Tài liệu hỗ trợ học tập môn học toán dùng trong tin học

CHƯƠNG 1 Logic – Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG 2 Tập hợp - Các phép toán tập hợp CHƯƠNG 3 Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua các hệ đếm CHƯƠNG 4 Quan hệ và Hàm CHƯƠNG 5 Đồ thị CHƯƠN

Tài liệu hỗ trợ học tập môn học Toán Dùng Trong Tin Học

Chủ biên: Đoàn Thiện Ngân Tham gia: Huỳnh Văn Đức

Hoàng Anh Tuấn Nguyễn Công Trí

Năm 2016

Lời nói đầu

Đây là tài liệu hỗ trợ học tập môn Toán dùng trong tin học cho sinh viên khoa Hệ thống thông tin kinh doanh Nội dung chính của tài liệu này có 7 chương như trong đề cương chi tiết môn

học của Khoa

CHƯƠNG 1 Logic – Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG 2 Tập hợp - Các phép toán tập hợp CHƯƠNG 3 Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua các hệ đếm CHƯƠNG 4 Quan hệ và Hàm

CHƯƠNG 5 Đồ thị CHƯƠNG 6 Cây CHƯƠNG 7 Đại số BoolMỗi chương có cấu trúc tương tự nhau gồm 3 phần: Tóm tắt lý thuyết, Ví dụ và Bài tập để sinh viên làm thêm tại nhà sau khi tham khảo các ví dụ

Dù chúng tôi đã tập trung nhiều công sức và thời gian, nhưng chắc chắn vẫn còn những sai sót trong tài liệu này Kính mong độc giả thông báo cho chúng tôi biết các lỗi và những sai sót khi nhận thấy, để lần tái bản kế tiếp tài liệu này được tốt hơn Chúng tôi chân thành tiếp nhận mọi góp ý để có thể có một tài liệu tốt cho sinh viên sử dụng Mọi liên hệ xin email về địa chỉ ngan@ueh.edu.vn

Tp HCM, tháng 8 năm 2016

Nhóm tác giả

Mục lục

Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh 5

1 Tóm tắt lý thuyết 5

1 1 Một số khái niệm cơ bản của logic 5

1 2 Các phương pháp chứng minh 6

1 3 Ngụy biện 8

1 4 Vị từ và lượng từ 9

1 5 Các phương pháp chứng minh định lý 10

2 Ví dụ 11

3 Bài tập 28

Chương 2: Tập hợp - Các phép toán tập hợp 33

1 Tóm tắt lý thuyết 33

1 1 Một số khái niệm cơ bản của tập hợp 33

1 2 Mô tả qua các tính chất của tập hợp 33

1 3 Mô tả qua giản đồ Venn 33

1 4 Những tập hợp số quan trọng 33

1 5 Các phép toán tập hợp 35

2 Ví dụ 35

3 Bài tập 40

Chương 3: Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua các hệ đếm 43

1 Tóm tắt lý thuyết 43

1 1 Tính chia hết 43

1 2 Thuật toán chia 43

1 3 Số học đồng dư 44

1 4 Ứng dụng của đồng dư 44

1 5 Các thuật toán liên quan đến số nguyên 44

2 Ví dụ 47

3 Bài tập 55

Chương 4: Quan hệ và Hàm 59

1 Tóm tắt lý thuyết 59

1 1 Quan hệ và hàm 59

1 2 Tính chất của quan hệ 59

1 3 Tổ hợp các quan hệ 59

1 4 Quan hệ n–ngôi 60

1 5 Các phép toán trên quan hệ n – ngôi 60

1 6 Biểu diễn quan hệ bằng ma trận 61

1 7 Biểu diễn quan hệ bằng đồ thị có hướng 62

2 Ví dụ 66

3 Bài tập 82

Chương 5: Đồ thị 91

1 Tóm tắt lý thuyết 91

1 1 Khái niệm cơ bản 91

1 2 Các loại đồ thị 91

1 3 Các phương pháp biểu diễn đồ thị 92

1 4 Tính liên thông của đồ thị 92

1 5 Đường đi Euler và đường đi Hamilton trong đồ thị 94

1 6 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị 94

2 Ví dụ 95

3 Bài tập 106

Chương 6: Cây 115

1 Tóm tắt lý thuyết 115

1 1 Một số khái niệm cơ bản về cây 115

1 2 Cây nhị phân 116

1 3 Cây quyết định 117

1 4 Các phương pháp duyệt cây 117

1 5 Phương pháp duyệt theo mức 119

1 6 Cây bao trùm – Cây khung 119

1 7 Thuật toán tìm cây bao trùm nhỏ nhất 120

2 Ví dụ 121

3 Bài tập 134

Chương 7: Đại số Bool 137

1 Tóm tắt lý thuyết 137

1 1 Một số khái niệm cơ bản 137

1 2 Các đẳng thức của đại số Boole 138

1 3 Phương pháp biểu diễn các hàm Boole 139

1 4 Mô hình hoá sơ đồ các mạch bằng đại số Boole 139

1 5 Bộ cộng 140

1 6 Phương pháp cực tiểu hoá các mạch 142

2 Ví dụ 144

3 Bài tập 150

Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh

1 Tóm tắt lý thuyết

1 1 Một số khái niệm cơ bản của logic

1 1 a Mệnh đề

Một mệnh đề là một câu phát biểu hoặc đúng hoặc sai

Ta dùng các chữ cái viết thường như 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, … để ký hiệu các mệnh đề và dùng Đ (Đúng),

S (Sai) để ký hiệu chân trị của một mệnh đề

1 Câu “không phải p” là mệnh đề phủ định của mệnh đề p, ký hiệu là p hay 𝐩̅

2 Mệnh đề "𝑝 𝑣à 𝑞", được ký hiệu bởi 𝐩𝐪, là đúng khi cả p và q đều đúng, còn sai

trong các trường hợp còn lại Mệnh đề 𝐩𝐪 được gọi là mệnh đề nối liền (hay hội)

của p và q

3 Mệnh đề “p hay q”, ký hiệu 𝐩𝐪, là sai khi cả p và q đều sai, còn đúng trong các trường hợp còn lại Mệnh đề 𝐩𝐪 được gọi là mệnh đề nối rời (hay tuyển) của p và

q

4 Mệnh đề “p hoặc loại trừ q”, được ký hiệu bởi 𝐩𝐪, chỉ đúng khi chỉ duy nhất một

trong hai mệnh đề p và q đúng, còn sai trong các trường hợp còn lại Mệnh đề 𝐩𝐪

còn được gọi là tuyển loại của p và q (một số tài liệu khác gọi là p hoặc q)

