Giáo trình Đại số tuyến tính và Ứng dụng

Ph²p khû Gauss-Jordan º t¼m ma trªn nghàch £o cõa mët ma trªn.. ành thùc cõa mët ma trªn vuæng.. Mët sè ùng döng cõa ành thùc.. Ùng döng cõa khæng gian vector trong ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n.

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

VI›N TON HÅC

T¡c gi£: Nguy¹n B½ch V¥n, é Th¡i D÷ìng

„I SÈ TUY˜N TNH V€ MËT SÈ B€I TON THÜC

TI™N

Gi¡o tr¼nh bªc ¤i håc

N«m 2022

NGUY™N BCH V…N,É THI D×ÌNG

„I SÈ TUY˜N TNH V€

MËT SÈ B€I TON THÜC TI™N

N«m2022

Líi nâi ¦u

¤i sè tuy¸n t½nh l  mët chuy¶n ng nh cì b£n trong to¡n håc, vîi èi t÷ñngnghi¶n cùu ch½nh l  c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh, c¡c ma trªn, c¡c khænggian vector, c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Thuªt to¡n º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸nt½nh m  ng y nay ng÷íi ta gåi l  ph²p khû Gauss (xem ph¦n 2.2 v  2.3.) ¢xu§t hi»n tø r§t sîm, ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 8 "Ph÷ìng trªn" cõa cuèns¡ch "Cûu ch÷ìng to¡n thuªt" cõa ng÷íi Trung Quèc ÷ñc bi¶n so¤n v o thíi

æng H¡n (câ t i li»u cho r¬ng, nâ ÷ñc vi¸t v o kho£ng n«m 152 tr÷îc Cængnguy¶n bði Tr¦n Sanh, sau â ÷ñc vi¸t bê sung bði nhi·u nh  to¡n håc TrungQuèc, trong â câ L÷u Huy v  Tê Xung Chi) Trong ch÷ìng 8 cõa cuèn s¡ch

n y, hå ¢ tr¼nh b y 18 b i to¡n li¶n quan ¸n s£n l÷ñng næng nghi»p v  vi»cmua b¡n gia sóc, d¨n ¸n vi»c gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Ð ch¥u …u,c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh xu§t hi»n l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1637 khi R²neDescartes ÷a v o kh¡i ni»m tåa ë trong h¼nh håc Trong h¼nh håc Descartes,c¡c ÷íng th¯ng v  c¡c m°t ph¯ng ÷ñc mæ t£ b¬ng c¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸nt½nh v  vi»c t¼m giao cõa chóng d¨n ¸n vi»c gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸nt½nh (xem c¡c V½ dö 2.4, 2.7,2.8) Ph÷ìng ph¡p sû döng ành thùc º gi£ih» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh ÷ñc nghi¶n cùu ¦u ti¶n bði Gottfried WilhelmLeibniz v o n«m 1693 Sau â, v o n«m 1750 Gabriel Cramer ¢ ÷a ra c¡ccæng thùc nghi»m cho h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi nghi»m duy nh§t, ng ynay ÷ñc gåi l  cæng thùc Cramer (xem ành lþ 2.4) Sau â, Carl FriedrichGauss ÷a ra ph÷ìng ph¡p khû º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh, ph÷ìngph¡p n y khi â ÷ñc coi l  mët b÷îc ti¸n mîi trong tr­c àa V o n«m 1848,James Joseph Sylvester ¢ ÷a v o kh¡i ni»m ma trªn ("matrix" trong ti¸ngLatin, xu§t xù tø ti¸ng "mater" câ ngh¾a l  "mµ") Æng xem ma trªn nh÷ l 

èi t÷ñng sinh ra c¡c ành thùc m  ng y nay ta gåi l  minor (xem ành ngh¾a1.15) Sau â, v o n«m 1856, Arthur Cayley ¢ ành ngh¾a c¡c ph²p to¡n cëng,trø, nh¥n ma trªn, ma trªn nghàch £o v  chùng minh c¡c t½nh ch§t cõa c¡cph²p to¡n n y (xem ph¦n 1.2., 1.3., 1.6.) ành ngh¾a khæng gian vector ÷ñcPeano ÷a ra v o n«m 1888 (xem Ch÷ìng 3), sau â v o n«m 1900 lþ thuy¸t

