Tuy Hòa, Phú Yên.
Trang 1TH S C TR C K THI
S 6, s 453, tháng 4 n m 2015.
(Th i gian làm bài:180 phút)
Câu 1 (2,0 đi m). G i ( )C m là đ th c a hàm s y x= 3 −3 x m + ( m là tham s th c).
b) nh tham s m đ qua đi m u n c a đ th ( ) C m k đ c m t đ ng th ng( )d t o v i đ th ( ) C m m t
b ng nhau đ u b ng 2 (đvdt)
Câu 2 (1,0 đi m). Gi i ph ng trình tan cot 2x x= +( 1 sinx 4cos) ( 2 x+4sinx − 5 )
( )
3
4
ln 4 tan
sin 2 ln 2 t anx
x
x
π
π
Câu 4 (1,0 đi m).
a) Trog tr ng h p khai tri n theo nh th c Newton c a bi u th c ( 1 + x 2 ) n ta có h s ch a x b ng 210 8
Tính t ng các h s c a các s h ng đ c khai tri n t bi u th c trên theo tr ng h p đó.
s ph c z z đ ng th i th a mãn hai đi u ki n trên sao cho 1, 2 z z 1− 2 là l n nh t.
Câu 5 (1,0 đi m). Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, qua hai đi m M( 1; 1;1 , − ) ( N 0; 1;0 − ) l p
tích hình tròn sinh b i đ ng tròn đó có di n tích S π = .
Câu 6 (1,0 đi m). Cho hình chóp t giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên SA⊥ (ABCD )
Tính theo a th tích kh i nón (H), bi t r ng đ ng tròn đáy c a (H) ngo i ti p t giác AMGN và đ nh O c a
(H) n m trên đáy ABCD c a hình chóp S.ABCD.
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, hãy tính di n tích tam giác ABC bi t r ng hai
đi m (5;5) H , I ( )5;4 l n l t là tr c tâm và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và x y + − = là 8 0
ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC c a tam giác.
Câu 8 (1,0 đi m). Gi i ph ng trình nghi m th c ( x ln x− ) 2x2 +2 = x 1 +
Câu 9 (1,0 đi m). Cho ba s d ng x, y, z th a mãn 0 x y z < < <
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
2
15
x z y z x
P
x z
y xz y z xz y
+
Nguy n Lái
( GV THPT Chuyên L ng V n Chánh.
Tuy Hòa, Phú Yên.)
Trang 2H NG D N GI I.
Câu 1.
a) B n đ c t gi i.
b) T a đ đi m u n c a đ th ( )C m là I( )0; m nên đ ng th ng ( )d có d ng y kx m = +
Ph ng trình hoành đ giao đi m c a hàm s ( )C m và ph ng trình đ ng th ng ( )d là
3 3
x − x m + =kx m + ⇔ x3 −( k+ 3) x = 0 (1)
( )d ch n đ c trên đ th ( )C m m t di n tích thì ph ng trình (1) ph i có 3 nghi m ⇒ > −k 3 , lúc đó 3 nghi m c a ph ng trình (1) là x= 0,x= − k+ 3,x= k + 3 .
Vì I là tâm đ i x ng c a đ ng cong ( )C m nên di n tích c a hình ph ng (H) là:
( )
3
2
3
0
1
2
k
S= ∫ + kx m x+ − + x m dx− = k + 2 1 ( 3) 2 2 1
2
Lúc này đ ng th ng ( )d vi t l i y= − + x m nên (d) c t hai tr c t a đ t i hai giao đi m
( ) ( )0; , ;0
2
theo gi thi t S = ⇒2 m=2,m = − 2 .V y có hai giá c n tìm là m=2,m = − 2 .
Câu 2. i u ki n : cos 0
x x
π
≠
⇒ ≠
Ta có tan cot 2x x= +( 1 sinx 4cos) ( 2x+4sinx−5) ⇔tan cot 2x x=3sinx−4sin3 x − 1
x
Nghi m ph ng trình x y ra :
ho c sin 3 0
3
n
x=π +m xπ = π + mπ
ho c sin 2 cos 1 sin 2 1 sin 2 1
x x
x x
x x
x=π +m xπ = π +mπ m Z∈ .
ln 2 ln 2 t anx
ln 2.
dx dx
+
( )
3
4
ln 2 t anx
d
x
π
π
4
4
dx
x
π π
I = +
Trang 3a) . Khai tri n bi u th c trên có s h ng th (k+1) là k 2 k , ( )
n
C x k n <
Theo gi thi t , ta có 2 8
210
k
n
k
C
=
=
n
−
( n 3)( n 2)( n 1) n 5040 ( n2 3n n)( 2 3n 2) 5040
t n ph và gi i ph ng trình này ta đ c n = 10 .
