T H H S S C T T R R C C K K Ì T T H H I
ã đ c đ ng trong báo Toán H c và Tu i tr s 450 đ s 3, n m 2014
Câu 1 (1 đi m) Cho hàm s y=x3−3x2 +( m 1 x 1 − ) + có đ th là ( ) C m .
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th khi m= 1
2) Tìm m đ đ th ( ) C m c t đ ng th ng y= + x 1 t i ba đi m A 0;1 , B, C ( ) sao cho BC= 10 .
Câu 2 (1 đi m) Gi i ph ng trình : 32 4 2 sin 2x 2 3 2(cot x 1)
sin 2x cos x
+
Câu 3. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y x, y x 3 tan x , x ( 2 )
4
π
Câu 4.
1) Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c z th a z 2i 1− + = iz i 1 + −
2) Tìm s nguyên d ng n th a C2n 1+ +2C2n 2+ +2C2n 3+ +C2 n 4 + = 149 .
Câu 5. Trong không gian Oxyz cho ba đ ng th ng
d :
− , d : 2 x 1 y 1 z
− và 3
= −
= − −
= − +
.
Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) α đi qua d 2 và c t d , d 1 3 l n l t t i A,B sao cho AB= 13 .
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a và BAD· = 60 0 . Hình chi u c a
S lên m t ph ng ( ABCD ) là tr ng tâm tam giác ABC. Góc gi a m t ph ng ( ABCD ) và ( SAB ) b ng
0
60 Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t B đ n m t ph ng ( SCD ) .
Câu 7. Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn ( ) C có ph ng trình:
( x 2− ) ( 2+ y 3− ) 2 = 26 G 1; 8
3
là tr ng tâm tam giác và M 7; 2 ( ) n m trên đ ng th ng đi qua A và vuông góc v i đ ng th ng BC; M≠ A Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC, bi t yB > y C .
Câu 8. Gi i h ph ng trình :
2
.
Câu 9. Cho các s th c a, b (0;1) ∈ th a a2+b2 =a 1 b− 2 +b 1 a − 2 . Tìm giá tr nh nh t c a
bi u th c sau:
NGUY N T T THU
( GV THPT chuyên L ng Th Vinh, ng Nai)
C m n th y Nguy n T t Thu đã chia s đ n www.laisac.page.tl
Trang 2H ng d n gi i Câu 1.
1) B n đ c t làm.
2) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a ( ) C m và đ ng th ng d : y= + là: x 1
( )
x −3x + m 1 x 1− + = + x 1
2
=
ng th ng d c t đ th ( ) C m t i ba đi m phân bi t khi và ch khi ph ng trình (*) có hai nghi m phân bi t
1 2
x , x khác 0 , hay
4
(1).
Khi đó B x ; x( 1 1+1 , C x ; x) ( 2 2 + 1 )
BC =2 x −x =2 x +x −4x x =2 17 4m −
Do đó BC= 10 ⇔ BC2 =10⇔17 4m− = ⇔5 m= 3 (th a (1)).
V y m= là giá tr c n tìm. 3
Câu 2.
i u ki n: sin 2x 0 x k , k
2
π
Ph ng trình 3 1 tan x( 2 ) 4 2 3 2 cot x
sin 2x
sin x cos x
+
3
1
.
Câu 3.
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m: x=x 3 tan x( + 2 ) ⇔ = x 0
Di n tích hình ph ng c n tính là:
Trang 3
Suy ra 4 4
0
0
π
π
0
π
= + − − = + −
Câu 4.
1) G i M x; y là đi m bi u di n s ph c z , ta có z x yi ( ) = +
Suy ra z 2i 1− + =( x 2− ) ( + y 1 i + )
( )
iz i 1+ − = − − +y 1 x 1 i +
Nên z 2i 1− + = iz i 1 + −
( x 2) ( 2 y 1) ( 2 y 1) ( 2 x 1) 2 2x 1 0
V y t p h p đi m M là đ ng th ng 2x 1 0 − =
2) i u ki n: n 3 ≥
Ta có: C2n 1+ +2C2n 2+ +2C2n 3+ +C2 n 4 + = 149
( )
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
149 2!n!
2
V y n= 5 là giá tr c n tìm.
Câu 5.
Ta có A d∈ 1 ⇒A(1 a; 1 2a;1 a) + − + − , B d∈ 3 ⇒B( 2b; 1 4b; 1 2b) − − − − +
Suy ra ABuuur = − −( a 2b 1; 2(a− − +2b); a+2b 2) −
, đ t x= + a 2b
3
• V i x 1= ⇒ABuuur =(0; 2; 3) −
, ta có ur =(2; 3; 1) −
là VTCP c a d và 2 A( 1;1; 0) d− ∈ 2 ⇒A ( ) ∈ α Suy ra n=AB, u =(7; 6; 4) − −
ur uuur r
là VTPT c a ( ) α
Ph ng trình ( ) : 7x 6y 4z 13 0 α − − + =
• V i x 4 AB ( 7; 8; 2 )
. Suy ra n= − 3AB, u = − ( 14;11; 5)
là VTPT c a ( ) α
Ph ng trình ( ) : 14x 11y 5z 25α − − − = 0
Câu 6.