¡nh x¤ tuy¸n t½nh giúa c¡c khæng gian vector húu h¤n chi·u ¢ ra íi (xem

Ch÷ìng 5) Ng y nay, ¤i sè tuy¸n t½nh ng y c ng âng vai trá quan trångtrong nhi·u l¾nh vüc cõa khoa håc kÿ thuªt v  cæng ngh», ch¯ng h¤n nh÷ ta câthº ùng döng c¡c ph²p to¡n vîi ma trªn trong thuªt to¡n xû lþ £nh,t¼m o¤nnh¤c gèc, dòng ma trªn º mæ t£ c¡c mæ h¼nh thíi ti¸t, mæ h¼nh di c÷,mªtm¢ (xem ph¦n 1.7.), dòng c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh º ph¥n t½ch giaothæng, ph¥n t½ch m¤ch i»n (xem ph¦n 2.6.2.), dü b¡o t«ng tr÷ðng d¥n sè, x¥ydüng mæ h¼nh trong thi¶n v«n håc (xem ph¦n 4.3.4.), dòng ¡nh x¤ tuy¸n t½nhtrong ç håa m¡y t½nh (xem ph¦n 5.5.), dòng gi¡ trà ri¶ng v  vector ri¶ng ºgi£i h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh, x¥y düng thuªt to¡n SVD º gi£mchi·u dú li»u (xem ph¦n 5.5.)

Gi¡o tr¼nh n y ÷ñc chóng tæi bi¶n so¤n düa tr¶n c¡c t i li»u tham kh£o[1], [2] v  c¡c b i gi£ng cõa chóng tæi t¤i tr÷íng ¤i håc Cæng ngh»-H Quècgia H  Nëi v  ¤i håc Vi»t-Ph¡p Möc ½ch cõa gi¡o tr¼nh l  giîi thi»u ¸nc¡c sinh vi¶n, c¡c håc vi¶n c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa ¤i sè tuy¸n t½nh v  c¡cùng döng thüc ti¹n cõa chóng trong khoa håc v  íi sèng

Nhâm t¡c gi£ tr¥n trång gûi líi c£m ìn ¸n Vi»n To¡n håc-Vi»n H n l¥mKhoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam, Quÿ êi mîi s¡ng t¤o VINIF ¢ t¤o måi

i·u ki»n gióp ï º gi¡o tr¼nh ÷ñc xu§t b£n

M°c dò ¢ r§t cè g­ng, nh÷ng trong qu¡ tr¼nh bi¶n so¤n, chóng tæi khængthº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Chóng tæi r§t mong muèn nhªn ÷ñc nhúng þki¸n âng gâp v· nëi dung v  h¼nh thùc cõa c¡c ëc gi£, c¡c çng nghi»p Måi

þ ki¸n âng gâp xin gûi v· àa ch¿: nbvan@math.ac.vn, dtduong@math.ac.vn.Xin tr¥n trång c£m ìn

