Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán thì A là biến cố “người đó bắt hết thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần”.. TH1: Cần 3 lần để bắt được hết thỏ trắng.[r]
Trang 1SO GIAO DUC VA DAO TAO KY THI CHON HOC SINH GIOI TINH LOP 10 & 11 THPT
Đề thi có 01 trang - gồm 05 câu Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (5,0 điểm)
Ssinx=eos2x+2sin| 2 + x ]- (1+3)
a Tìm số nghiệm của phương trình =1 trên đoạn [0;2021z]
2cosx—^/3
b Tìm hệ số của xˆ trong khai triển biểu thức P = (1 ~x-3x° y thành đa thức, biết ø là số nguyên dương thỏa
mãn 2(Cÿ + Cÿ + +C2)= 34; n+l °
Câu 2 (2,0 điểm)
a Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x` +(I— 2)x” +(m—3)x +3 — 3= 0 có ba nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số cộng
b Cho đa thức /(x) thỏa mãn im/)=4- 5 Tìm lim s0 x2 ro? (A3x+2—2](J2/()+1+3) ⁄)-4
Câu 3 (2,0 điểm)
Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ xám Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi bắt được cả 3 thỏ trắng thì mới dừng lại Tính xác suất để người đó phải bắt ít nhất 5 lần
Câu 4 (5,0 điểm)
a Cho hình chóp S 4B8C có đáy 4BC là tam giác đều cạnh a, S4 vuông góc với mặt phăng (45C) Gọi M là
trung diém SB, N là diém thoa man NS +2NC =0 Tính độ dài Š4 biết 4N vuông góc với CM
b Cho hinh lang tru ABC.A'B'C' Goi / là trung diém B'C' va M la diém thuộc cạnh A'C' Biét AM cat A'C tại P, B'M cat A'/ tai O Tim vi tri diém M trén canh A'C' sao cho dién tich tam gidc A'PO bang 5
điện tích tam giác 441'C7
Câu 5 (2,0 điểm)
a Cho các số thực x, y, z không 4m thoa man x? + y? +z” +2xyz =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=zýNx+42(y+>).
Trang 2xX, =3,x, =7 - | „ ` ¬
5 Đặt y„= > — Chứng minh dãy (y„) có giới
b Cho dãy số (x„) thỏa mãn 3 \
“17x, +x,,VneN ‘al
hạn và tìm giới hạn đó
HÉT
https://toanmath.com/
Thí sinh không được sử dụng tai liéu va may tinh cam tay Gidm thi khéng gidi thich gi thém./
Trang 3LOI GIAI TOAN 11
x# Ễ Lk2zx Điều kiện: cosxz ở “@j 6 kleZ (*)
7
x4-—+4+12n
6
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
Ssing =eox2v+ in 2 + x ]~I= vẫ= 2cosx—^/3 © 3sin x+2sin?x—2=0
sinx=-2_ |x=~+k2z
© | „ 1c
6
Ke sk aN oA , 57
Đôi chiêu điêu kiện ta có v= — + koa
0< „ +k2z< 2021z © ` <k< a => k € {0;1;2; ;1010}
Vậy phương trình có 1011 nghiệm trên đoạn đã cho
Áp dụng công thức CÝ = C!'+C*„,
C=C;
C}=C,+C;
C=C; +C;
(l<k<n-1) taco
C; = Cc + Cc
C= C46
Cộng về theo về các đăng thức trên ta được Cỷ., = Cÿ + CŸ + + C?