1 1 c Các mệnh đề suy diễn

Tất cả mệnh đề suy diễn đều liên quan đến mệnh đề kéo theo, là loại mệnh đề đóng vai trò

cốt yếu trong các suy luận toán học, chúng cho phép ta xây dựng nên các lập luận đúng đắn

Định nghĩa 1.2

Cho hai mệnh đề p, q

a) Mệnh đề kéo theo 𝐩 → 𝐪 là mệnh đề chỉ sai khi p đúng và q sai, còn đúng trong

mọi trường hợp còn lại Khi ấy p được gọi là giả thiết còn q được gọi là kết luận

b) Mệnh đề đảo của p → q là mệnh đề 𝐪 → 𝐩

c) Mệnh đề phản của p → q là mệnh đề 𝐩 → 𝐪

d) Mệnh đề phản đảo của p → q là mệnh đề q → p

e) Mệnh đề tương đương 𝐩 ↔ 𝐪 là mệnh đề chỉ đúng khi p và q có cùng chân trị

Thuật ngữ “p nếu và chỉ nếu q” thường được dùng để chỉ mệnh đề tương đương

này Một số diễn đạt tương đương khác: “p khi và chỉ khi q”, “p là cần và đủ đối

với q”, “nếu p thì q và ngược lại”, …

1 1 d Độ ưu tiên của các phép toán

Trong các mệnh đề phức hợp, ta dùng các dấu ngoặc để chỉ

định thứ tự thực hiện các phép toán Ví dụ, (pq)(r) là hội

của (pq) và r Như vậy pq là (p)q, pqr là (p  q)

 r và p  p → r là (p  p) → r Tuy nhiên ta vẫn có thể dùng

các dấu ngoặc vì mục đích rõ ràng

Bảng 1-1 Độ ưu tiên của các phép toán logic

Phép toán Độ ưu tiên

Một bít có thể nhận một trong hai giá trị là 0 và 1 Bít cũng được dùng để biểu diễn chân

trị Thông thường, giá trị 1 biểu diễn chân trị đúng (Đ, True) và giá trị 0 để biểu diễn chân trị sai (S, False)

Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai Do đó, có thể dùng

bít để biểu diễn một biến boole

Các phép toán bít trong máy tính tương ứng với các phép toán logic (các ngôn ngữ lập

trình thường dùng các ký hiệu OR, AND và XOR thay cho các phép toán logic ,  và )

Một xâu bít (xâu nhị phân – chuỗi bít) là dãy gồm không hoặc nhiều bít Chiều dài của xâu

là số các bít trong xâu Khi chiều dài là 0 ta gọi đó là chuỗi rỗng

Thông tin thường được biểu diễn bằng cách dùng các xâu bít, là dãy các số 0 và 1 Khi ấy, các phép toán trên các xâu bít cũng được dùng để xử lý thông tin

1 2 Các phương pháp chứng minh

1 2 a Tương đương logic

Một bước quan trọng được dùng trong lập luận toán học là thay một mệnh đề này bằng một

mệnh đề khác có cùng chân trị

Định nghĩa 1.4

a) Một mệnh đề phức hợp luôn đúng bất kể chân trị của các mệnh đề thành phần được

gọi là một hằng đúng Một mệnh đề phức hợp luôn sai được gọi là một mâu thuẫn b) Mệnh đề Q được gọi là hệ quả logic của P nếu 𝐏 → 𝐐 là hằng đúng

Ký hiệu 𝐏 ⇒ 𝐐

c) Các mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu 𝐏𝐐 là hằng đúng

Ký hiệu 𝐏𝐐 hay 𝐏 ⇔ 𝐐

Một số tương đương logic quan trọng

p  (p  q)  p; p  (p  q)  p Luật hút – Luật hấp thu

p  p  Đ; p  p  S Luật bài trung và Luật phi mâu thuẫn

Bảng 1-3 Tương đương chỉ gồm các phép nối logic

Bảng 1-4 Một số tương đương logic khác

1 2 b Quy tắc suy diễn

Các quy tắc suy diễn là phương tiện rút ra các kết luận từ những điều khẳng định khác,

chúng liên kết các bước của một chứng minh lại với nhau Các quy tắc suy diễn đúng đắn

đều dựa trên các hằng đúng nào đó

Hằng đúng (p  (p  q))  q là cơ sở của quy tắc suy diễn

Modus ponens (kí hiệu  có nghĩa là “vậy thì”)

p

p q q

[((p  q)  p]  q

Modus ponens [ q  (p  q)]   p

[(p  q)   q]   p

Modus tollens [(p  q)  (q  r)]  (p  r) Tam đoạn luận giả định [(p  q)   p]  q Tam đoạn luận tuyển [(p  q)  ( p  r)]  (q  r) Hợp giải

Bảng 1-5: Các quy tắc suy diễn

1 2 c Lập luận đúng

Một lập luận được gọi là đúng đắn nếu kết luận phải đúng khi tất cả các giả thiết đều đúng

Một lập luận đúng đắn có thể dẫn đến một kết luận sai nếu một trong các mệnh đề dùng

trong lập luận là sai

1 3 Ngụy biện

Một số dạng suy luận sai thường gặp được gọi là các ngụy biện, chúng giống như các quy

tắc suy diễn nhưng không dựa trên các hằng đúng

1 3 a Ngụy biện chấp nhận kết luận

Mệnh đề [(p  q)  q]  p không là hằng đúng vì nó sai khi p sai và q đúng Dựa trên

mệnh đề này, suy luận sai đuợc gọi là ngụy biện chấp nhận kết luận

1 3 b Ngụy biện phủ nhận giả thiết

Mệnh đề [(p  q)  p]  q không là hằng đúng vì nó sai khi p sai và q đúng Dựa trên

mệnh đề này, suy luận sai đuợc gọi là ngụy biện phủ nhận giả thiết

1 4 Vị từ và lượng từ

1 4 a Vị từ

Một cách tổng quát, vị từ là một hàm mệnh đề Khi ta ký hiệu “x lớn hơn 3” là P(x), với x

là biến Ta cũng nói P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x Một khi biến x được gán trị,

