Chuyên đề Số Phức Bồi dưỡng kiến thức và Luyện Thi THPT Quốc Gia22745

Ỏhuyên Đ S ớh c

Ỏhuyên Đ S ớh c ọ i d ng ki n th c và Luy n Thi TồớT Ờu c Ồia

Ộ Ỏ L Ỏ

CH Đ 3 TÌM T P H ớ ĐI M 3

I M T S VÍ D RÈN LUY ộ Kơ ộĂộỒ 3

II CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUAN 10

Ỏhuyên Đ S ớh c

ớh ng pháp

 Gi s các đi m M, A ,B l n l t bi u di n các s ph c z, a, b

o z a   z b MA MB Mthu c đ ng trung tr c c a đo n AB

o z a   z b k, k R,k 0,k    a bMA MB k 

M

 thu c elip (E) nh n A, B là hai tiêu đi m và có đ dài tr c l n b ng k

 Gi s M và M l n l t bi u di n các s ph c z và w f z   

Đ t z x iy  và w u iv  x,y,u,v R  

H th c w f z  t ng đ ng v i hai h th c liên h gi a x,y,u,v

o N u bi t m t h th c gi a x y ta tìm đ c m t h th c gi a u,v và suy ra đ c t p

h p các đi m M

o N u bi t m t h th c gi a u v ta tìm đ c m t h th c gi a x y và suy ra đ c t p

h p các đi m M

I Ộ T S ỡÍ D ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ

Ví d 1 Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: Đ ng th ng }

a) z i   z i ; b) z 1 3i 1;

z 1 i

  

  c) z z z z 1 00  0   v i z0   1 i

Gi i a) Cách 1 Đ t a  và b i.i 

G i A 0; 1  và  B 0;1 l n l t bi u di n các s ph c a và b, suy ra

z i   z a MAvà z i   z b MB

Ta có z i   z i MA MB Mthu c đ ng trung tr c c a AB đó chính là tr c Ox

V y t p h p các đi m M là tr c Ox

Cách 2 Đ t z x yi, x,y    

Lúc đó

z i z i x yi i x yi i x y 1 i x y 1 i

4y 0 y 0

V y t p h p các đi m M là tr c Ox

b) Cách 1 Ta có:

 

z 1 3i

1 z 1 3i z 1 i , 1

z 1 i

        

 

Đ t a   bi u di n b1 3i i các đi m A(-1;3) và b 1 i  đ c bi u di n b i đi m B(1;-1) Ta có (1)

Ỏhuyên Đ S ớh c ọ i d ng ki n th c và Luy n Thi TồớT Ờu c Ồia

V y t p h p các đi m M là đ ng trung tr c đo n AB

Cách 2 Đ tz x yi, x,y     Lúc đó

z 1 3i

1 z 1 3i z 1 i x yi 1 3i x yi 1 i

z 1 i

x 2x 1 y 6y 9 x 2x 1 y 2y 1

2x 6y 10 2x 2y 2 4x 8y 8 0 x 2y 2 0

 

 

V y t p đi m M là đ ng th ng x 2y 2 0  

L i bình: trên ta đã s d ng công th c 1 1

2 2

z z

z  z Ph ng trình đ ng th ng x 2y 2 0   chính là ph ng trình đ ng trung tr c c a đo n th ng AB

c) V i z0  1 i,đ t z x iy, x,y R ,     ta có:

z z 1 i x iy   x y y x i; z z x y   y x i.

Nh v y z z z z 1 00  0   2 x y    1 0 2x 2y 1 0.  

T p h p các đi m M là đ ng th ng có ph ng trình 2x 2y 1 0.  

