Chuyên đề Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số22649

Tìm bán kính ñáy và ñưSng cao c>a hình tr sao cho ít t n kim lo i nh1t Gi,i : GAi là bán kính ñáy.. Tìm hai c nh còn l i c>a tam giác sao cho tam giác có diVn tích l0n nh1t.. GAi là diV

GIÁ TR L N NH T VÀ NH NH T C A HÀM S

TÓM T T LÝ THUY T

• Hàm s ( ) xác ñ"nh và có liên t(c trên ño n   thì ( ) xác ñ"nh trên kho,ng ( )

• Hàm s ( ) xác ñ"nh và có liên t(c trên n-a ño n  ) (  thì ( ) xác ñ"nh trên kho,ng ( )

• Hàm s có th không ñ t giá tr" l0n nh1t ho2c nh3 nh1t trên m4t t5p h6p s th7c cho trư0c

∈





∈





Ví d( 1: Tìm giá tr" l0n nh1t và nh3 nh1t c>a các hàm s :

Gi,i :

Hàm s ñã cho xác ñ"nh trên ℝ

Ta có

V0i mAi ∈ℝ , ta có

( )

( )

( )

( ) ( )

π



Hàm s ñã cho xác ñ"nh trên ño n − 

( ) = ⇔  −( − =) ⇔  −( =) ⇔  < < ⇔  < < ⇔ =

B,ng biEn thiên c>a ( ) trên ño n − 

−

TF b,ng biEn thiên , ta ñư6c ∈ −  ( ) ∈ −  ( )

Ví d( 2: Tìm giá tr" l0n nh1t và nh3 nh1t c>a các hàm s :

π

−

Gi,i :

Hàm s ñã cho xác ñ"nh trên ℝ

Xét hàm s ( ) = − + ∈  ( ) = − ∈( ) ( ) = ⇔ =

( ) ( )= =    =

 

( )= ∈   ( ) = = ( )= ∈   ( ) =

π

−

Hàm s ñã cho xác ñ"nh trên ño n π

π

−

Ta có : ( )= − −π < <π ⇒ ( ) = ⇔ = −π π π

( )

Ví d( 3:Cho parabol ( ) = và ñi.m (− ) Xác ñ"nh ñi.m thu4c ( )sao cho kho,ng cách

là ngLn nh1t ; tìm kho,ng cách ngLn nh1t ñó

Gi,i :

( ) = = ( + ) +( ) = + + +

( )ñNi d1u tF âm sang dương khi ñi qua = − Hàm s ( )ñ t c7c ti.u t i = −

( )− = ði.m ( ) ( )− ∈ là ñi.m ñ kho,ng cách = là ngLn nh1t

Ví d( 4: NgưSi ta ñ"nh làm m4t cái h4p kim lo i hình tr( có th tích cho trư0c Tìm bán kính ñáy

và ñưSng cao c>a hình tr( sao cho ít t n kim lo i nh1t

Gi,i :

GAi là bán kính ñáy ð h4p kim lo i hình tr( có th tích =π thì hiTu cao c>a h4p là

π

Lư6ng kim lo i ñ làm h4p bUng diVn tích toàn phWn c>a h4p : ( ) π π

π

π

( ) ñNi d1u tF âm sang dương nên hàm s ( ) ñ t ñi.m c7c ti.u t i

π

Ví d( 5 : Chu vi c>a m4t tam giác là ( ), ñ4 dài c>a m4t c nh tam giác là ( ) Tìm hai c nh còn l i c>a tam giác sao cho tam giác có diVn tích l0n nh1t

Gi,i :

GAi m4t c nh còn l i c>a tam giác là , c nh còn l i th[ hai là , ta có + + = ⇒ = − DiVn tích tam giác : (theo công th[c hêrông)

( ) = ( − )( − )( − ) = ( − )( − ) = − + − < <

( ) ñNi d1u tF dương sang âm nên hàm s ( ) ñ t ñi.m c7c ñ i t i = DiVn tích tam giác l0n nh1t khi m_i c nh còn l i dài ( ).Khi ñó diVn tích l0n nh1t : ( )=