được gọi là lượng từ phổ dụng

b) Lượng hoá tồn tại của P(x) là mệnh đề “tồn tại một phần tử x trong miền được xét sao cho P(x) đúng” và được ký hiệu là x P(x) Trong đó,  được gọi là lượng từ tồn tại còn mệnh đề x P(x) được đọc là “tồn tại ít nhất một x sao cho P(x)”

Bảng 1-7: Phủ định của các lượng từ

1 4 d Luật suy diễn đối với các mệnh đề có lượng từ

Với lượng từ phổ dụng ta có quy tắc thể hiện phổ dụng và tổng quát hoá phổ dụng

Với lượng từ tồn tại ta có quy tắc thể hiện tồn tại và tổng quát hoá tồn tại

Tổng quát hoá tồn tại

Bảng 1-8: Quy tắc suy diễn đối với vị từ

1 4 e Phản ví dụ

Với một mệnh đề dạng x P(x), nếu chúng ta tin là nó sai hoặc không thể tìm được một

chứng minh, chúng ta sẽ đi tìm một phản ví dụ, tức là tìm một x sao cho P(x) sai

Để chứng minh mệnh đề p  q đúng, ta chứng minh p sai (chứng minh rỗng thường được

dùng để thiết lập các trường hợp đặt biệt của các định lý dạng nN, P(n))

1 5 d Chứng minh tầm thường

Để chứng minh mệnh đề p  q đúng, ta chứng minh q đúng (chứng minh tầm thường cũng

thường được dùng để thiết lập các trường hợp đặt biệt của các định lý dạng nN,P(n))

1 5 e Chứng minh phản chứng

Để chứng minh mệnh đề p  q, ta chứng minh p  q  S

1 5 f Chứng minh bằng cách chia trường hợp

Để chứng minh mệnh đề kéo theo có dạng (p1  p2  …  pn)  q

Ta dùng hằng đúng sau như một quy tắc suy diễn

[(p1  p2  …  pn)  q]  [(p1  q)  (p2  q)  …  (pn  q)]

1 5 g Chứng minh tương đương

Chứng minh p  q ta dùng hằng đúng (p  q)  [(p  q)  (q  p)]

1 5 h Chứng minh tồn tại

Chứng minh dạng x P(x) được gọi là chứng minh tồn tại Bằng cách chỉ ra một phần tử a

sao cho P(a) đúng được gọi là chứng minh kiến thiết Cách chứng minh khác được gọi là

chứng minh không kiến thiết, thường là chứng minh phản chứng

1 5 i Chứng minh tính duy nhất

Tồn tại duy nhất x thỏa P(x) là chứng minh mệnh đề x(P(x)  y(y  x  P(y)))) Chứng minh gồm hai phần:

Tồn tại: chứng minh có một phần tử x có tính chất mong muốn

Duy nhất: chứng minh nếu y  x, thì y không có tính chất mong muốn

1 Bây giờ là mấy giờ?

2 Hãy đọc điều này một cách cẩn thận

Phủ định p, là mệnh đề “Không phải hôm nay là thứ sáu”

Hội p  q, là mệnh đề “Hôm nay thứ sáu và hôm nay trời mưa”

Tuyển p  q, là mệnh đề: "Hôm nay là thứ sáu hay hôm nay trời mưa "

Ví dụ 1.4

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau

1 Quy định “Mỗi dịp hè, giảng viên được phép chọn đi du lịch hoặc trong nước hoặc đến các nước vùng Đông Nam Á” là mệnh đề dạng p  q

2 Quy định “Trường học sẽ bị đóng cửa nếu bão cấp 6 hoặc trời nóng trên 40 0 ” là mệnh đề dạng 𝑝⨁𝑞 hay pq

3 Quy định “Trường học sẽ bị đóng cửa nếu tuyết rơi dày hơn 0,6m hoặc gió lạnh dưới 0 0 ” là mệnh đề dạng 𝑝 ∨ 𝑞

Giải

1 Đặt p=" Mỗi dịp hè, giảng viên được phép chọn đi du lịch trong nước" và

q = "Mỗi dịp hè, giảng viên được phép chọn đi du lịch đến các nước vùng Đông

Nam Á" thì quy định đúng là p⨁q

2 Tương tự quy định đúng có thể hiểu là 𝑝 ⊕ 𝑞 hay 𝑝 ∨ 𝑞 vì không thể có "bão cấp

6" và "trời nóng trên 40 0 " cùng xảy ra, n.l p và q không thể cùng đúng

3 Tương tự quy định đúng có thể hiểu là 𝑝 ∨ 𝑞

Xác định tính nhất quán của các đặc tả sau:

“Thông điệp này được lưu trong vùng đệm hoặc được chuyển giao”

“Thông điệp này không được lưu trong vùng đệm”

“Nếu thông điệp này được lưu trong vùng đệm thì nó được chuyển giao”

Giải

Xem p = “Thông điệp này được lưu trong vùng đệm” và q = “Thông điệp này được chuyển

giao” khi đó biểu diễn của các đặc tả là 3 mệnh đề pq, p và q → p Lập bảng chân trị:

Bây giờ nếu thêm đặc tả “Thông điệp này không được chuyển giao” thì các đặc tả là không

còn nhất quán Thật vậy, xét biểu diễn của đặc tả mới là q và lập bảng chân trị

Phát biểu lại “Nếu trời mưa thì đội nhà thắng” dưới dạng mệnh đề p → q, Ta có:

a) Mệnh đề đảo q → p là “Nếu đội nhà thắng thì trời mưa”,

b) Mệnh đề phản p → q là “Nếu trời không mưa thì đội nhà không thắng”

c) Mệnh đề phản đảo q → p là “Nếu đội nhà không thắng thì trời không mưa”

a) Ba mệnh đề (p → q), (q → p) và  (p q) tương đương logic

b) Hai mệnh đề (q → p) và (p → q) tương đương logic

1 “Nếu a 2 b 2 thì a  b” tương đương “Nếu a = b thì a 2 = b 2 ”

2 "Tối qua trời mưa nếu sáng dậy thấy đất ướt" tương đương "Trời mưa thì đất ướt"

3 “Không thể có chuyện trúng số độc đắc mà không đóng thuế thu nhập” tương đương

“Nếu trúng số độc đắc thì phải đóng thuế thu nhập”

Giải

1 Đúng vì (p → q) và (q → p) tương dương

2 Sai vì (p → q) và (q → p) không tương đương

3 Đúng vì (p → q) và (p  q) tương dương

Ví dụ 1.13

Có hai bộ tộc, X luôn nói thật và Y luôn nói dối Giả sử bạn gặp A và B là 2 người trong

số họ, A nói “B thuộc X” còn B nói “chúng tôi ở hai bộ tộc khác nhau” Hãy cho biết bộ tộc của A và B?

