Tìm để cắt tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của tại vuông góc với nhau.. Ta có Hệ số góc của tiếp tuyến của Ctại là Hệ số góc của tiếp tuyến của Ctại là 0,25 Tiếp tuyến của C tại
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
(gồm 07 trang )
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
CẤP THPT NĂM HỌC 2016 – 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN
Ngày thi: 12/10/2016
a (1,0 điểm)Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng
có phương trình Tìm để cắt tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của tại vuông
góc với nhau.
Xét phương trình hoành độ giao điểm :
0,25
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình có 2 nghiệm
Gọi là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*)
Ta có
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C)tại là
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C)tại là
0,25
Tiếp tuyến của (C) tại N,P vuông góc với nhau
So sánh với điều kiện suy ra
0,25
Bài1
(2,0 điểm)
b) (1,0 điểm)Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng
Chứng minh rằng cắt tại hai điểm phân biệt với mọi số thực Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp
tuyến của tại và Tìm để đạt giá trị
3
3 1
( 1;3), ,
3
2
2
1
x
1
x
9 4 0
m m
,
N P
x x x x m
1 3 N 3
2 3 P 3
2
1 2
3 2 2 3
3 2 2 3
m
m
3 2 2 3
2
3 2
x
x
ĐỀ DỰ BỊ
Trang 2nhỏ nhất.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:
0,25
Xét phương trình (*), ta có: và x = -2 không là nghiệm
của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m 0,25
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là
, trong đó là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy
(k1>0, k2>0)
0,25
được khi
Do phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - 2
x1 + x2 = - 4 m = - 2
Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm
0,25
a) ( 1,0 điểm) Tìm nghiệm của phương trình
Đk:
0,25
0,25
b) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 2
(2,0 điểm)
m x x
x
2 2
3 2
(*) 0 2 3 ) 6 ( 2
2 2
m x
m x
x
R
0 ,
,
1 2
2
1
2 1 2 1 2 2 2 1 2
x x x x x
x k k
2016 2016 2016 2017
minP 2
2 2 2 1 2
2 2 1 2
) 2 (
1 )
2 (
1
x x
k k
1 , 2
x x
0;
2 sin (3 4 s in x) tan tan 2
( 3 sin 2 2) cos
x
;
x k x k
cos cos 2 3 sin 2 2 cos
(tm)
3 sin 2 cos 2 2
6
x
0;
2
, ,
x y
0 0
y
Trang 3Nhận xét không là nghiệm của hệ
Khi đó
0,25
Thay y = x vào PT (2) ta được:
Xét
nên là hàm đồng biến trên R
0,25
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại
, cạnh góc Tính thể tích khối tứ diện
và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo Biết cách đều ba đỉnh và góc giữa hai mặt phẳng
Gọi M,H lần lượt là trung điểm cạnh AB,AC
Do A’ cách đều ba đỉnh của tam giác vuông ABC suy ra
; MH là đường trung bình tam giác ABC
0,25
Suy ra góc là góc giữa và , theo bài
Xét tam giác ABC vuông tại B có ;
0,25
Xét tam giác vuông tại H, có
0,25
Bài 3
(2,0 điểm)
0,25
0 0
x y
2 1
2
3
3
3
f t t t
2
f t t t
f t
x y; 1;1 ' ' '
30
'
'
( ' )
A MH
0 tan 30 2
'
A MH A H' MH tan·HMA'3a
3 ' ' '
ABC A B C ABC
3 ' ' ' '
1
2 3 3
ABCC ABC A B C
Trang 4Ta có 0,25
A
A'
C
C'
B
B'
H
M
0,25
Áp dụng công thức Hê – rông cho tam giác BB’C ta được
0,25
0,25
Đề thi THPT Quốc gia môn toán có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi
câu được 0,2 điểm Một thí sinh đã làm xong 40 câu, trong đó đúng 32
câu Ở 10 câu còn lại anh ta chọn ngẫu nhiên một trong bốn phương án
Tính xác suất để thí sinh đó đạt 8 điểm trở lên.