N
H
A
D
S
M
K
Trang 4G i H là tr ng tâm tam giác ABC, suy ra SH⊥ (ABCD) K MH vuông góc v i AB, M thu c AB.
Ta có · SMH là góc gi a hai m t ph ng ( SAB và ) ( ABCD , do đó · ) SMH= 60 0 .
DB = 3 nên MH 1d D, AB ( ) 1 a 3 a 3
2
M t khác tam giác ABD đ u c nh a nên SABCD 2SABD 2 a2 3 a2 3
Th tích kh i chóp S.ABCD là V 1SH.SABCD 1 a a 3 2 a 3 3
Ta có d B, (SCD)( ) 3 d H, (SCD) ( )
2
G i N, K theo th t là hình chi u c a H lên CD và SN, khi đó d H, (SCD)( ) = HK
Vì HN 2d B, CD ( ) 2 a 3 a 3
HK
7
+
.
V y d B, (SCD) ( ) 3a 7
14
Câu 7.
B'
A'
H
G
E
F
M
I
A
G i I là tâm c a đ ng tròn ( ) C , E là trung đi m BC và H là tr c tâm tam giác ABC
K đ ng kính AA ' c a đ ng tròn ( ) C
Ta có BA ' CH, CA ' BH P P nên BHCA ' là hình bình hành. Suy ra E là trung đi m c a A ' H
D n t i IE là đ ng trung bình c a tam giác HA ' A IE 1 EG
Do đó, ta có DGIE Dä GHA⇒AGH· =EGI· ⇒ G, H, I th ng hàng và GHuuur= − 2GI uur
.
Mà I 2; 3 nên tacos ( )
( )
( )
H
H
H
H
H 1; 2
.
M t khác M∈ ( ) C và A, H, M th ng hàng.
L i có · · · · BHM=AHB '=ACF=BMH⇒ D MBH cân t i B nên BC là đ ng trung tr c c a đo n HM
Ta có F 3; 2 và ( ) HMuuuur = ( ) 8; 0
nên ph ng trình BC : x 3 0 − =
T a đ B, C là nghi m c a h
( ) ( 2 ) 2
.
Ph ng trình HM : y 2− = nên t a đ đi m A là nghi m c a h0
Trang 5( ) ( 2 ) 2 ( )
A 3; 2
.
V y A( −3; 2 , B 3; 8 , C 3; 2 ) ( ) ( − ) .
Câu 8.
. i u ki n y ≥ 1
Ta có x2+ +1 x y − y2−1 = ⇔1 x2+ + = +1 x y y2 − 1
(2).
y x
y x
− . T đây ta có 0 y x 1 < − ≤ Thay vào ph ng trình th hai ta đ c:
( ) 2
t t= −y x, t∈ ( 0;1 , ta có ph ng trình
2
1 8 t 3 17
Xét hàm s f (t) 1 2 8 t 3, t ( 0;1
f '(t)
t 3
Ta có f '(t)= ⇔0 2t3− t+ = ⇔3 0 4t6 − − = t 3 0
( t 1 4t) ( 5 4t4 4t3 4t2 4t 3) 0 t 1
Suy ra f (t)≤f (1)=17 t∀ ∈ ( 0;1 . Do đó (3) có nghi m duy nh t t 1 =
V y ta có y x 1 2 2 x 0
V y nghi m c a h là x 0
=
=
Câu 9.
Do a, b (0;1) ∈ nên t n t i hai góc nh n x, y sao cho a=cos x, b= cos y
Khi đó gi thi t bài toán ⇔cos x2 +cos y2 =sin x cos y sin y cos x+ =sin(x+ y) (1)
Và P 8 tan2 x 9 tan y
Trang 6N u x y x 2 y cos x cos(2 y) sin y
2
+ > ⇒ ⇒
sin x sin y sin x cos y sin y cos x sin(x y) (1)
N u x y
2
π
+ < , ch ng minh t ng t ta c ng có: sin x sin y2 + 2 >sin(x+ y) nên (1) không đúng.
Do v y (1) x y
2
π
x 9(1 tan )
x
2
−
π
.
t t tanx t ( ) 0;1
2
1 t
−
Xét hàm s f (t) v i t∈ ( ) 0;1 ta có:
( )
( )
( )
18
f '(t) 16t
Suy ra f '(t) 0 t 1
2
= ⇔ = L p b ng bi n thiên ta có f (t) f 1 5 P 5
2
≥ = ⇒ ≥
ng th c x y ra khi
2
2
x
1 tan
x
2
−
+
. V y min P= 5
Ng i g i: Nguy n T t Thu – GV Tr ng THPT Chuyên L ng Th Vinh – ng Nai
Email: nguyentatthudn@gmail.com
T: 0942444556.