Giải

Đặt p là "A thuộc X" và q là "B thuộc X" Xét

a) Trường hợp p sai: A nói dối nên q sai nghĩa là B thuộc Y Vậy B nói dối do đó A

và B cùng thuộc bộ tộc Y Không có mâu thuẫn, vậy kết luận đúng là cả A và B đều thuộc bộ tộc Y

b) Trường hợp p đúng: A nói thật do đó q đúng cho nên A và B thuộc cùng một bộ tộc mâu thuẫn với phát biểu của B

và trả lời mỗi câu hỏi cùng một lúc Hãy cho biết câu trả lời của bọn trẻ sau mỗi lần hỏi? Giải:

Đặt s là "cậu con trai có bùn trên đầu" và d là "cô con gái có bùn trên đầu"

Vậy câu nói của cha là sd

Bọn trẻ sẽ trả lời không ở lần đầu, bởi vì xét suy luận của cậu con trai: cậu ta biết d đúng

cho nên s  d đúng và không chắc s đúng (tương tự cho cô con gái)

Với lần sau, bọn trẻ sẽ trả lời có, vì xét suy luận của cậu trai sau khi nghe cô bé trả lời

không ở lần đầu nghĩa là s đúng (tương tự cho cô con gái – Thật ra nếu chân trị có thêm

giá trị không biết, ngoài đúng và sai, thì ở lần sau bọn trẻ vẫn trả lời có)

Ví dụ 1.16

Cho xâu s có 8 bít Tìm xâu 8 bít x có:

a) 4 bít đầu là 0 và 4 bít cuối giống 4 bít cuối của s

b) 4 bít đầu giống 4 bít đầu của s và 4 bít sau đều là 0

c) 4 bít đầu giống s và 4 bít sau đảo ngược giá trị 4 bít sau của s

 S  (p  q) luật phi mâu thuẫn

 p  q luật đồng nhất đối với S Vậy (p  (p  q)) và p  q là tương đương logic

Ví dụ 1.19

Chứng minh rằng (pq) → (pq) là hằng đúng

Giải:

Để chứng minh một mệnh đề là hằng đúng, ta sẽ dùng các tương đương logic để chứng tỏ

rằng nó tương đương logic với Đ

(p  q) →(p  q)  (p  q)  (p  q) ví dụ trên

 (p  q)  (p  q) luật De Mordan thứ nhất

 (p  p)  (q  q) luật kết hợp và giao hoán đối với phép tuyển

 Đ  Đ luật giao hoán đối với phép tuyển

Ví dụ 1.20

Quy tắc suy diễn nào là cơ sở của suy diễn sau:

a) “Bây giờ trời quá băng giá Vậy thì bây giờ hoặc là trời quá băng giá hoặc trời

đang mưa”

b) “Bây giờ trời quá băng giá và đang mưa.Vậy thì bây giờ trời quá băng giá”

c) “Nếu hôm nay trời mưa thì hôm nay chúng ta sẽ không tổ chức tiệc ngoài trời Nếu

hôm nay chúng ta không tổ chức tiệc ngoài trời thì ngày mai chúng ta sẽ tổ chức Vậy thì, nếu hôm nay trời mưa thì ngày mai chúng ta sẽ tổ chức tiệc ngoài trời”

Giải

a) Xem p là “bây giờ trời quá băng giá” và q là “bây giờ trời đang mưa”, khi đó suy

diễn trên có dạng p

p q

  , tức là đã sử dụng quy tắc thêm vào

b) Xem p là mệnh đề “bây giờ quá băng giá” và q là mệnh đề “bây giờ trời đang

mưa” Khi đó suy diễn trên có dạng p q

p



 , vậy là ta đã sử dụng quy tắc rút gọn

c) Xem p là mệnh đề “hôm nay trời mưa” và q là mệnh đề “hôm nay chúng ta sẽ

không tổ chức tiệc ngoài trời”, còn r là mệnh đề “ngày mai chúng ta sẽ tổ chức tiệc ngoài trời” Khi đó suy diễn trên có dạng quy tắc tam đoạn luận giả định:

Kiểm tra xem lập luận sau có đúng không?

Từ các giả thiết “chiều nay trời không nắng và lạnh hơn hôm qua”, “chúng tôi chỉ đi bơi khi trời nắng”, “nếu chúng tôi không đi bơi, thì chúng tôi sẽ bơi xuồng dạo chơi”, “nếu chúng tôi bơi xuồng dạo chơi, thì chúng tôi sẽ ở nhà vào lúc xế chiều” dẫn đến kết luận

“chúng tôi sẽ ở nhà vào lúc xế chiều”

Giải

Xem p, q, r, s và t tương ứng là các mệnh đề “chiều nay trời nắng”, “trời lạnh hơn hôm

qua”, “chúng tôi sẽ đi bơi”, “chúng tôi sẽ bơi xuồng dạo chơi” và “chúng tôi sẽ ở nhà vào lúc xế chiều”

Khi ấy các giả thiết là p  q, r  p, r  s, s  t và kết luận là t

Chúng ta xây dựng một lập luận như sau

Bước Sự kiện Lý do

1 p  q giả thiết

2 p luật rút gọn

3 r  p giả thiết

4 r luật modus tollens dùng các sự kiện (mệnh đề) ở bước 2 và 3

Kiểm tra xem lập luận sau có đúng không? Từ các giả thiết “nếu bạn gởi mail cho tôi, tôi

sẽ viết xong chương trình này”, “nếu bạn không gởi mail cho tôi, tôi sẽ đi ngũ sớm”, “nếu tôi sẽ đi ngũ sớm, tôi sẽ thức dậy với cảm giác sảng khoái” dẫn đến kết luận “nếu tôi không viết xong chương trình này, tôi sẽ thức dậy với cảm giác sảng khoái”