H  Nëi, ng y 20 th¡ng 2 n«m 2021Nhâm t¡c gi£: Nguy¹n B½ch V¥n v  é Th¡i D÷ìng

Möc löc

Líi nâi ¦u 3

Nhúng k½ hi»u 5

Möc löc 6

Ch÷ìng 1 Ma trªn v  ành thùc 10 1.1 Giîi thi»u v· ma trªn 11

1.2 C¡c ph²p to¡n vîi ma trªn 13

1.2.1 Ph²p cëng ma trªn 14

1.2.2 Ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè (vîi væ h÷îng) 14

1.2.3 Ph²p nh¥n hai ma trªn 15

1.3 C¡c t½nh ch§t cõa c¡c ph²p to¡n vîi ma trªn 17

1.4 Ph²p chuyºn và ma trªn 22

1.5 Ma trªn d¤ng bªc thang theo dáng v  ph²p khû Gauss 24

1.6 Ma trªn nghàch £o cõa mët ma trªn 26

1.6.1 ành ngh¾a 26

1.6.2 Ph²p khû Gauss-Jordan º t¼m ma trªn nghàch £o cõa mët ma trªn 27

1.6.3 C¡c t½nh ch§t cõa ma trªn nghàch £o 29

1.7 Mët sè ùng döng cõa ma trªn 32

1.7.1 Ma trªn trong thuªt to¡n l m gi£m ch§t l÷ñng h¼nh £nh 32 1.7.2 Ma trªn trong thuªt to¡n l m mí £nh 35

1.7.3 Ma trªn trong t¼m ki¸m o¤n nh¤c gèc 37

1.7.4 Chuéi Markov, ma trªn ng¨u nhi¶n v  c¡c mæ h¼nh phê bi¸n 40

1.7.5 Ma trªn trong mªt m¢ 41 1.7.6 Ma trªn trong ph¥n t½ch hçi quy b¼nh ph÷ìng nhä nh§t 43

1.8 ành thùc 44

1.8.1 ành thùc cõa mët ma trªn vuæng 44

1.8.2 Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p theo dáng ho°c theo cët º t½nh ành thùc 48

1.8.3 C¡c t½nh ch§t cõa ành thùc 52

1.8.4 Mët sè ùng döng cõa ành thùc 57

Ch÷ìng 2 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 72 2.1 Giîi thi»u v· ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 72

2.1.1 ành ngh¾a v  c¡c v½ dö 72

2.1.2 H» d¤ng bªc thang v  c¡ch gi£i 77

2.2 ÷a 1 h» ph÷ìng tr¼nh b§t ký v· h» d¤ng bªc thang t÷ìng ÷ìng vîi nâ 78

2.3 Ph²p khû Gauss v  ph²p khû Gauss-Jordan 81

2.4 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t 87

2.5 Vi¸t l¤i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh d÷îi d¤ng ma trªn 88

2.6 C¡c ùng döng cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 95

2.6.1 T¼m ÷íng cong a thùc phò hñp i qua c¡c iºm cho tr÷îc 95

2.6.2 Ph¥n t½ch m¤ng 96

Ch÷ìng 3 Khæng gian vector 103 3.1 Khæng gian Rn 103

3.1.1 Vector trong m°t ph¯ng 103

3.1.2 Vector trong Rn 105

3.1.3 C¡c ph²p to¡n trong Rn 107

3.2 Khæng gian vector 110

3.3 Khæng gian con 112

3.4 Tªp sinh v  sü ëc lªp tuy¸n t½nh 118

3.5 Cì sð v  sè chi·u 124

3.6 Tåa ë v  chuyºn cì sð 130

3.7 H¤ng cõa ma trªn v  h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 133

3.7.1 H¤ng cõa ma trªn 133

3.7.2 Khæng gian h¤ch cõa ma trªn 137

3.8 Ùng döng cõa khæng gian vector trong ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n 141

Ch÷ìng 4 Khæng gian t½ch trong 149 4.1 T½ch ch§m trong Rn 149

4.2 Khæng gian t½ch trong 152

4.2.1 ành ngh¾a v  c¡c v½ dö 152

4.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa t½ch trong 154

4.2.3 H¼nh chi¸u vuæng gâc 156

4.3 Cì sð trüc chu©n cõa khæng gian t½ch trong v  qu¡ tr¼nh trüc chu©n hâa Gram-Schmidt 159

4.3.1 Cì sð trüc chu©n 159

4.3.2 Qu¡ tr¼nh trüc chu©n hâa Gram-Schmidt 163

4.3.3 Khæng gian con trüc giao v  b i to¡n b¼nh ph÷ìng nhä nh§t 166

4.3.4 C¡c ùng döng cõa b i to¡n b¼nh ph÷ìng nhä nh§t 175

Ch÷ìng 5 nh x¤ tuy¸n t½nh 179 5.1 Giîi thi»u v· ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 179

