Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số sau:.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A.. Cho hỡnh chúp S ABCD.. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuụng gúc vớ
Trang 1SỞ GD - ĐT HềA BèNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010-2011
Mụn: Toỏn.
Ngày thi: 23/12/2010
(Thời gian làm bài 180' không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (5 điểm)
1 Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số sau:
3
sin cos 2 7 sin 2
2 Cho hàm số (C)
1
x y x
Lập phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến này cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại cỏc điểm A và B thỏa món OA = 4OB
Cõu 2 (6 điểm)
1 Giải phương trỡnh: 2 2
2 sin ( ) 2 sin – tan
4
2 Giải phương trỡnh: 2
1 2
2
4 log x log x 5 0
3 Giải hệ phương trỡnh:
3 2 2
6
Cõu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A Gọi G là trọng tõm của tam giỏc đú, biết BC và BG lần lượt cú phương trỡnh là:
; ,và đường thẳng CG đi qua điểm
2 4 0
x y 7 x 4 y 8 0 E( 4;1)
Viết phương trỡnh đường cao AH
Cõu 4 (2 điểm) Tỡm để phương trỡnh sau cú nghiệm:m
2
x mx x
Cõu 5 (4 điểm)
Cho hỡnh chúp S ABCD. cú SAx và tất cả cỏc cạnh cũn lại cú độ dài bằng a
1 Chứng minh rằng đường thẳng BD vuụng gúc với mặt phẳng (SAC)
2 Tỡm theo để thể tớch của khối chúp x a S ABCD. bằng
3 2 6
a
Cõu 6 (1 điểm).
Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC biết: 2 sinAsin (1 cos ) 1B C
HẾT
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
sin (1 2 sin ) 7 sin 2
sin 2 sin 7 sin 1
Đặt t sinx điều kiện t 1
Bài toán trở thành tìm GTLN-GTNN của hàm số 3 2 trên đoạn
y t t t
1;1
y t t x
khi maxy 9
2
t x x k
khi miny 3
2
t x x k
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
(5đ)
2
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M x y( ;0 0) cắt Ox tại A và Oy
tại B sao cho OA=4OB Do OAB vuông tại O nên tan A 1 Hệ
4
OB OA
số góc của d bằng hoặc 1
4
1 4
0
0
3
1 ( 1)
2 5
2
Khi đó có hai tiếp tuyến của (C) thỏa mãn bài toán là:
( 1)
( 3)
x y
x y
Cách 2: Gọi tiếp tuyến tại điểm M x y( ;0 0)( )C có dạng
(d) 0
0 2
1
x
(d) cắt Ox tại A cho y=0 tìm x suy ra 2
0 0 (2 2 1; 0)
A x x
(d) cắt Oy tại B cho x=0 tìm y suy ra 20 0
2 0
0;
( 1)
B
x
Theo giả thiết OA=4OB suy ra tìm được 0 Từ đó ta có kết quả
0
3 1
x x
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
1,0
Trang 31 ĐK:
2
x k
Phương trình đã cho tương đương với phương trỡnh
(1 sin 2 ) osx sin 2xsinx sinxx c (1 sin 2 )( osx+sinx) 0x c
4
x
x
0,5
0,5
1,0
2 ĐK x 0 Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
1 5
log
2 2 4
x x
x x
KL:
0,5
0,5
1,0
Câu
2
(6đ)
3
Phương trình thứ nhất đặt t x y 0 ta được 2 2
6 0
3
t
t t
t
thay vào phương trình thứ hai ta được phương
trỡnh:
2 4 5 0 ( 1)( 5) 0 1
1 21 2
x x
+ x 1 y 3
x y
x y
1,0
0,5
0,5
Câu
3
(2đ)
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ
B 0; 2
Kẻ EF song song với BC FBG Vỡ tam giỏc ABC cõn tại A nờn đường
cao AH là trung trực của EF
Phương trỡnh đường thẳng EF: 1 x 4 2 y 1 0 x 2y 6 0
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ
F 4;5
1,0
Trang 4Tọa độ trung điểm I của EF: I 0;3 Phương trỡnh đường trung trực của EF:
2 x 0 1 y 3 0 2x y 3 0
Câu
4
(2đ)
ĐK: x 1
Phương trình đã cho tương đương với
x mx x x
Chia cả hai vế cho ( vỡ ) 2
2mx 3x 8x 3
1
m
KL:
0,5 1,0 0,5
Câu
5
(4đ)
Cỏch 1: Do B và D cách đều S,A,C nên BD(SAC)
Cỏch 2:
Gọi O là tâm của đáy ABCD Ta cú BDAC(tớnh chất của hỡnh thoi)
BDSO (do SBD cõn)
BD SAC
O
C
A
D B
S
Các tam giác ABD, BCD,SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD
chung nên OA=OC=OS Do đó ASC vuông tại S
Ta có:
2 2
S ABCD S ABC
a x
V V SC SA SO ax a ax a x
Theo giả thiết ta cú phương trỡnh:
3
2 2
3
x a a
ax a x
x a
1,0 0,5
0,5
1,0
1,0
Trang 5C©u
6
(1đ)
2 sinAsin (1 cos ) 1B C
(*)
cos(A B) cos(A B) (1 cos ) 1 C cos(A B) cosC(1 cos ) 1C
Do cos(A B ) 1 cos(A B ) cos C 1 cosC
2 (*) (1 cos )(1 cos ) sin 1 (*)
Vậy đẳng thức xảy ra os( ) 1 900 0
0,5
0,5
Mọi lời giải đúng đều được xem xét và cho điểm tương ứng
HẾT