Giải

Xem p, q, r và s tương ứng là các mệnh đề “bạn gởi mail cho tôi”, “tôi sẽ viết xong chương

trình này”, “tôi sẽ đi ngũ sớm” và “tôi sẽ thức dậy với cảm giác sảng khoái” Khi ấy các

giả thiết là p  q, p  r, r  s và kết luận là s Xét lập luận sau:

b) Để nhận được Q(1, 2) ta đặt x = 1 và y = 2 vào câu Q(x, y) và được mệnh đề

“1 = 2 + 3”, có chân trị sai Câu Q(3, 0), là mệnh đề “3 = 0 + 3”, có chân trị đúng c) Mệnh đề R(1, 2, 3) là “1 + 2 = 3”, đúng; còn R(0, 0, 1) là mệnh đề “0 + 0 = 1”, sai

a) Vì P(x) đúng với mọi số thực x, nên mệnh đề x P(x) là đúng

b) Q(x) là không đúng với mọi số thực x, vì Q(3) là sai Do đó, x Q(x) là sai Khi tất cả các phần tử của miền được xét có thể được liệt kê ra, chẳng hạn như x1, x2,

…, xn, thì lượng hoá phổ dụng giống hệt như phép hội P(x1)  P(x2)  …  P(xn)

vì phép hội này là đúng nếu và chỉ nếu P(x1), P(x2), … , P(xn) đều đúng

c) Câu x P(x) tương đương với P(1)  P(2)  P(3)  P(4) vì miền được xét ở đây gồm các số nguyên 1, 2, 3 và 4 Do P(4) tức là mệnh đề “42 < 10” sai, suy ra x P(x) là sai

Ví dụ 1.27

Cho P(x) là “x 2 > 0” Chứng tỏ x P(x) sai với miền được xét là tập các số nguyên Giải

Ta cần chỉ ra một phản thí dụ Với x = 0 là một phản thí dụ vì khi ấy “02 > 0” là sai

đề x P(x) giống hệt như phép tuyển P(x1)  P(x2)  …  P(xn), vì phép tuyển này

là đúng nếu và chỉ nếu có ít nhất một trong các P(x1), P(x2), … , P(xn) là đúng c) Vì miền được xét là {1, 2, 3, 4}, Mệnh đề x P(x) tương đương với P(1)  P(2)  P(3)  P(4)

a) Gọi H(x) là “x trung thực” thì câu đầu là x H(x) có phủ định là x H(x) và đọc

là “mọi chính khách đều không trung thực” (thông thường ta hay đọc “không phải

mọi chính khách đều trung thực”)

Với câu sau, xem C(x) là “x ăn cơm”, ta được biểu diễn x C(x) và phủ định của

nó là x C(x), ta đọc là “có một người Việt Nam không ăn cơm”

Giải

Gọi C(x), B(x) và P(x) tương ứng là các vị từ “x là sinh viên trong lớp”, “x đã đọc cuốn sách này” và “x đã qua lần kiểm tra đầu”

Ta có các tiền đề là x (C(x) B(x)) và x (C(x)  P(x)), Kết luận là x (P(x) B(x)) Xây dựng lập luận như sau:

1 x (C(x) B(x)) Tiền đề

2 C(a) B(a) Thể hiện tồn tại dùng sự kiện ở bước 1

3 C(a) Quy tắc rút gọn dùng sự kiện ở bước 2

4 x (C(x)  P(x)) Tiền đề

5 C(a)  P(a) Thể hiện phổ dụng dùng sự kiện ở bước 4

6 P(a) Modus tollens dùng các sự kiện ở bước 3 và 5

7 B(a) Quy tắc rút gọn dùng sự kiện ở bước 2

8 P(a) B(a) Quy tắc hội dùng sự kiện ở bước 6 và 7

9 x (P(x) B(x)) Tổng quát hoá tồn tại dùng sự kiện ở bước 8

Ví dụ 1.34

a) Chứng minh tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ

b) Chứng minh rằng “nếu n là một số nguyên và n 2 lẻ thì n lẻ”

Giải:

a) Trước hết, thử chứng minh trực tiếp Bắt đầu, giả sử r và s là hai số hữu tỉ Từ định nghĩa của số hữu tỉ ta có r = p/q và s = t/u với p, q, t, u là các số nguyên thỏa q, u khác không Liệu chúng ta có thể dùng các thông tin này để chứng tỏ r + s là hữu tỉ? Cộng r và s, ta được r + s = p/q + t/u = (pu + qt)/(qu) vì q, u khác không suy ra

pu khác không Như vậy r + s là tỉ số của hai số nguyên, pu + qt và qu với qu khác không Nghĩa là r + s là hữu tỉ Cuối cùng, cố gắng tìm một chứng minh trực tiếp của chúng ta đã thành công

b) Trước hết, thử chứng minh trực tiếp Giả sử n là một số nguyên và n2 lẻ Tồn tại số nguyên k sao cho n2 = 2k + 1, suy ra n =  2k 1 , một biểu thức khó chịu Bây giờ, chúng ta đi tìm một chứng minh gián tiếp Bắt đầu với phủ định của kết luận, tức n chẵn Tồn tại một số nguyên k sao cho n = 2k Để chứng minh định lý ta cần chỉ ra giả thiết phải sai, nghĩa là n2 không lẻ, tức n2 chẵn Liệu ta có thể dùng đẳng thức n = 2k không? Bình phương hai vế, ta được n2 = 4k2 = 2(2k2) = 2t, với t =2k2

là một số nguyên Suy ra n2 chẵn Cố gắng tìm một chứng minh gián tiếp của chúng ta đã thành công

Ví dụ 1.35

a) Chứng tỏ mệnh đề P(0) đúng với P(n) là hàm mệnh đề “nếu n > 1, thì n 2 > n” b) Gọi P(n) là mệnh đề “Nếu a và b là hai số nguyên dương và a  b , thì a n  b n ” Chứng tỏ P(0) đúng

Giải

a) Dễ thấy P(0) là mệnh đề “nếu 0 > 1, thì 02 > 0” Vì giả thiết 0 > 1 sai, nên P(0) tự động đúng

b) Mệnh đề P(0) là “nếu a  b , thì a0  b0” Vì a0 = b0 = 1 đúng do đó P(0) tự động đúng

Ví dụ 1.36

a) Chứng minh rằng “trong 22 ngày bất kỳ, phải có ít nhất 4 ngày có thứ giống

nhau”

b) Bằng chứng minh phản chứng, chứng minh 2là số vô tỉ

c) Hãy chứng minh bằng phản chứng định lý “nếu 3n + 2 là lẻ thì n lẻ”