5.1.1 ành ngh¾a v  c¡c v½ dö 179

5.1.2 C¡c t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 180

5.1.3 nh x¤ tuy¸n t½nh cho bði ma trªn 181

5.2 ƒnh v  h¤t nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 181

5.2.1 H¤t nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 181

5.2.2 ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 183

5.2.3 H¤ng v  sè khuy¸t cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 183

5.2.4 ìn c§u, to n c§u v  ¯ng c§u 184

5.3 Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 186

5.3.1 Ma trªn chu©n t­c 186

5.3.2 Hñp th nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 187

5.3.3 nh x¤ tuy¸n t½nh kh£ nghàch 188

5.3.4 Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh èi vîi c°p cì sð 189

5.4 Ma trªn chuyºn cì sð v  ma trªn çng d¤ng 190

5.5 Ùng döng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh trong ç håa m¡y t½nh 192

Ch÷ìng 6 Ch²o hâa ma trªn 200 6.1 Gi¡ trà ri¶ng v  vector ri¶ng 200

6.1.1 ành ngh¾a v  v½ dö 200

6.1.2 C¡ch t¼m gi¡ trà ri¶ng, c¡c vector ri¶ng v  khæng gian ri¶ng t÷ìng ùng 201

6.1.3 C¡c gi¡ trà ri¶ng cõa 1 ma trªn tam gi¡c 202

6.1.4 Gi¡ trà ri¶ng v  vector ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh 203

6.2 Ch²o hâa ma trªn 205

6.3 Ch²o hâa trüc giao 210

6.4 Ùng döng 214

6.4.1 Dü b¡o t«ng tr÷ðng d¥n sè 214

6.4.2 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 217

6.4.3 Thuªt to¡n SVD v  ùng döng trong gi£m chi·u dú li»u 220 T i li»u tham kh£o 233

1.5 Ma trªn d¤ng bªc thang theo dáng v  ph²p khûGauss 24

1.6.1 ành ngh¾a 261.6.2 Ph²p khû Gauss-Jordan º t¼m ma trªn nghàch £o

cõa mët ma trªn 271.6.3 C¡c t½nh ch§t cõa ma trªn nghàch £o 29

1.7.1 Ma trªn trong thuªt to¡n l m gi£m ch§t l÷ñng h¼nh

£nh 321.7.2 Ma trªn trong thuªt to¡n l m mí £nh 351.7.3 Ma trªn trong t¼m ki¸m o¤n nh¤c gèc 371.7.4 Chuéi Markov, ma trªn ng¨u nhi¶n v  c¡c mæ h¼nh

phê bi¸n 401.7.5 Ma trªn trong mªt m¢ 411.7.6 Ma trªn trong ph¥n t½ch hçi quy b¼nh ph÷ìng nhä

nh§t 431.8 ành thùc 441.8.1 ành thùc cõa mët ma trªn vuæng 441.8.2 Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p theo dáng ho°c theo

cët º t½nh ành thùc 481.8.3 C¡c t½nh ch§t cõa ành thùc 521.8.4 Mët sè ùng döng cõa ành thùc 57

trong â aij l  c¡c sè thüc v  ÷ñc gåi l  c¡c h» sè cõa ma trªn.

H» sè aij n¬m ð dáng thù i v  cët thù j, c¡c ch¿ sè i, j l¦n l÷ñt ÷ñc gåi l ch¿ sè dáng, ch¿ sè cët cõa aij

Mët ma trªn câ sè dáng b¬ng sè cët (tùc l  m = n) ÷ñc gåi l  mët matrªn vuæng c§p n Trong mët ma trªn vuæng, c¡c h» sè aii, i = 1, 2, , n,