Khai tri n bi u th c ( 2)10 0 2 1 4 2 2.10 10
Do đó t ng các h s : 0 1 2 10 ( ) 10 10
C +C +C + +C = + =
b) Gi s M a b ( ); là đi m bi u di n s ph c z a bi a b R = + , , ( ∈ ) , vì
( ) 2 2
z− = ⇒ a− +b = ⇒M thu c đ ng tròn ( ) 2 2
( ) :C x−1 +y = 34 . Vì
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) ( )
⇒ M n m trên đ ng th ng ( ) : d 2 1( −m x) + 2( m− 2) y − = 3 0
t n t i hai s ph c z z 1, 2 đ ng th i th a mãn hai đi u ki n đã cho ngh a là t n t i hai đi m bi u
di n M M 1, 2 c a hai s ph c l n l t n m trên hai giao đi m c a ( ) C và (d) , và đ z z 1 − 2 l n nh t khi và ch khi M M 1 2 là đ ng kính c a ( C ) hay (d) qua tâm I (1;0) c a ( C )
2
Lúc n y đ ng th ng (d) vi t l i 3x−5y − = 3 0 . Do đó M M 1, 2 là nghi m c a h
( 1) 2 2 34 1( ) 6;3 , 2 ( 4; 3 )
x y M M
x y
V y hai s ph c c n tìm là z3 = +6 3 ,i z4 = − −4 3 i .
Câu 5. M t c u (S) có tâm I − − ( 2; 1;1) và bán kính R = 5 .
G i r là bán kính đ ng tròn thi t di n, theo gi thi t ta có S = ⇔π r2 .π π= ⇒ =r 1 .
G i d là kh ng cách t I đ n m t ph ng α ta có d2 =R2−r2 = − ⇒ =5 1 d 2 .
M t ph ng α qua N − ( 0; 1;0 ) có d ng Ax+B y( + +1) Cz= ⇔0 Ax+By Cz B+ + =0( A2+B C 2+ 2 ≠ 0 ) .
M t khác α qua M − ( 1; 1;1 ) nên th a A C+ = ⇒0 α: Ax+By Az B− + = 0 .
3
2
B
A B
Do đó có hai m t ph ng α c n tìm là : 2x y+ −2 1 0 z + = , 2x y− −2 1 0 z − = .
Câu 6. Ta có BC SA BC ( SAB) BC AM
BC AB
⊥
M t khác SC⊥ ⇒α SC AM⊥ ( vì AM α ⊂ ) (2)
T (1) và (2) suy ra AM ⊥(SBC ) ⇒AM MG ⊥ ( vì MG⊂ (SBC ) )
AMG
⇒ D vuông t i M, t ng t ta c ng có tam giác D ANG vuông
t i N⇒tâm H đ ng tròn đáy c a (H) là trung đi m AG, có bán
G
M
O
S
D
C
B
A
Trang 4kính R = AG 2 Xét tam giác vuông SAC t i A có . 6 6
SA AC
SC
Vì OH là đ ng cao (H) ⇒OH ⊥ ⇒α OH SC / / ⇒ O là giao đi m hai đ ng chéo AC, BD
1
2
3
3
AC
CG a OH a
SC
V y th tích hình nón là ( ) 1 2. 3 3
H
V = πR OH = πa .
Câu 7 Kéo dài đ ng cao AH l n l t c t BC và đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i hai đi m
E và K, ta d dàng ch ng minh đ c E là trung đi m HK.
ng cao AH BC ⊥ nên có ph ng trình x y − = 0 , E là giao đi m c a BC và AH ⇒ E (4;4) và H là trung đi m HK ⇒ K (3;3) , suy ra bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là R IK = = 5
⇒ ph ng trình đ ng tròn là ( ) ( 2 ) 2
x− + y− = C
V y hai đi m B, C là nghi m c a h hai ph ng trình đ ng th ng BC và đ ng tròn
Di n tích tam giác ABC là
ABC
S = d A BC BC = + − = (đvdt).
Câu 8. i u ki n x > 0 ta có ( ) 2 ( )
2
x 1
+
+
Xét hàm s f(x) x 1 2
+
=
+
1 x
−
L p b ng bi n thiên ta có f x( ) 1,≤ ∀ >x 0 , đ ng th c x y ra khi x = 1.
Xét hàm s g x( ) x lnx g x'( ) 1 1 x 1 g x'( ) 0 x 1
−
L p b ng bi n thiên ta có g x( ) 1,≥ ∀ >x 0 , đ ng th c x y ra khi x = 1.
V y ph ng trình có đúng m t nghi m x = 1.
Câu 9 Ta có
2
15
x y
y z z
P x y x y x z
y z y z x
+ + t a x,b y,c z a b c 1, c 1.
y z x
Bi u th c vi t l i P a3 b 3 c 2 15
a b a b c
Ta có a b3 3 ab a b( ) a3 b 3 ab 1
a b a b c
+ + ( vì a, b > 0 ).
V y P 1 c2 15 c2 16 f c( ), c ( 1; )
Ta có f c'( ) 2c 16 2 f c'( ) 0 c 2
c
L p b ng bi n thiên ta có f c( )≥ f (2) 12, = khi và ch khi 2 1 2 2
2
V y giá tr nh nh t P = 12 khi và ch khi z= 2y= 2 x