Giải

a) Coi p là mệnh đề “trong 22 ngày bất kỳ, phải có ít nhất 4 ngày có thứ giống

nhau” Giả sử p đúng, tức là số ngày có thứ giống nhau nhiều nhất bằng 3 Vì có

đúng 7 thứ trong tuần, do đó số ngày không vượt quá 21 ngày Mâu thuẫn với số ngày được xét là 22 ngày (thường tìm mâu thuẫn dạng q p  (r  r) với r được xây dựng có sự tham gia của p)

b) Gọi p là mệnh đề “ 2là số vô tỉ” Giả sử p đúng, ta sẽ chỉ ra điều này dẫn tới

mâu thuẫn Vì 2 hữu tỉ nên có a, b nguyên, b  0, sao cho 2= a / b, với a và b không có ước số chung Bình phương hai vế đẳng thức này ta được 2 = a2 / b2 suy

ra 2b2 = a2 Như vậy a2 chẵn, do đó a cũng chẵn Đặt a = 2c, với c là số nguyên nào đó Vì 2b2 = 4c2 hay b2 = 2c2, suy ra b2 chẵn, do đó b cũng chẵn Điều này mâu thuẫn với giả thiết phân số a/b tối giản Vậy “ 2 là số vô tỉ” là mệnh đề đúng Chứng minh gián tiếp có thể được viết lại như là chứng minh phản chứng Trong chứng minh gián tiếp, ta chứng minh q  p tức là chứng minh q  (p  p) c) Giả sử 3n + 2 lẻ và n chẵn Tiến hành từng bước như trong ví dụ trước, ta có nếu n chẵn thì 3n + 2 cũng chẵn Điều này mâu thuẫn với giả thiết 3n + 2 lẻ Định lý được chứng minh

Ví dụ 1.37

Dùng chứng minh từng trường hợp, chứng tỏ xy=xy, với x và y là các số thực bất

kỳ (nhắc lại, x là trị tuyệt đối của x, bằng x khi x  0 và bằng –x khi x < 0)

p2  q, vì xy= –xy = x(–y) = xy

p3  q, vì xy= –xy = (–x)y = xy

p4  q, vì xy= xy = (–x)(–y) = xy

Kết quả đã được chứng minh

Ví dụ 1.38

a) Hãy chứng minh định lý “n là số lẻ nếu và chỉ nếu n 2 là lẻ”

b) Chứng minh các mệnh đề sau tương đương nhau:

q  p Giả sử kết luận sai, tức n chẵn Đặt n = 2k, với k là một số nguyên nào đó Khi đó n2 = 4k2 =2(2k2), tức n2 chẵn Mâu thuẫn với giả thiết n2 lẻ Do đó q  p đúng Vì cả (p  q) và (q  p) đều đúng Định lý được chứng minh Đôi khi một định lý phát biểu nhiều mệnh đề tương đương nhau, dạng p1  p2 

…  pn Để chứng tỏ các mệnh đề này tương đương lẫn nhau ta dùng hằng đúng (thứ tự được chọn tuỳ ý Ví dụ để chứng minh p1  p2  p3 ta chọn p1  p3, p3 

Trường hợp chứng minh p3  p1 ta dùng chứng minh gián tiếp, nếu n là một số

nguyên lẻ thì n 2 cũng là một số nguyên lẻ Điều này đã được chứng minh trong một

ví dụ trước đây Đến đây, chúng ta đã hoàn tất toàn bộ chứng minh

minh kiến thiết

b) Ta đã biết y = 2 là số vô tỉ Xét số yy Nếu nó hữu tỉ, ta đã tìm được x và y thỏa

xy hữu tỉ Ngược lại, nếu nó vô tỉ đặt x = yy, ta có xy = yyy = y2 = 2 hữu tỉ Đây là

một chứng minh tồn tại thuộc loại không kiến thiết Chúng ta đã không chỉ ra cụ

thể hai số x và y có tính chất mong muốn Với hai cặp x, y đưa ra x = y = 2 và

x = yy, y = 2, ta cũng không hề biết cặp nào có tính chất mong muốn

Ví dụ 1.40

a) Chứng tỏ mỗi số nguyên có duy nhất một nghịch đảo đối với phép cộng Đó là, nếu p là một số nguyên, thì tồn tại duy nhất một số nguyên q sao cho p + q = 0 b) Chứng tỏ mệnh đề “mọi số nguyên dương là tổng của bình phương của ba số nguyên” là sai

Nếu thực hiện theo cách giống với ví dụ trước, chúng ta có thể thấy 78 số nguyên đầu tiên

là tổng của lũy thừa 4 của 18 số nguyên nào đó (chi tiết dành cho người đọc) Tuy nhiên

số 79 không là tổng của lũy thừa bậc 4 của 18 số nguyên bất kỳ nào (người đọc tự kiểm tra), vì vậy ∀𝑛, 𝑃(𝑛) không thể là định lý

4 (a – b)(a + b) = (a – b)b Phân tích ra thừa số hai vế của 3

5 a + b = b Chia (a – b) cho cả hai vế của 4

6 2b = b Thay a bằng b trong 5, vì a = b và rút gọn

Giải

Mọi bước đều đúng trừ bước 5, chia cả hai vế cho a – b Lỗi xảy ra vì a – b = 0, trong lúc phép chia chỉ hợp lệ khi chia cho một số khác không

Ví dụ 1.43

Tìm điểm sai trong chứng minh “nếu n 2 dương, thì n dương” sau:

Giả sử n 2 dương, vì mệnh đề “nếu n dương, thì n 2 dương” đúng, chúng ta kết luận

n dương

Giải

Xem P(n) là “n dương” và Q(n) là “n2 dương”, thì Q(n) là giả thiết của chúng ta Mệnh đề

“nếu n dương, thì n2 dương” là n(P(n)  Q(n)) Từ Q(n) và n(P(n)  Q(n)) không thể

suy ra P(n), vì không dựa trên một quy tắc suy diễn đúng đắn nào Thật ra đây là ngụy biện

Ví dụ 1.44

Tìm điểm sai trong chứng minh “nếu n không dương, thì n 2 không dương” sau:

Giả sử n không dương, vì mệnh đề “nếu n dương, thì n 2 dương” đúng, chúng ta kết luận n 2 không dương

Giải

Xem P(n), Q(n) như ở ví dụ trước, ta có P(n) là giả thiết của chúng ta

Mệnh đề “nếu n dương, thì n2 dương” là n(P(n)  Q(n)) Từ P(n) và n(P(n)  Q(n)) không thể suy ra Q(n), vì không dựa trên một quy tắc suy diễn đúng đắn nào Thật ra đây

là ngụy biện phủ định giả thiết Ta có một phản ví dụ với n = –1 giống ví dụ trước

Lập luận sau đây có đúng không?