÷ñc gåi l  c¡c h» sè tr¶n ÷íng ch²o ch½nh cõa nâ

V½ dö 1.1 a) −2 π√

3 e2



l  mët ma trªn vuæng c§p 2 C¡c h» sè tr¶n ÷íngch²o ch½nh cõa nâ l  −2, e2

b) 13 0 −7

2 ln2 sin(π/5)



l  mët ma trªn k½ch cï 2 × 3

Chó þ 1.1 C¡c bùc £nh k¾ thuªt sè trong m¡y t½nh ÷ñc biºu di¹n b¬ng c¡c

ma trªn iºm £nh cõa chóng Nâi ri¶ng, méi bùc £nh k¾ thuªt sè en tr­ng(t¶n ti¸ng Anh: a digital gray scale image) câ ë ph¥n gi£i m × n iºm £nh

÷ñc biºu di¹n b¬ng mët ma trªn k½ch cï m × n vîi c¡c h» sè l  mët trong c¡c

sè nguy¶n tø 0 ¸n 255 Gi¡ trà cõa méi h» sè thº hi»n mùc ë en tr­ng cõa

iºm £nh t¤i và tr½ â, ch¯ng h¤n h» sè b¬ng 0 thº hi»n iºm £nh m u en

ho n to n, h» sè b¬ng 255 thº hi»n iºm £nh m u tr­ng ho n to n

V½ dö 1.2 Ta còng xem bùc £nh en tr­ng câ ë ph¥n gi£i 8 × 4 ìn gi£nsau:

N¸u ta ¡nh sè c¡c håc sinh tø 1 ¸n 5 v  ¡nh sè c¡c mæn To¡n, V«n,Anh

tø 1 ¸n 3, th¼ ta câ thº minh håa b£ng sè li»u tr¶n b¬ng ma trªn k½ch cï 5 × 3

trong â h» sè aij thº hi»n iºm trung b¼nh mæn thù j cõa håc sinh thù i trongdanh s¡ch.

1.2 C¡c ph²p to¡n vîi ma trªn

º k½ hi»u ma trªn, ta dòng c¡c c¡ch sau

1 Dòng c¡c chú c¡i Latin in hoa: A, B, C

2 Vi¸t ph¦n tû ¤i di»n trong ngo°c vuæng ho°c ngo°c trán: [aij], [bij], [cij] (ho°c (aij), (bij), (cij) )

ành ngh¾a 1.2 (Hai ma trªn b¬ng nhau) Hai ma trªn A = [aij]v  B = [bij]

÷ñc gåi l  hai ma trªn b¬ng nhau n¸u chóng câ còng k½ch cï m × n v 

A = D khi v  ch¿ khi x = 3.

1.2.1 Ph²p cëng ma trªn

ành ngh¾a 1.3 N¸u A = [aij] v  B = [bij] l  2 ma trªn câ còng k½ch cï

m × n, th¼ têng cõa chóng, k½ hi»u l  A + B l  mët ma trªn k½ch cï m × n,

÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

A + B = [aij + bij]N¸u A v  B l  2 ma trªn khæng còng k½ch cï, th¼ têng cõa chóng khæng x¡c

ành

V½ dö 1.6 a) 03 −51 −26

+ 2 −3 4

1.2.2 Ph²p nh¥n ma trªn vîi mët sè (vîi væ h÷îng)

C¡c sè thüc cán ÷ñc gåi l  c¡c væ h÷îng

ành ngh¾a 1.4 Cho A = [aij] l  mët ma trªn k½ch cï m × n, c l  mët sèthüc T½ch cõa c v  A k½ hi»u l  cA l  mët ma trªn k½ch cï m × n, ÷ñc x¡c

ành bði cA = [caij] (tùc l  méi h» sè cõa A ·u ÷ñc nh¥n vîi c)

Ta dòng k½ hi»u −B thay cho (−1)B N¸u A = [aij] v  B = [bij] l  2 matrªn câ còng k½ch cï, ta câ thº ành ngh¾a hi»u cõa A v  B nh÷ sau:

Chó þ 1.2 N¸u sè cët cõa ma trªn A khæng b¬ng sè dáng cõa ma trªn B,th¼ t½ch AB khæng x¡c ành.