Ví d 2 Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau Đ ng tròn }

a) z 3 4i  ; 2 b) z i  1 i z

c) z22iz 2i z 0 3  ; d) 2iz 1  5

Gi i

a Đ t z x yi, x,y     Lúc đó

z 3 4i 2 x yi 3 4i 2 x 3 y 4 i 2

V y t p h p đi m bi u di n s ph c th a đ bài là đ ng tròn tâm I 3; 4  bán kính R 2. 

b Đ t z x yi, x,y     Lúc đó

z i 1 i z x yi i 1 i x yi x y 1 i x y x y i

V y t p h p đi m bi u di n s ph c th a đ bài là đ ng tròn tâm I 0; 1  bán kính R  2.

z 2iz 2i z 0   z 2iz 2iz 0   z 2i z z 0 1

Gi s z x yi  thay vào ta đ c:

x y 2i x iy x iy    0 x y 4y 0 x  y 2  4

Ỏhuyên Đ S ớh c

V y t p h p các đi m M x; y bi u di n s ph  c z là đ ng tròn tâm I 0; 2 , bán kính R 2   d) Gi s z x yi, (x,y   )

Suy ra:

2

2iz 1 5 2i x yi 1 5 2y 1 2xi 5

         

V y t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c đã cho là m t đ ng tròn có tâm I 0; 1

2

  

  và bán kính

5 R 2



Ví d 3. Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: {Elip}:

   

z 1 z 1 4

Gi i

Đ t a 1 và b  , l1 n l t bi u di n b i các đi m A(1;0) và B(-1;0)

Ta có z 1         z 1 4 z a z b 4 MA MB 4. 

V y t p h p các đi m M là elip (E) nh n A, B là hai tiêu đi m có đ dài tr c l n là 4

Ví d 4 Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: { o th c}

a) 2z 1

z 1



 là s o; b) z 1  

, z 2i

z 2i

 là s th c

Gi i

a) Đ t z x iy  x,y R   V i z 1, ta có:

2

2 2

2x 1 x 1 2y i 2y x 1 y 2x 1 2x 1 2yi x 1 iy

2x 2yi 1

2z 1

2z 1

z 1



 là s o  ph n th c c a

2z 1

z 1



 b tri t tiêu

2

          

V y t p h p các đi m M là đ ng tròn (C ), tâm 1I ; 0

4

 bàn kính

3

4

 b đi đi m A(1;0)

b) Đ t z x iy  x,y R   V i z 2i, ta có:

x 1 iy x y 1 i x x 1 y y 2 i xy x 1 y 2

x 1 iy

z 1

 

z 1

z 2i



 là s th c  ph n o b tri t tiêu

Ỏhuyên Đ S ớh c ọ i d ng ki n th c và Luy n Thi TồớT Ờu c Ồia

xy x 1 y 2 0 xy xy 2x y 2 0

2x y 2 0 y 2x 2

V y t p h p các đi m M là đ ng th ng có ph ng trình y 2x 2  , b đi đi m A(0;2) vì z 2i.

Ví d 5 Tìm t p h p các đi m bi u di n c a s ph c z'2z 3 i  , v i 3z i 2 z.z 9

Đ nh h ng: Đ t z a bi' a, b,x, y 

z x yi

  



 

x 3 a

z 2z 3 i x yi 2a 3 2b 1 i

y 1

y 2b 1

b 2









Bài toán yêu c u tìm đi m bi u di nz nên cái sau cùng ta c' n đ a v m t bi u th c liên h x,y

Tr c h t , t bi u th 2

3z i z.z 9 ta bi n đ i v b t đ ng th c theo a b Ởau đó th





x 3  y 1

2 2 ta đ c bi u th c ch a x,y

Gi i

Đ t z a bi' a, b,x, y 

z x yi

  



 



x 3 a

z 2z 3 i x yi 2a 3 2b 1 i

y 1

y 2b 1

b 2

  







Theo đ , ta có:

2

V y qu tích bi u di n s ph c z là hình tròn có tâm ' I 3; 7

4

  

  và bán kính

73 R 4



Ví d 6 Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho s ph c z th a mãn z 1 2  Tìm t p h p

bi u di n s ph c w 2z i 

Gi i

G i w x yi  , v i x,y Ta có: w 2z i z w i z x y 1i z 1 x 2 y 1i

V y t p h p các đi m bi u di n s ph c w là đ ng tròn tâm I 2; 1  bán kính R 4 

Bình lu n: H u h t các bài toán s ph c đ u làm theo cách t nhiên nh l i gi i trên ( g i

w x yi  ởuy nhiên các em c)ng có th tham kh o them cách sau:

Ỏhuyên Đ S ớh c

w 2z i  w i 2 2 z 1     w 2 i 2 z 1   t p h4 p các đi m w là đ ng tròn có tâm 2; 1 , bán kính 4 trong m t ph ng ph c 

Ví d 7 Hãy xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn:

1   z i 2 Hình vành khăn

Gi i

Gi s s ph c z có d ng: z x yi  v i x,y

z i  x y 1 i  x  y 1

1     z i 2 1 z i   4 1 x  y 1  4

G i    C , C1 2 là hai đ ng tròn tâm I 0;1 và có bán kính l  n l t là R11, R2  V y t p h p 4 các đi m c n tìm là ph n n m gi a hai đ ng tròn    C , C1 2

Ví d 8. Tìm t p h p đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n

2 z i   z z 2i

Gi i

G i M x; y  là đi m bi u di n s ph c z x yi 

Khi đó 2 z i   z z 2i 2 xy 1 i   2 y 1 i  

4

V y t p h p đi m M là parabol   x2

P : y

4



Ví d 9. Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c z th a mãn z 3z 2 i 3 z 

Gi i

Đ t z x yi x,y     ta đ c:

2 2

z 3z 2 i 3 z x yi 3x 3yi 2 x y i 3x 3y

x 0

y 0

x 0

 





V y t p h p đi m bi u di n s ph c z c n tìm là ph n đ ng th ng y  3x v i x 0

Ví d 10 Xác đ nh t p h p các đi m bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n:

a) 



z i

z i là s th c d ng v i z i ; b) z2  z 2

c) z22z 5   ; d) 1

3

z 2 2

4 z 2 1

 



Gi i

Ỏhuyên Đ S ớh c ọ i d ng ki n th c và Luy n Thi TồớT Ờu c Ồia

a Đ t z x yi, x,y    

2 2

2 2

x y 1 i x y 1 2xi

z i

z i x y 1 i x y 1

z i

z i



 là s th c d ng khi và ch khi

2 2

2

2

2x 0

x 0

y 1

 



V y t p h p các đi m ph i tìm là hai tia Ay và A y trên tr c

tung tr hai đi m A 0;1 và   A' 0; 1  

b Đ t z x yi, x,y    

Ta có:

x 0 4xyi 0 xy 0

y 0

 



V y t p h p các đi m c n tìm là các tr c t a đ

c Đ t z x yi, x,y     Khi đó

z 2z 5  x yi 2 x yi  5 x y 2x 5 2y x 1 i  

Đ z22z 5   thì   2

2 2

2

y 0

x y 2x 5 0

y 4

 



       





V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z th a đ bài là x 1

2 y 2

  

  

d Đ t z x yi, x,y    

Ta có:

1

3

2 2

3

4 z 2 1 4 z 2 1

V y t p h p c các đi m th a mãn bài toán n m ngoài hình tròn tâm I 2; 0 , bán kính R 7.

Ví d 11 G i M và M' là các đi m l n l t bi u di n các s ph c z và z 1  

, z 0 z

z x iy  và z' x' iy', x,y,x',y' R    

a) Tính x y theo x, y và tính x,y theo x y

x y

y

O -1

1

A' A

Ỏhuyên Đ S ớh c

b Cho M di đ ng trên đ ng tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R 2.Tìm t p h p các đi m M

c Cho M di đ ng trên đ ng th ng d : y x 1  , tìm t p h p các đi m M

Gi i

a) Ta có:

2 2

2 2

x x'

x iy

y







ở ng t , ta có:

2 2

2 2

x' x

x' y' x' iy'

y'

x' y'

 







b Đ ng tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R 2có ph ng trình

(C ):   2 2 2 2

x 1  y 1  2 x y 2x 2y 0. 

Đi m M C  t a đ M x; y th  a mãn ph ng trình

2 2

x y 2x 2y 0  2 2

2 2

0

2 2

x y  do z 00  )

2y 2x

1

  2x' 2y' 1 0   (vì

2 2

x x'

x y 

y y'

x y 

 theo k t qu c a câu a)) Suy ra t a đ c a đi m M x y th a mãn ph ng trình 2x' 2y' 1 0.  