Ví d( 6:M4t h4p không nLp ñư6c làm tF m4t m,nh cáctông H4p có ñáy là hình vu4ng c nh ( ), ñưSng cao là ( )và có th tích là GAi ( )là diVn tích c>a m,nh cáctông Tìm ( ) sao cho ( ) nh3 nh1t

Gi,i:

DiVn tích c>a m,nh cáctông dùng làm hình h4p là : ( )= + = + >

Bài toán trc thành tìm > sao cho t i ñó ( ) ñ t giá tr" nh3 nh1t

B,ng biEn thiên c>a ( ) trên kho,ng ( +∞ )

+∞

( )

V5y = ( ) thì min ( ) =

Ví d( 7: Cho m4t tam giác ñTu c nh NgưSi ta d7ng m4t hình che nh5t có c nh

nUm trên c nh , hai ñfnh và theo th[ t7 nUm trên hai c nh và c>a tam giác Xác ñ"nh v" trí ñi.m sao cho hình che nh5t có diVn tích l0n nh1t và tìm giá tr" l0n nh1t ñó

Gi,i :

Bài toán quy vT : Tìm giá tr" l0n nh1t c>a ( ) (= − ) ∈  

 

 

B,ng biEn thiên c>a ( ) trên kho,ng  

 

 

( )

V5y diVn tích hình che nh5t l0n nh1t là khi =

Ví d( 8: Khi nuôi cá thí nghiVm trong hh ,m4t nhà sinh hAc th1y rUng : NEu trên m_i ñơn v" diVn tích c>a m2t hh có con cá thì trung bình m_i con cá sau v( cân n2ng ( )= − ( ) H3i ph,i th,

Gi,i :

NEu trên m_i ñơn v" diVn tích c>a m2t hh có con cá thì sau m4t v( , s cá trên m_i ñơn v" diVn tích m2t hh trung bình cân n2ng : ( )= ( ) = ( − ) ∈

V5y ñ thu ñư6c nhiTu nh1t sau m4t v( thu ho ch cWn th, m_i ñơn v" diVn tích m2t hh là = con cá

Ví d( 8: Trong các hình che nh5t có chu vi là ( ), hãy các ñ"nh hình che nh5t có diVn tích l0n nh1t Gi,i :

GAi m4t c nh b1t kỳ c>a hình che nh5t có chiTu dài ( ) TNng chiTu dài hai c nh là ( ) ChiTu dài c nh kia là − ( ) DiVn tích hình che nh5t là : ( ) (= − ) ≤ ≤

DiVn tích hình che nh5t l0n nh1t khi = Trong các hình che nh5t chu vi ( ), hình vuông c nh ( )có diVn tích l0n nh1t bUng ( )

Ví d( 9: Cho m4t t1m nhôm hình vuông c nh NgưSi ta cLt c b n góc b n hình vuông bUng nhau , rhi g5p t1m nhôm l i ñ ñư6c m4t cái h4p không nLp Tính c nh c>a các hình vuông b" cLt sao cho th tích c>a kh i h4p là l0n nh1t

Gi,i :

< <

 là ñ4 dài c>a c nh c>a hình vuông b" cLt

Th tích c>a kh i h4p là = ( − ) < < ⇒ =( − )( − ) < <

< <

=



Ví d( 10:

Trong s các hình che nh5t có cùng chu vi , hãy tìm hình che nh5t có diVn tích l0n nh1t Trong s các hình che nh5t có cùng diVn tích , hãy tìm hình che nh5t có chu vi nh3 nh1t Gi,i :

GAi là ñ4 dài hai kích thư0c c>a hình che nh5t , ta có :

 >  < <

 + =  = −



DiVn tích hình che nh5t là = = ( − ) = − < < ⇒ < < = = =

GAi là ñ4 dài hai kích thư0c c>a hình che nh5t, ta có :

 >

 >

=

= + =  +  > ⇒ = =

1 Tìm giá tr" l0n nh1t và nh3 nh1t c>a các hàm s sau ñây :

( )= + − trên ño n − 

( )= + + − trên ño n − 

( ) = + trên kho,ng ( +∞ )

