nếu Ox song song song với � thì Ox thuộc mặt phẳng �.

4 Các tính chất khác

* Định lí 12:

Cho hai mặt phẳng � và � song song với nhau Một mặt phẳng � khác lần lượt giao với hai mặt phẳng � và � qua hai giao tuyến a và b thì a // b.

* Định lí 13:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.





α // β

Ox // α



   







α // β

a = α γ a / / b

b = β γ



  





γ

α

β

( α) (β)

( α) // (γ) ( α) // (β)

( β) // (γ)











β

γ

α

* Định lí 14:

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

* Định lí 15: (Định lí Ta-lét trong không gian)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

(α) // (β)

a // b

A B = C D

a (α) B ,D

b (β) A ,C





  



  



α β

α // β // γ

AB BC C A

a (α, β, γ) = A, B, C = =

A'B' B'C ' C 'A'

b (α, β, γ) = A',B',C'







 

γ

α

V Hình lăng trụ

1 Định nghĩa

Hình lăng trụ là một khối đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.

Hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

- ABCD, A’B’C’D’: đáy

- ABB’A’, BCC’B’: mặt bên

- AA’, BB’, CC’, DD’: cạnh bên

- ACC’A’, BDD’B’: mặt chéo

Tuỳ theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác…

2 Tính chất

Trong hình lăng trụ

- Các cạnh bên song song và bằng nhau

- Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành

- Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

3 Hình hộp

a) Định nghĩa

- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật là hình hộp chữ nhật.

b) Tính chất

Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các đường chéo AC’, A’C, BD’, B’D cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

B PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ

Chuyên đề 1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)

1 Phương pháp:

- Tìm điểm chung của hai mặt phẳng

- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng

Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó Giao điểm (nếu có) của 2 đường thẳng này chính

là điểm chung của 2 mặt phẳng

2 Ví dụ

VD1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD)

Giải:

trong (BCD),

mà

từ (1) và (2) suy ra I là giao điểm

của CD và (MNP)

(ACD): gọi E là giao điểm

của AD với MI

suy ra E là giao của (MNP) với

(ABD)

do đó

VD2: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA)

b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD)

NP // CD  NP  CD = I (1)

NP  (MNP)   I (MNP) (2)

I  CD   I (ACD)

(MNP)  (ABD) = EP

a) dễ thấy

từ (1) và (2) suy ra

b)

từ (3) và (4) suy ra

VD3: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên AO

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) b) I, J là 2 điểm trên BC và BD Tìm giao tuyến của (IJM) và (ACD)

Giải:

a) Xét (MCD) và (ABO)

(BCD): kéo dài BO cắt CD tại N

từ (1) và (2) suy ra

b)

(BCD): kéo dài IJ cắt CD tại K

từ (3) và (4) suy ra

(NDA) (MBC) = M (1)

M (MBC)

(MNC) (NDA) = N (2)

N (NDA)

 





 



(MBC)  (NDA) = MN (ABD): BM DI = K (MBC) (IJD) = K (3)

(ACD): CM DJ = H (MBC) (IJD) = H (4)

(ABO) (MCD) = M (1)

(MCD) (ABO) = N (2)



 





   



(BCD): BNIJ = P(MIJ)(ABO) = MP

(ABN): PM AM = Q

(MIJ) (ACD) = Q (3)





   



(MIJ) ACD = K (4)

(IJM)(ACD) = QK (MCD)(ABO) = MN