Thí sinh đã làm đúng 32 câu trong 40 câu được 6,4 điểm
Để thí sinh này đạt được điểm 8 trở nên thì phải chọn được 8 câu đúng
trở lên trong 10 câu còn lại
Nghĩa là thí sinh này chỉ chọn 0 câu hoặc 1 câu hoặc 2 câu sai trong 10
câu còn lại
Mỗi câu có 4 phương án cho nên có 410 cách chọn
0,25
Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai cho mỗi câu
Chọn sai 0 câu trong 10 câu còn lại có 30.C0
10 cách Chọn sai 1 câu trong 10 câu còn lại có 31.C1
10 cách Chọn sai 2 câu trong 10 câu còn lại có 32.C2
10 cách
0,25
Do đó số cách chọn đáp án để sao cho thí sinh đạt 8 điểm trở lên là
30.C0
10+31.C1
10+32.C2
Bài 4
(1,0 điểm)
Vậy xác suất để thí sinh đạt 8 điểm trở lên là P=
0,25
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân tại , là
trung điểm của và có tung độ dương.Điểm là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác , điểm là trọng tâm tam
giác Điểm nằm trên đường thẳng , điểm
nằm trên đường thẳng Tìm toạ độ các đỉnh
Bài 5
(1,0 điểm)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, F là trung điểm của AD
' '
3
AA '/ /( ' ' ) ( ', ' ') ( , ( ' )) B ABC
BB C
V
S
4 ; ' AA ' 13; ' 13
2
BB C
3 '
1
3
3
( ', ' ')
5 30
d AA B C
a
;
3 3
;
3 3
Trang 5EG // AD
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, D là trung điểm của AB
ID AB hay ID EG (*) Gọi K là trung điểm của của AC DK // BC
ABC cân tại A IG BC hay IG DK (**)
Từ (*) và (**) I là trực tâm DEG IE CD
0,25
Đường thẳng CD đi qua M và nhận là vtpt
Phương trình đường thẳng CD: x – 3 = 0 D(3; d) (d > 0)
Do ID ND
Do d > 0 D(3; 3)
0,25
Đường thẳng AB đi qua D, N có phương trình: x – 2y + 3 = 0
Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với DE có phương trình:
x –y– 2 = 0
A= AB AH A(7; 5)
0,25
D là trung điểm của AB B(-1; 1)
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH có phương trình:
x+ y = 0
C= CD BC C(3; -3)
KL : A(7; 5); B(-1; 1); C(3; -3)
0,25
Cho dãy số xác định bởi
Chứng minh rằng nếu thì dãy số có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Nếu Ta chứng minh:
Hiển nhiên
Giả sử
0,25
Nếu Ta chứng minh
Ta có
Giả sử Ta chứng minh
0,25
Bài 6
(1,0
điểm)
Ta chứng minh (an) là dãy giảm:
CG CE 2
CD CF 3
3; 1 IE 2;0
3
uur
ID.ND 0uur uuur 2
d = 3 5
d - d - 4 = 0 4
-3
a n
1
*
,
n
n
a
¥
2
2 ,
n
a ¥n
1 2
a
2.2 2.2 2
3.2 4.2 1
lima n lim 22
2
n
a ¥n
1 2
2
k
k k
k
a a
a
G E F
A
H I
Trang 6Xét 0,25
(a n) giảm và bị chặn dưới (an) có giới hạn là L
0,25
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất
Ta có:
Khi đó ta có:
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Do đó,
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0.25
Bài 7
(1,0 điểm)
Xét hàm số
Ta có:
Bảng biến thiên:
c 1 4 + f’(c) - 0 +
f(c)
4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (2)
0,25
*
0,
n
n
lima n 2
x y z
2 8
P
2
x z
P
1
1
abc
c
2
P
1
a b
P
ab
2 16 ( ) trên 1;
c
f c
c
2
f c
1;
min ( )f c f(4) 4
2
c
Trang 7Chú ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định
-Hết -Suy ra
Từ (1), (2) và điều kiện , suy ra dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
hay Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 khi
0,25
4
P
1
abc 1
, 4 2