V y t p h p các đi m M là đ ng th ng có ph ng trình 2x 2y 1 0.  

c Đi m M di đ ng trên đ ng th ng d: y x 1  nên t a đ c a M(x;y) th a mãn y x 1 

1 x' y' x' y'

  (vì theo câu a ta có 2 2

y' y

x' y'



 và

2 2

x'

x

x' y'



2 2 2 2

y' x' x' y' x' y' x' y' 0

Suy ra t a đ c a M x y th  a mãn ph ng trình x'2y'2 x' y' 0.

V y t p h p các đi m M là đ ng tròn C có ph ng trình x2y2   x y 0

Ví d 12. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z x yi   th a mãn đi u ki n

2

y x 1

y 2x

  







ồ ng d n gi i

a) V đ ng th ng d : y -x 1 và Parabol: y 2x  2

Ta có: y x 12 x y 1 02

      

Ỏhuyên Đ S ớh c ọ i d ng ki n th c và Luy n Thi TồớT Ờu c Ồia

V y t p h p đi m M là ph n gi i h n b i đ ng th ng d và (P)

b) 1 x 2y2  V y t p h4 p đi m là hình vành khăn gi i h n b i hai đ ng tròn đ ng tâm O bán kính 1 và 2, không l y đ ng bên trong

Chú ý: V i câu c, gi s đ bài thêm yêu c u: t p h p các đi m bi u di n s ph c z th a

 

1 z 2 và ph n th c không âm thì

2 2

ycbt

x 0

   

 





V y t p h p đi m là hình vành khăn gi i h n b i hai đ ng tròn đ ng tâm O bán kính 1 và 2, ch

l y ph n bên ph i tr c tung và không l y bên trong

II ỎỨU ồ I ỡủ ọủI T ớ Tờ Ỏ ộỒồI Ộ KồỦỎồ ỜUỌộ

Câu 1. Gi s M z là đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n s ph c z T p h p nh ng đi m M(z)

th a mãn đi u 2 z i z   là

A.Đ ng th ng 4x 2y 3 0   B.Đ ng th ng 4x 2y 3 0  

A.Đ ng th ng x 2y 3 0   D.Đ ng th ng x 9y 3 0  

ồ ng d n gi i

Cách 1 Đ t z x yi; x,y    .là s ph c đã cho và M x; y là đi m bi u di n c a z trong m t

ph ng ph c

z 2   i z x 2 yi  x y 1 i  x 2 y  x  y 1

4x 2y 3 0

    V y t p h p đi m M c n tìm là đ ng th ng 4x 2y 3 0  

V y ch n đáp án Ọ

Cách 2 z 2     i z z  2  i z * 

Đ t z x yi; x,y    .là s ph c đã cho và M x; y là đi m bi u di n c a z trong m t ph ng

ph c, Đi m A bi u di n s -2 t c A2;0và đi m B bi u di n s ph c i t c B 0;1 

Khi đó  * MA MB V y t p h p đi m M c n tìm là đ ng trung t c c a AB: 4x 2y 3 0  

Câu 2. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

z 2i    là z 1 i

A.Đ ng th ng x y 3 0   B.Đ ng th ng x 2y 3 0  

A.Đ ng th ng x 2y 3 0   D.Đ ng th ng x y 1 0  

ồ ng d n gi i

Gi s z x yi (x,y   ) đi m M x; y bi u di n z Theo bài ra ta có:  

4y 4 2x 2y 2 x y 1 0

Suy ra M thu c đ ng th ng có ph ng trình x y 1 0  

Ỏhuyên Đ S ớh c

V y t p h p đi m bi u di n các s ph c z là đ ng th ng có ph ng trình x y 1 0  

V y ch n đáp án D

Câu 3. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

5 1 i z 3 2i    1 7i z i  là

ồ ng d n gi i

Nh n th y 5 1 i 5 2 1 7i

Ta có 5 1 i z 3 2i     1 7i z i  

5 1 i z 1 7i z





V y t p h p M là đ ng trung tr c AB, v i A 1 1; , B 7 ; 1

10 2 50 50

V y ch n đáp án Ọ

Câu 4. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

z z 3   là 4

A.Hai đu ng th ng x 1

2

 , x 7

2

  B.Hai đu ng th ng x 1

2

  , x 7

2

 

