S GD & T THANH HÓA KI M TRA CH T L NG THPT QU C GIA L N 2
TR NG THPT T NH GIA 1 MÔN TOÁN (N m h c 2014 – 2015)
Th i gian: 180 phút ( không k th i gian phát đ )
Câu 1: ( 2 đi m) Cho hàm s y = x3
– 3mx2 + m ( 1) a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1
b) Tìm m đ đ th hàm s đ t c c tr t i A, B sao cho di n tích tam giác OAB
b ng 4 (O là g c t a đ )
Câu 2: ( 2 đi m)
a) Gi i ph ng trình: sin 2 x c os2x 2sin x 1
b) Tính tích phân: I =
1
0
( 1)
x x dx
Câu 3: (1 đi m)
a) T m t h p đ ng 4 viên bi đ và 5 viên bi xanh, ch n ng u nhiên hai viên bi Tính xác su t đ hai viên bi đ c ch n cùng màu
b) Gi i ph ng trình:
1
2
x x
Câu 4: (1 đi m) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(2;1;-1)
và m t ph ng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0 Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua
A và vuông góc v i (P) Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng d sao cho
3
OM
Câu 5 ( 1 đi m) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc
v i đáy, SA = a Góc gi a đ ng th ng SD và m t ph ng (SAC) b ng 300
Tính
th tích kh i chóp SABCD và kho ng cách t đi m D đ n m t ph ng (SBM), (M là trung đi m CD)
Câu 6 ( 1 đi m).Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho tam giác ABC có
tr c tâm H(3;0) và trung đi m c a BC là I(6; 1) ng th ng AH có ph ng trình x + 2y – 3 = 0 G i D, E l n l t là chân đ ng cao k t B và C c a tam giác ABC Xác đ nh t a đ các đ nh c a tam giác ABC, bi t ph ng trình
đ ng th ng DE là x - 2 = 0 và đi m D có tung đ d ng
Câu 7 ( 1 đi m)
Gi i h ph ng trình
2
Câu 8 (1 đi m) Cho ba s không âm a, b, c th a mãn ab + bc + ac = 1
Ch ng minh r ng: 22 22 22 1 3
Thí sinh không đ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
H và tên thí sinh: ; S báo danh:
Trang 2H ng d n gi i và thang đi m
1a Hàm s y = x3
– 3x2 +1
TX D = R
S bi n thiên: lim ; lim
; y’=3x2-6x => y’ = 0 x 0; x 2 BBT
Hàm s đ ng bi n trên (-;0) và (2; +); Hàm s ngh ch
bi n trên (0;2)
Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; y = 1: đ t c c ti u t i x = 2; y = -3
th
0,5
0.5
1b
Ta có y’ = 3x2 -6mx => y’ = 0 0
2
x
V i m 0 hàm s có hai đi m c c tr A(0;m);B( 2m; - 4m3
); AB= 2 4
4m (14m )
Ph ng trình đ ng th ng AB: 2m2
x + y – m =0;
4
OAB
m
m
0,5
0,5
2a sin 2 os2x=2sinx-1 sinx(sinx + cosx-1)=0
sinx=0
0.5
0,5
2b
I =
1 0
1
0,5
3.a Không gian m u có: 2
C
G i A là bi n c l y đ c hai viên bi cùng màu: 2 2
Xác su t c a bi n c : PA= 16 4
36 9
A
0,25
0,25
3.b
t t= ( ) ( 1 0)
3
x
t Ph ng trình tr thành: -t2
+3t-2 = 0 2
1
t t
Ta có 1 / 3
1 ( ) 2
log 2 3
( ) 1
3
x
x
x x
0.25
0,5
4
Ph ng trình đ ng th ng d qua A và vuông góc v i (P): 2 1 1
x y z
ho c
2
1 (2 ) (1 2 ) ( 1 2 ) 3 9 12 3 0 1
3
t
t
V y t a đ M(1; -1;1) ho c M(5 1 1
3 3 3
0,5
0,5
2
-2
-4
-6
-3 1
-
+
+ 2
0
-
y y' x
Trang 3H
N
M D
C B
S
A
5 CM: DB ( SAC ) hình chi u vuông góc DS lên (SAC) là SO; Góc c a SD và (SAC) là
30
DSO t DO =x Ta có SO=x 3 (O là giao c a AC v i BD)
T SO2
= AO2 +SA2 1 2 2
2
2 ABCD
a
Th tích kh i chóp SABCD là.V= 1 1 3
3SA S ABCD3a
G i N là trung đi m c a AB => DN// BM
Suyra:d(D;(SBM))=d(N;(SBM))=d(N;(SBM))=1
2d(A;(SBM))
K AI BM AH ; SM
T đó CM đ c AH ( SBM ) d A SBM ( ;( )) AH
Trong (ABCD): SABM= SABCD- SADM-SBCM = a2 /2
Mà SABM =1
2.AI.BM suy ra AI =2/ 5a
Khi đó
( ;( ))
0,25
0,25
0,25
0,25
6 G i K là trung đi m AH T giác ADHE n i ti p đ ng tròn tâm K
và BCDE n i ti p đ ng tròn tâm I
Suy ra IK vuông góc DE => PT đ ng th ng IK: y – 1=0
T a đ K(1:1) => A(-1;2)
G i D(2; x)Ta có : KA = KD
2
5 1 (x 1) x 3hoac x 1( )l D(2;3)
PT đ ng th ng AC: x – 3y +7 =0 ; Ph ng trình BC:
2x – y -11 = 0
T a đ C(8;5) B (4; 3) V ây A(-1;2) B(4;-3) C(8;5)
0,25
0,25
0,5
7 (1)DKx 0; y 1; 3 x 2 y 4 0 Nh n th y x= 0; y = 1 không là nghi m c a h
Ta có:
Khi đó:
2
(2) 3 1 6 3 14 8 0 ( 3 1 4) (1 6 ) ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
V y h có nghi m: (x; y) = (5;6)
0,5
0,5
ab bc ca a a ab bc ca a b a c
Ta có:
Suy ra:
2
1
c
T đó ta CM đ c:
maxVT = max f c ( )=
2
3
3 ( 3)
c
a b
c
0,5
0,25
0,25
K
H
I B
A
C
D E