Gi£i: AB x¡c ành v¼ sè cët cõa A b¬ng sè dáng cõa B (·u b¬ng 2) V¼ A

câ k½ch cï 3 × 2, B câ k½ch cï 2 × 2, n¶n theo ành ngh¾a AB câ k½ch cï 3 × 2:

c11 = a11b11+ a12b21= (−1) × (−3) + 3 × (−4) = −9

c12= a11b12+ a12b22 = (−1) × 2 + 3 × 1 = 1

c) 1 −2 −3

2

−11

1.3 C¡c t½nh ch§t cõa c¡c ph²p to¡n vîi ma trªn

Cho A = [aij], B = [bij] Khi â A + B = [aij + bij] = [bij + aij] = B + A.c(A + B) = [c(aij + bij)] = [caij + cbij] = cA + cB

Vi»c chùng minh c¡c t½nh ch§t cán l¤i xem nh÷ b i tªp v· nh 

Chó þ 1.3 Do ph²p cëng ma trªn câ t½nh ch§t k¸t hñp, n¶n ta câ thº vi¸ttêng cõa nhi·u ma trªn m  khæng c¦n sû döng d§u () º nhâm c¡c ma trªn.

trong â A, B l  2 ma trªn k½ch cï m × n Th¶m v o c£ 2 v¸ cõa (1.5) −A ta

֖c

cX + A + (−A) = B − A ⇔ cX + 0mn = B − A ⇔ cX = B − A (1.6)-N¸u c = 0, B = A, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.5) câ væ sè nghi»m Tªp nghi»m cõa

nâ l  tªp hñp t§t c£ c¡c ma trªn k½ch cï m × n

-N¸u c = 0, B 6= A, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.5) væ nghi»m

-N¸u c 6= 0,nh¥n c£ 2 v¸ cõa (1.6) vîi 1

c ta ֖c1

1 A(BC) = (AB)C

2 A(B + C) = AB + AC

3 (A + B)C = AC + BC

4 c(AB) = (cA)B = A(cB)

Chùng minh Ta ch¿ chùng minh t½nh ch§t 2 Gi£ sû A = [aij]l  mët ma trªnk½ch cï m × n,B = [bij], C = [cij]l  hai ma trªn k½ch cï n × p Khi â h» sè ð

và tr½ ij cõa A(B + C) l  Pn

k=1aik(bkj+ ckj) =Pn

k=1(aikbkj+ aikckj),b¬ng h»

sè ð và tr½ ij cõa AB + AC Vªy A(B + C) = AB + AC

Vi»c chùng minh c¡c t½nh ch§t cán l¤i ÷ñc xem nh÷ b i tªp v· nh 

Chó þ 1.4 Do ph²p nh¥n ma trªn câ t½nh ch§t k¸t hñp, n¶n ta câ thº vi¸tt½ch nhi·u ma trªn m  khæng c¦n dòng d§u () º nhâm c¡c ma trªn l¤i Tavi¸t A1A2 Ak.

Chó þ 1.5 Ph²p nh¥n ma trªn khæng câ t½nh ch§t giao ho¡n Tùc l  nâichung, ta khæng câ AB = BA

• Ngay c£ khi p = m = n, khi â AB v  BA ·u x¡c ành v  câ còng k½ch

cï m × m, nh÷ng chóng câ thº khæng b¬ng nhau, nh÷ trong v½ dö m chóng ta s³ ÷a ra ngay sau ¥y

V½ dö 1.12 Cho A =12 −13

, B =2 −1

0 2

.Khi â

Ta th§y trong tr÷íng hñp n y AB 6= BA

Nh÷ng tø v½ dö n y, chóng ta công khæng thº k¸t luªn r¬ng AB khængbao gií b¬ng BA Câ nhúng tr÷íng hñp m  AB = BA nh÷ trong v½ dö d÷îi

¥y:

V½ dö 1.13 Cho A =1 2

1 1

, B =−2 4

2 −2



Chó þ 1.6 Ph²p nh¥n ma trªn khæng câ luªt gi£n ÷îc: tùc l , tø AC = BC,khæng ph£i lóc n o công suy ra A = B.

