Tính xác suất để hai học sinh và nhận được phần thưởng giống nhau.A B Câu 5 1,0 điểm.. có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD.. a Đường thẳng qua vuông góc với
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình sin 1 tan tan tan 2 3 32
x
x
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân m
biệt lập thành một cấp số nhân: 3 2
x x m x m
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tổng 2 2 2
S
Câu 4 (1,0 điểm) Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5
cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh
, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự , , , , , , , ,
A B C D E F G H I
các cuốn sách) Tính xác suất để hai học sinh và nhận được phần thưởng giống nhau.A B
Câu 5 (1,0 điểm) Cho dãy số xn được xác định bởi: 2
1 2016, n 1 n n 1, 1, 2,3,
x x x x n a) Chứng minh rằng dãy xn tăng và lim xn
b) Với mỗi số nguyên dương , đặt n Tính
1 2
n
n
y
Câu 6 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Biết AB a BC , a 3 và SDa 5
a) Đường thẳng qua vuông góc với A AC cắt các đường thẳng CB CD, lần lượt tại I J, Gọi
là hình chiếu vuông góc của trên Hãy xác định các giao điểm của với
và chứng minh rằng
b) Tính diện tích tứ giác AKHL
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại , A M là trung điểm của AB Đường thẳng CM y: 3 0 và 3;7 là trọng tâm tam giác
3
K
Đường thẳng AB đi qua điểm D 1; 4 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm M
có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng
2x y 4 0
Câu 8 (1,0 điểm) Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P xy yz zx x y z x y z
-
Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
II ĐÁP ÁN:
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT
1 (2,0 điểm)
ĐKXĐ: cos cos 0 Phương trình đã cho tương đương
2
x
2
cos cos sin sin
cos cos
2
x x
0,5
2 sin
tan 2 3 3 3 tan cos
x
x
hoặc
2
3 tan x 2 tanx 3 0 tanx 3
3
3
x x k
0,25
1
6 3
Kiểm tra ĐK thỏa mãn Vậy nghiệm của PT là ; ,
2 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương
( 1)( 2 6 ) 0 2 1
x
0,25 Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
2
5
m m
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x x1, 2 và x3 1, trong đó x x1, 2là nghiệm của (1)
Theo định lý Viet ta có 1 2 (2)
1 2
6
x x
x x m
0,25
Xét các trường hợp sau:
*) Nếu 2 2 (3) Từ (2) và (3) ta có hệ:
1 3 2 1 2
x x x x x
2
2 2
1 2
2
6 0 6
2; 4; 8
3; 9; 27
0,25
(Đáp án có 04 trang)
Trang 3*) Nếu 2 (4) Từ (2) và (4) ta có hệ:
1 2 3 1 2 1
1 2
1 6
m
x x
x x
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m1,m8,m 27
0,25
3 (1,0 điểm)
k
k
k
Suy ra 12 1 1
1
k
A k k
Cho k 2, 3, , 2016 ta được 1 1 1 1 1 1
2 2 3 2015 2016
Vậy 1 1 2015
2016 2016
4 (1,0 điểm)
Gọi x y z x y z Î ¥, , ( , , ) lần lượt là số học sinh được nhận các bộ giải thưởng (Toán-Lý);
(Toán-Hóa) và (Lý-Hóa) Ta có hệ:
ï + = Û ï =
0,25
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: 4 3 2
9 5 2 1260
Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: C C C =72 53 22 210 cách phát
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: 1 4 2 cách phát
7 6 2 105
C C C =
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: C C =74 33 35cách phát
0,25
Vậy xác suất cầm tìm là ( ) 210 105 35 5
5
a (0,5 điểm)
x x x x x x x n x n 0,25
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng x n n 1, n 1 (1) Thật vậy, (1) đúng với .Giả sử (1) đúng với thì
1
x x x n n n n n
Vậy (1) đúng với mọi n Từ x n tăng ngặt và x n n 1, n 1 suy ra limx n
0,25
b (0,5 điểm)
Ta có x n+1- 1= x n(x n- 1) Suy ra
1
-Từ đó
1
x = x - x +
-0,25
Do đó
n
y
Từ lim n lim 1 0 Vậy
n
x
x
2015
n
y
0,25
Trang 46 a(1,0 điểm)
L
K
J
D
I
J
A
B
D
C
A S
I
H
Trong (SBC) gọi K= SBÇIHÞ K= SBÇ(HIJ)
Trong (SCD) gọi L= SDÇJH Þ L= SDÇ(HIJ) 0,5
Ta có IJ AC IJ (SAC) IJ SC, mà Suy ra
IJ SA
ì ^
í
ï ^
ïî
Suy ra AK^ SC Mà BC^ (SAB)Þ BC^ AK Vậy AK ^ (SBC) 0,25
b(1,0 điểm)
2
SA= SD - AD = a
3
AH
6
AK
Do AK^ (SBC)Þ AK^ KH, do đó 2 2 2
6
a
Tương tự phần (a) thì AL^ (SCD)Þ AL^ HL Từ đó tính được
15
a
Suy ra
2
a
7 (1,0 điểm).
H G K
E
N M
A
I
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh MC^ IK
Thật vậy, gọi H N, lần lượt là trung điểm BC AC, ;G= AHÇCM Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.Mặt khác là trọng tâm tam giác K ACM nên KG HE|| Suy ra
||
0,25
Trang 5Hết -Rõ ràng AH ^ MK nên G là trực tâm tam giác MIK Suy ra MC^ IK
Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x +3= 0
Tọa độ thỏa mãn hệ I 3 0 3 ( 3; 2 )
I
ï - + = ï =
Gọi M m( ;3)Î MC m, > 0.Ta có DMuuuur=(m- 1; 1 ;- ) IMuuur=(m+3;5 )
2 ( )
é = -ê
ê = ë uuuur uuur
0,25
Suy ra M(2;3), DM =uuuur (1; 1- ) Từ đó suy ra AB x: + y- 5= 0 Gọi C c( ;3)Î CM
Do 7 là trọng tâm ACM nên Mà suy ra
3;
3
K
11 c 1 5 0 c 15
- - + - = Û =
-0,25
Từ đó A(4;1 ,) B(0;5 ,) C -( 15;3 ) Thử lại ta thấy AB ¹ AC Suy ra không tồn tại
, ,
8 (1,0 điểm).
Đặt a z thì xya 1 và 2 2 2
P xy ya ax x y a x y a Xét hai trường hợp:
* Nếu cả 3 số x y a, , đều âm Áp dụng BĐT Côsi ta được
2 2 2 3
xy + ya+ ax ³ x y a =
15 x + y + a - 7 x+ y+ a ³ 15 3 x y a +7.3 - xya=15 3+ 21>16
Suy ra P > 48 1+ = 49
0,25
* Nếu trong 3 số x y a, , có một số âm, hai số dương Không mất tổng quát, giả sử
Đặt Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được
0, 0, 0
x< y> a> x1= - x> 0
2 2 2
3 x + y + a ³ 2y+ 2a+ x
1
³ çççè + + ÷ë÷ø + + - + - û+
0,25
2
÷
÷
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y= a= 2x1> 0 và x ya =1 1 hay
3
2
y= a=
3
2 2
3
, , 2, 2,
2
x y z
÷ ç
0,25