( ) = − + + trên ño n  

+ trên ño n   ( ) = − trên n-a kho,ng ( 

2 Tìm giá tr" l0n nh1t và nh3 nh1t c>a các hàm s sau ñây :

( )= + − + trên ño n − 

( )= + − trên ño n − 

( ) = − + trên ño n − 

( )= − + trên ño n  

−

 

 

( ) =

+ trên n-a kho,ng (−  ( ) = + +

− trên kho,ng ( +∞ ) ( )= − trên ño n −  ( ) = − trên ño n  π π

−

3 Tìm giá tr" l0n nh1t và nh3 nh1t c>a các hàm s sau ñây :

5 ð4 gi,m huyEt áp c>a m4t bVnh nhân ñư6c cho bci công th[c ( ) = ( − ) trong ñó ( ) là liTu lư6ng thu c ñư6c tiêm cho bVnh nhân Tính liTu lư6ng thu c cWn tiêm cho bVnh nhân

ñ huyEt áp gi,m nhiTu nh1t và tính ñ4 gi,m ñó

Hư0ng dmn

( )= ⇔ = = ( ) < Lư6ng thu c cWn tiêm ñ gi,m huyEt áp nhiTu nh1t là ( ) ð4 gi,m huyEt áp là ( ) =

6 M4t con cá hhi bơi ngư6c dòng ñ vư6t m4t kho,ng cách là V5n t c nư0c là NEu v5n t c bơi c>a cá khi nư0c ñ[ng yên là ( )thì năng lư6ng tiêu hao c>a cá trong giS ñư6c cho bci công th[c ( ) = trong ñó là m4t hUng s , ( ) Tìm v5n t c bơi c>a cá khi nư0c ñ[ng yên ñ năng lư6ng tiêu hao là ít nh1t

Hư0ng dmn :

V5n t c cá khi dòng nư0c ñ[ng yên là ( ), thì v5n t c c>a cá khi ngư6c dòng nư0c là

−

ThSi gian c>a cá bơi ngư6c dòng v0i kho,ng cách = là =

−

Năng lư6ng tiêu hao c>a cá

−

7 Sau khi phát hiVn m4t bVnh d"ch, các chuyên gia y tE ư0c tính s ngưSi nhi m bVnh k tF ngày phát hiVn bVnh nhân ñWu tiên ñEn ngày th[ là ( ) = − ∈   NEu coi ( )là hàm s xác ñ"nh trên ño n   thì ñ o hàm ( )ñư6c xem là t c ñ4 truyTn bVnh (ngưSi/ngày) t i thSi ñi.m Tính t c ñ4 truyTn bVnh vào ngày th[ năm

Xác ñ"nh ngày mà t c ñ4 truyTn bVnh là l0n nh1t và tính t c ñ4 ñó

Xác ñ"nh các ngày mà t c ñ4 truyTn bVnh l0n hơn

Xét chiTu biEn thiên c>a hàm s ( ) trên ño n  

Hư0ng dmn :

( ) = − ∈  

( ) = ( − )⇒ ( ) =

( ) = ( − )> ⇔ < <

( ) = ( − ) > < < ⇒ Hàm s ( ) ñhng biEn trên ño n  

8 Hình thang cân có ñáy nh3 và hai c nh bên ñTu dài Tính góc α = = sao cho hình thang có diVn tích l0n nh1t Tính diVn tích l0n nh1t ñó.Gi, s- π

= < <

Hư0ng dmn :

9 Trong các tam giác vuông mà c nh huyTn có ñ4 dài c nh bUng , hãy xác ñ"nh tam giác có diVn tích l0n nh1t

Hư0ng dmn :

GAi là ñ4 dài hai c nh góc vuông c>a tam giác vuông có c nh huyTn bUng , < <

10 M4t hành lang giea hai nhà có hình d ng c>a m4t lăng tr( ñ[ng Hai m2t bên là

Tính th tích c>a hình lăng tr( theo

Tìm sao cho hình lăng tr( có th tích l0n nh1t và tính th tích l0n nh1t ñó

Hư0ng dmn :

∈