Nếu n 2 là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn Thật vậy, vì n 2 chẵn nên có số nguyên k sao cho n 2 = 2k Lấy k = 2p với p là một số nguyên nào đó Điều này chứng tỏ n chẵn Giải

Lập luận trên là sai Phát biểu “Lấy k = 2p với p là một số nguyên nào đó” xuất hiện trong

chứng minh thật ra tương đương với mệnh đề đang phải chứng minh, tức n chẵn (Chú ý định lý không sai, chỉ có cách chứng minh là sai)

3 Bài tập

Bài 1.1

Câu nào là mệnh đề?

a) Bangkok là thủ đô của Thái Lan

b) London là thủ đô của nước Úc

c) 2 + 5 = 7

d) 2 – 5 = 3

e) Trả lời câu hỏi này

f) Người Thái lan thuộc giống da đen

g) Nước Mỹ có 50 tiểu bang

h) Nước Việt Nam có 3 tiểu bang

 𝑞: Bình không đi thi môn XYZ

 𝑟: Bình đạt điểm môn học XYZ

Hày diễn tả các mệnh đề sau:

a) 𝑝 → 𝑞

b) ¬𝑞 ↔ 𝑟

c) 𝑞 → ¬𝑟 d) 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟

e) (𝑝 → ¬𝑟) ∨ (𝑞 → ¬𝑟) f) (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑞 ∨ 𝑝)

Bài 1.3

Cho 𝑝, 𝑞 lần lượt là các mệnh đề:

 𝑝: Nam lái xe trên 100 Km/g

 𝑞: Nam bị phạt tội lái xe quá tốc độ

Hày diễn tả các mệnh đề sau theo 𝑝, 𝑞

a) Nếu Nam lái xe trên 100 Km/g, Nam bị phạt tội lái xe quá tốc độ

b) Nam lái xe trên 100 Km/g, nhưng Nam không bị phạt tội lái xe quá tốc độ c) Nam không lái xe trên 100 Km/g, nhưng Nam bị phạt tội lái xe quá tốc độ d) Nếu Nam không lái xe trên 100 Km/g, Nam không bị phạt tội lái xe quá tốc độ

Bài 1.4

Phủ định các phát biểu sau đây:

a) Có ít nhất một người trong phòng này nói được tiếng Anh

b) Mọi cử nhân kinh tế đều được học môn Kinh tế vi mô

c) Bạn Đông là người giàu và hạnh phúc

d) Ngày mai bạn Tây chạy bộ hay đi xe đạp

e) Bạn Long giỏi Toán nhưng kém Anh văn

f) Môn học Logic thì khó nhưng có nhiều bạn học đạt điểm cao

Bài 1.5

Phủ định các phát biểu sau đây:

a) Nếu Bình giỏi môn toán thì Bình cũng giỏi môn vật lý

b) Bạn sẽ được tuyển dụng vào vị trí quản đốc xưởng nếu bạn vừa có năng lực quản

lý vừa có khả năng nói tiếng Đức lưu loát

Bài 1.6

Phủ định các phát biểu sau đây:

a) Vận động viên có thể lực tốt thì kỹ năng chơi thể thao mới tốt

b) “Cả A lẫn B đều đậu” (giả thiết có hai sinh viên A và B cùng đi thi)

d) Nếu các con cá biết bay thi 1 + 1 = 3

e) Nếu 1 + 1 = 3 thì các con cá biết bay

f) Nếu 1 + 1 = 3 thì các con cá biết lội

g) Nếu 1 + 1 = 2 thì các con cá biết bay

h) Nếu 1 + 1 = 2 thì các con cá biết lội

e) (𝑝 ↔ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ↔ 𝑞) f) (𝑝 ↔ 𝑞) ↔ (¬𝑝 ↔ ¬𝑞)

Bài 1.16

Cho biểu thức mệnh đề

P = (p ∨ ￢q) ∧ (q ∨ ￢r) ∧ (r ∨ ￢p) Rút gọn P và suy ra P có giá trị ĐÚNG nếu và chỉ nếu cả ba giá trị p, q và r đều ĐÚNG

Bài 1.17

Cho biểu thức mệnh đề

P = (p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r) Rút gọn P và tìm một bộ giá trị (p, q, r) để P có giá trị ĐÚNG

Bài 1.18

Xác định xem lập luận sau có đúng không?

a) Nếu 𝑥 là số thực dương thì 𝑥2 cũng là số thực dương Do đó nếu 𝑎 là số thực mà

Lập mô hình toán cho suy luận sau:

 Nếu Minh đạt giải nhất một môn điền kinh thì Minh sẽ được miễn thi và có điểm

 Minh không tham gia thi môn thể dục

Thử phán đoán xem suy luận này đúng hay sai

Bài 1.21

Lập mô hình toán cho suy luận sau:

 Nếu tham gia CLB tiếng Anh vào sáng thứ 7 thì Hùng phải dậy sớm;

 Nếu đi đá bóng vào tối thứ 6 thì Hùng sẽ đi ngủ trễ;

 Hùng không thể dậy sớm nếu đi ngủ trễ

Vậy: Hùng đi đá bóng vào tối thứ 6 và tham gia CLB tiếng Anh vào sáng thứ 7

Theo bạn suy luận này đúng hay sai?

Bài 1.22

Lập mô hình toán cho suy luận sau:

 Nếu phun chất A hoặc chất C thì xoài bị hỏng nhưng bưởi sẽ phát triển;

 Nếu phun chất B thì bưởi sẽ hỏng nhưng xoài cho năng suất cao, còn mít sẽ bị lụi tàn;

 Nếu phun chất C thì mít sẽ phát triển tốt

(Cho biết nhà vườn đã sử dụng một trong ba loại chất trên)

Theo bạn suy luận này đúng hay sai?

