SỞ GD&ĐT HOÀ BèNHĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT.. Giải phương trỡnh.. Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc giữa mặt phẳng SBC và ABC bằng 600.. Tam giỏc ABC và SB
Trang 1SỞ GD&ĐT HOÀ BèNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
Mụn: TOÁN
Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/12/2009 Cõu 1 (5 điểm).
1 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 3 2 với
f x x x x x 0; 4
2 Cho hàm số 2 2 3 2 Tỡm m để đồ thị hàm số cú cỏc điểm cực đại,
1
y
x
điểm cực tiểu và gốc toạ độ O lập thành tam giỏc vuụng tại O.
Cõu 2 (6 điểm).
1 Giải phương trỡnh. 2
9 20 2 3 10
2 Giải phương trỡnh 4 sin( ) cos 3 1
6
3 Giải hệ phương trỡnh 2 2
Cõu 3 (4 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tam giỏc ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a
1. Tớnh độ dài SA theo a
2. Tớnh khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC)
Cõu 4 (2 điểm)
Tỡm tõm của đường trũn đi qua hai điểm A 2;5 và B 4;1 và tiếp xỳc với đường thẳng
: 3 x y 9 0
Cõu 5 (4 điểm).
1 Giải phương trỡnh: An3 8 Cn2 C1n 49
2,Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 7 chữ số khỏc nhau dạng a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 sao cho
Cõu 6 (1điểm ) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
m 2 2 2 2 1 2 0 x x x x có nghiệm x 0;1 3
-Hết -Họ và tờn thớ sinh:
Số bỏo danh: Phũng thi:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
1
1
'
f x 3 x2 6 x 9
,
0
3
x
f x
x
f 0 1; f 3 26; f 4 19 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0; 4 là f 0 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 0; 4 là f 3 26
1
1
2
Tập xác định :D R \ 1 ,
2 2
' 1
1
m y
x
Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là phương trình 2 2
( x 1) m 1
có hai nghiệm khác 1m0
Khi đó phương trình 1 1
1
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 1 m ; 4 2 m ;B 1 m ; 4 2 m
OAB
5
1
1
2 1 Đặt t 3 x 10, điều kiện t0
khi đó thay vào phương trình ta được
2 10 3
t
7 18 10 0
t t t
Với t=1 ta có 3 x 10 1, Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = -3
1
1
2 Viết lại pt:
3 sin 2
x
4
5 12
k Z
1
1 3
1 x y x 2 y 1 0
2 1
x y
Trang 3A
C
B
K
Với x y thay vào phương trình (2) ta được 2
5 x 3 x 1 0
3 29 10
3 29 10
x
x
Với x = 2y-1 thay vào phương trình (2) ta được: 2
7
0
y
y
Kết luận hệ có 4 nghiệm là:
1
3 1 Giả sử đường tròn (C) cần tìm có tâm I a b ;
Từ giả thiết : IA IB a 2b3(1)
Do (C) tiếp xúc với ta có : d I , =IA
10
a b
Thế ( 1) vào (2) ta được 2 2
12 20 0
10
b
b
Với b 2 a 1 I 1; 2
Với b 10 a 17 I 17;10 , KL :
1
1
2 a, Gọi là trung điểm của K BC
Chỉ ra được góc AKS 600,
3 2
a
AK
Chứng minh được AKS đều nên 3
2
a
SA
b,
2
16
SAK
a
3
SABC SAK
a
V BK S
, Vậy
2
39 16
SAC
a
S 3 3
,
13
SABC SAC
d B SAC
S
1
1
1
4
Giải phương trình : 3 2 1 (1), Điều kiện
n n n
A C C
3
n n
Z
(1) 3 2 , Kết luận
n n n n n7
2 1
Trang 42 Xét các trường hợp sau;
TH : Chọn 7 chữ số bất kỳ không có chữ số 0 có 1 C97cách
Sau đó xếp 7 chữ số đó vào 7 vị trí a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7
Ví trí a4 có một cách xếp vì lớn nhất a4
Có 3cách xếp 3 vị trí
6
Còn 1 cách xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí a a a5 6 7
Vậy có 7 3 số thoả mãn yêu cầu bài toán TH
9. 6
TH : 2 Chọn 7 chữ số bất kỳ phải có chữ số 0 có C96cách
Tương tự TH : Có 1 6 3số thoả mãn yêu cầu bài toán
9. 5
C C
Vậy có 7 3 6 3 (số)
9 6 9 5 1560
C C C C
1
1
6 Tập xác định : D R
Đặt t x2 2 x 2 , Do x 0;1 3 t 1; 2
Khi đó thế vào phương trình ban đầu ta được :
với (*)
2 2 1
t m
t
t 1; 2 Xét hàm số 2 2 trên có
1
t
f t
t
1; 2 2 2 22
'
( 1)
f t
t
Hàm số luôn đồng biến trên 1; 2 , 1 2
Từ đó phương trình (*) có nghiệm khi 1 2 ;
2 3
m
1
Câu 4 ý 2:
Xét các trường hợp sau;
TH : Chọn 7 chữ số bất kỳ không có chữ số 0 có 1 C97cách
Sau đó xếp 7 chữ số đó vào 7 vị trí a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7
Ví trí a4 có một cách xếp vì lớn nhất a4
Có 3cách xếp 3 vị trí
6
Còn 1 cách xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí a a a5 6 7
Vậy có 7 3 số thoả mãn yêu cầu bài toán TH
9. 6
TH : 2 Chọn 7 chữ số bất kỳ phải có chữ số 0 có C96cách
Tương tự TH : Có 1 6 3số thoả mãn yêu cầu bài toán
9. 5
C C
Vậy có 7 3 6 3 (số)
9 6 9 5 1560
C C C C