Kết hợp giả thiết suy ra 2Cỷ,„ =3A”, © —= =3(n+1)n (n>2)
n—]
> 3 =3 a n=10
Theo công thức Newton ta có
10
A= h x(l+ 3x2) = C9, —Chyxll+3x2}+ C302 (14.3x2) — Ch 31432?) +
0
+ cAxt(43x?/) -ch5(143x?) + + cl0x'9Ñ + 3x2}
Vậy hệ số của x'là C2.C;.3' + Cø =270+210=480
x+1=0
>
x? —2mx+3m—3=0 (2)
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <= phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt xz—]l
A'>0 m” — 3m + 3 >0 2
Gia su x, =—1, con +,,x; là nghiệm của (2) Ta xét các trường hợp sau:
THI: x,,x,,x, lap thanh mét cap số cộng © +, ++x; = 2x, © 2m =~2 <= m =—Ì
Trang 4TH2: x,,x,, x, lap thành một cap sô cộng © x, +x; = 2x, © x; = 2x; +Ï
4m +]
Xa — 3 Két hop Viet: x, +x, =2m=>
2m—1
x, =——
3
m=—
Đôi chiêu điêu kiện ta có: rm=—Ì;m = 2 ;m = —
-4 Nêu lim| ƒ(x)—4 =Lz0thì lim 1 = +œ, trái giả thiét
x>2 x2 x—2
Do đó lim ƒ (x)—4 |=0 hay lim ƒ(x)=4
2
"*2(Ñ3x+2- 2}( 2f (x) +1+3) x92 (3x-6)| 2ƒ(x)+1+3]
im 9= im x92 3(x—2) x?
( 2f (x) +1+3)
Gọi A là biến có thỏa mãn bài toán thì A là biến cố “người đó bắt hết thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần” Ta tính P(A )
THỊ: Cân 3 lân đê băt được hêt thỏ trăng Xác suât TH này là ni = 35
7 TH2: Cần 4 lần đề bắt được hết thỏ trăng Khi đó trong 3 lần đầu phải có 1 con thỏ xám, lần thứ 4 bắt được thỏ trắng Xác suất TH này là a = == (C64 cach chon tho den, 3 cách chọn vị trí cho tho den, 3! hodn vi 3 tho trang)
Vay P(A)= ae AC 35° nên xác suất cần tìm là P(A)=I- P(A) = 35
Ta có 3AN =2AC + AS
2CM =CS +CB = AS— AC+AB- AC=
AS+AB—2AC
Do đó AN L CM © AN.CM =0<>
(2AC + AS)(AS + AB-2AC)=0 (1) (1,5 diém)
2
ta co -4AC + AS” +2ABAC =0
& AS? —3a? =0 AS =av3 (1 điểm)
Trang 5Gọi I là trung điểm B.C' vàK là giao điểm của AC”
voi A’C Ta thay ba mat phang (AB'C'), (A'IC),
(AB'M) đơi một cắt nhau theo ba giao tuyến là:
AB',PQ IK nên ba giao tuyến ây đồng qui hoặc
đơi một song song Mà Að'//7Knên
AB'// IK//PQ (1.0 điểm)
Surg A'PAO TLAPAO
Sa AC AT 2
† 2 †
1(ÀÌ_2_ 4Q_2 2\ A1 9 T 3
Suy ra Qlà trọng tâm AA'B'C'.Vay M la trung
điểm của cạnh AC"' _ (0,5 điểm)
Từ giả thiết suy ra tồn tại tam giác ABC khơng tù sao cho x = cos Á, y = cos Ư,z = cosC
P= cos` A + v2(cos B + eosC) = os Aaleos.Ä + 24J2cos” T“ cọs” TẾ <
2
cos A./cos A + 242 sin
Do tam giác ABC khong ti nén 0< cosA <1—>cosA~vcosA <cosA, do d6
P<eosA+2(5vinS =1<2sin`2 +2 |5inS =2-[ 8inS =1] <2
7
Đăng thức xảy ra khi 7 Vay max P=2 khi x=0,y=z=—= 42
B=C-—
4
Tacĩ 3 ,—4 ¡+4 ¡=1 ¡9 + = =%,-", +2, =1, suy ra:
La =a -a +1
Cho & chay qua các giá tri 1, 2, ., n va lay tong, duoc:
Jn = # — 1T
2 Tacĩ zø —#= (+, — 1) > Ú, suy ra (z,) là dãy tăng
Gia su (x, ) bi chan trén thi (z,) cĩ giới hạn hữu hạn
Đặt Ù = linz, ta cĩ: Ù = Ứ —L-+1,suyra b = 1, vơ lí Do đĩ h = limzø, =+œ
1 Vậy: lim = 5