1 1 b Liệt kê phần tử của tập hợp

Một cách mô tả tập hợp là liệt kê các phần tử Chúng ta sẽ dùng ký hiệu trong đó tất cả các phần tử của một tập hợp được liệt kê ở giữa hai dấu móc nhọn Ví dụ ký hiệu {a, b, c, d} biểu diễn một tập hợp có 4 phần tử là a, b, c và d

Mặc dù tập hợp thường dùng để nhóm các phần tử có các tính chất chung lại với nhau, nhưng cũng không có gì ngăn cản một tập hợp chứa các phần tử dường như chẳng có liên

quan gì với nhau Ví dụ, {a, 2, Tèo, Nha Trang} là một tập hợp có 4 phần tử là a, 2, Tèo và

Nha Trang

Với tập hợp có quá nhiều phần tử ta không cần phải liệt kê hết các phần tử của nó; ta sẽ liệt kê một số phần tử rồi dùng dấu ba chấm (…) khi mẫu tổng quát của các phần tử đã trở nên rõ ràng cho việc suy diễn các giá trị khác

1 2 Mô tả qua các tính chất của tập hợp

Ta có thể mô tả tập hợp bằng cách mô tả các tính chất của tập Ví dụ, tập A của tất cả các

số nguyên dương lẻ và lớn hơn 10 có thể viết A = {x| x là số nguyên dương lẻ lớn hơn 10}

1 3 Mô tả qua giản đồ Venn

Ta có thể minh họa tập hợp bằng hình vẽ nhờ các giản đồ Venn, gồm tập vũ trụ U (biểu

diễn bằng một hình chữ nhật, chứa tất cả các đối tượng đang xét) và bên trong U là những hình tròn hoặc những hình khác biểu diễn các tập hợp con Các điểm thường được dùng để biểu diễn các phần tử cụ thể của tập hợp Các giản đồ Venn thường được dùng để chỉ ra mối quan hệ giữa các tập hợp

1 4 Những tập hợp số quan trọng

 ℕ = {0, 1, 2, 3, …}, là tập các số nguyên tự nhiên (có quan điểm không xem 0 là số

tự nhiên, cho nên cần cẩn thận xem lại thuật ngữ số tự nhiên khi đọc các tài liệu khác)

 ℤ = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}, là tập các số nguyên (tương đối)

 ℤ+ = {1, 2, …}, là tập các số nguyên dương

 ℚ = {𝑝

𝑞 : 𝑝 ∈ ℤ, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞  0}, là tập các số hữu tỉ

 ℝ là tập các số thực

Ký hiệu

Ta đã ký hiệu tên tập bằng chữ in và tên phần tử bằng chữ thường:

1 Ký hiệu a  A, đọc a thuộc A, để chỉ a là phần tử của tập A;

2 Ký hiệu a  A, đọc a không thuộc A, để chỉ a không là phần tử của tập A;

3 Ký hiệu , đọc là tập rỗng, biểu diễn một tập hợp đặc biệt không chứa một phần tử

nào Không nên lầm lẫn giữa  (tập rỗng) và {} – tập chứa duy nhất một phần tử

a) Nếu có chính xác n phần tử phân biệt trong S, với n là số nguyên dương không

âm, thì ta nói rằng S là một tập hữu hạn và n được gọi là bản số (chính số) của S,

ký hiệu là S hay card(S) hay cardS (xuất phát từ tiếng Anh cardinal number) b) Nếu tập S không hữu hạn, ta nói tập S vô hạn

c) Tập lũy thừa của S là tập tất cả các tập con của S, được ký hiệu là P(S)

Định lý 2.2

Nếu một tập S có n phần tử, thì tập lũy thừa P(S) của nó có 2n phần tử

Định nghĩa 2.4

a) Cho hai tập A, B Tích (Descartes) của A và B, ký hiệu AB, là tập các cặp có thứ

tự (a, b) với a  A và b  B Ký hiệu AB = {(a, b) | a  A, b  B}

b) Tích Descartes của các tập A1, A2, …, An, được ký hiệu bởi A1  A2  …  An là tập hợp của các bộ n phần tử có thứ tự (a1, a2, …, an), trong đó ai  Ai, với i=1, 2,

…, n Ký hiệu A1  A2  …  An = {(a1, a2, …, an): ai  Ai với i = 1, 2, …, n}

1 5 Các phép toán tập hợp

Định nghĩa 2.5

Cho A, B là hai tập hợp con của tập vũ trụ U

1 Hợp của A và B là tập AB = {x  U | x  A  x  B}

2 Giao của A và B là tập AB = {x  U | x  A  x  B}

Nếu AB =  ta nói A và B rời nhau

3 Hiệu của A và B, là tập A–B = {x  U | x  A  x  B}

4 Bù của A, là tập A = {x  U | x  A}

5 Hiệu đối xứng của A và B, là tập AB = (A – B)  (B – A)

Nguyên lý bù trù

Với A và B là hai tập con hữu hạn của U thì

card(AB) = card(A) + card(B) – card(AB)

Các đồng nhất thức tập hợp

AU = U; A =  Luật trội – Luật nuốt – Luật thống trị

Luật phân phối

AB̅̅̅̅̅̅ = A̅B̅; AB̅̅̅̅̅̅ = A̅B̅ Luật De Morgan

A(AB) = A; A(AB) = A Luật hút − Luật hấp thu

2 Ví dụ

Ví dụ 2.1

Tìm tập hợp

a) V gồm các nguyên âm trong bảng chữ cái tiếng Anh

b) A gồm các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 15

d) C gồm các số nguyên dương chẵn bé hơn 100

e) D gồm các số nguyên dương chẵn lớn hơn 10

Ví dụ 2.8

Các mệnh đề xℝ (x 2  0) và xℤ (x 2 = 1) nghĩa là gì?

Giải

Mệnh đề xℝ (x2  0), nói rằng với mọi số thực x, x2  0 Mệnh đề này có thể hiểu là

"bình phương của mọi số thực là không âm"

Mệnh đề xℤ (x2 = 1), nói rằng tồn tại một số nguyên x sao cho x2 = 1 Mệnh đề này có

thể hiểu là “có một số nguyên mà bình phương của nó bằng 1”

Ví dụ 2.9

Cho U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5} và B = {1, 2, 3}

a) Tìm 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐴̅, 𝐵̅

b) Tìm bản số các tập trong a)