A.Hai đu ng th ng x 1

2

 , x 7

2

2

  , x 7

2



ồ ng d n gi i

Đ t z x yi, x,y    

Lúc đó

2

2

z z 3 4 x yi x yi 3 4 2x 3 4 4x 12x 9 16

1 x 2 4x 12x 7 0

7 x 2







  



V y t p h p đi m M là hai đ ng th ng x= ; x1 7

2   song song v i tr c tung 2

V y ch n đáp án Ọ

Câu 5. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

z z 1 i    là 2

A.Hai đu ng th ng y 1 3; y 1 3

Ỏhuyên Đ S ớh c ọ i d ng ki n th c và Luy n Thi TồớT Ờu c Ồia

A.Hai đu ng th ng y 1 5; y 1 3

ồ ng d n gi i

Đ t z x yi, x,y    

Lúc đó

2

z z 1 i 2 x yi x yi 1 i 2 1 2y 1 i 2

y 2 2y 2y 1 0

y 2













V y t p h p đi m M là hai đ ng th ng y 1 3; y 1 3

  song song v i tr c hoành

V y ch n đáp án ọ

Câu 6. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

2 z 1    là z z 2

A.Hai đu ng th ng x 0 , y 0 B.Hai đu ng th ng x 0 , y  2

C.Hai đu ng th ng x 0 , x  2 D.Hai đu ng th ng x 2 , y  2

ồ ng d n gi i

G i M x; y  là đi m bi u di n s ph c z x yi  , x,y   th a 2 z 1    z z 2

2 x yi 1 x yi x yi 2 2 x 1 yi 2 2yi

x 0

 



V y t p h p các đi m M c n tìm là hai đ ng th ng x 0 , x  2

V y ch n đáp án Ỏ

Câu 7. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

z 1 i   là 2

A.Đu ng th ng x y 2 0   B.Đ ng tròn   2 2

x 1  y 1 4

C.Đ ng th ng x y 2 0   D.Đ ng tròn tâm I 1; 1  và bán kính R 2. 

ồ ng d n gi i

Xét h th c: z 1 i  2 Đ t z x yi, x,y    

(1) x 1  y 1  2 x 1  y 1  4

V y, t p h p nh ng đi m M(z) th a mãn h th c là đ ng tròn tâm I 1; 1  và bán kính R 2. 

V y ch n đáp án D

Ỏhuyên Đ S ớh c

Câu 8. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n z

3

z 1 

 là

A.Đu ng tròn 2 2 18 9

C.Đ ng tròn 2 2 18 9

8

  và bán kính

1

8



ồ ng d n gi i

Đ t z x yi, x,y     Ta có

2 2



V y, t p h p nh ng đi m M(z) th a mãn h th c là đ ng tròn tâm I 0;9

8

  và bán kính

3

8



V y ch n đáp án ọ

Câu 8. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

z 3 2i   2z 1 2i  là

A.Đu ng tròn 2 2 2 4 8

C.Đ ng tròn 2 2 2 4 8

ồ ng d n gi i

Đ t z x yi; x,y    .

Ta có: z 3 2i   2z 1 2i 

2 2

3x 3y 2x 4y 8 0

Suy ra: T p h p các đi m bi u di n z là ph ng trình đ ng tròn (C): 2 2 2 4 8

V y ch n đáp án Ỏ

Câu 9. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki n

 

z i  1 i z là

A.Đu ng tròn 2  2

x  y 1  2 B.Đ ng tròn 2  2

x  y 1 2

C.Đ ng tròn   2 2

x 1  y 1 2 D.   2 2

x 1  y 1  2

ồ ng d n gi i

G i M x; y là đi m bi u di n c a s ph c  z x yi; x,y    

z i  x  y 1  1 i z  1 i x yi   x y  x y

z i  1 i z x  y 1  x y  x y x  y 1  2