V½ dö 1.14 Cho A = 1 30 1

, B =2 4

2 3

, C = 1 −2

ành ngh¾a 1.8 (Lôy thøa cõa ma trªn vuæng) Cho A l  mët ma trªn vuængc§p n, cho k l  mët sè nguy¶n khæng ¥m Lôy thøa bªc k cõa A, k½ hi»u l  Ak,

3 0

 2 −1

3 0

)2 −1

1.4 Ph²p chuyºn và ma trªn

ành ngh¾a 1.9 (Ma trªn chuyºn và) Cho A l  mët ma trªn k½ch cï m × n

Ma trªn chuyºn và cõa A, k½ hi»u l  AT, l  mët ma trªn k½ch cï n × m, nhªn

÷ñc tø A b¬ng c¡ch chuyºn dáng cõa A th nh cët cõa AT

1 (AT)T = A

2 (A + B)T = AT + BT

ành lþ 1.6 1 Vîi méi ma trªn A, ta luæn câ AAT, ATA l  c¡c ma trªn

èi xùng

2 Vîi méi ma trªn vuæng A, ta luæn câ A + AT l  mët ma trªn èi xùng

Chùng minh 1 Gi£ sû A câ k½ch cï m × n Khi â AT câ k½ch cï n ×

m Do â AAT, ATA x¡c ành Ta th§y (AAT)T t½nh ch§t (4) cõa ành lþ 1.5=(AT)TAT t½nh ch§t (1) cõa ành lþ 1.5= AAT

Vªy AAT èi xùng T÷ìng tü, ATA èi xùng

2 Gi£ sû A l  mët ma trªn vuæng c§p n Khi â AT công l  mët ma trªnvuæng c§p n Do â A + AT x¡c ành

(A + AT)T t½nh ch§t (2) cõa ành lþ 1.5= AT + (AT)T t½nh ch§t (1) cõa ành lþ 1.5= AT +

A = A + AT Do â A + AT èi xùng

1.5 Ma trªn d¤ng bªc thang theo dáng v  ph²p khû

Gauss

ành ngh¾a 1.11 Mët ma trªn d¤ng bªc thang theo dáng câ c¡c t½nh ch§tsau:

1 C¡c dáng chùa to n 0 n¬m ð ph½a d÷îi còng cõa ma trªn

2 Vîi méi dáng khæng chùa to n 0, h» sè kh¡c 0 ¦u ti¶n cõa dáng â t½nh

tø b¶n tr¡i sang b¬ng 1 v  ÷ñc gåi l  h» sè 1 d¨n ¦u cõa dáng â

3 èi vîi 2 dáng khæng chùa to n 0, h» sè 1 d¨n ¦u cõa dáng tr¶n n¬ml»ch v· b¶n tr¡i nhi·u hìn so vîi h» sè 1 d¨n ¦u cõa dáng d÷îi

ành ngh¾a 1.12 N¸u mët ma trªn d¤ng bªc thang theo dáng câ th¶m t½nhch§t sau:

-èi vîi h» sè 1 d¨n ¦u cõa méi dáng: t§t c£ c¡c h» sè n¬m th¯ng cëtph½a tr¶n v  ph½a d÷îi nâ ·u b¬ng 0

th¼ ma trªn ÷ñc gåi l  ma trªn d¤ng bªc thang theo dáng rót gån.V½ dö 1.19 C¡c ma trªn sau câ d¤ng bªc thang theo dáng

Trong â, c¡c ma trªn ð möc b), d) l  câ d¤ng bªc thang theo dáng rót gån,cán c¡c ma trªn ð möc a),c) khæng câ d¤ng bªc thang theo dáng rót gån.V½ dö 1.20 C¡c ma trªn sau khæng câ d¤ng bªc thang theo dáng

1 êi ché 2 dáng cõa ma trªn

2 Nh¥n 1 dáng cõa ma trªn vîi 1 sè thüc kh¡c 0

3 Th¶m v o 1 dáng 1 sè l¦n cõa 1 dáng kh¡c

Nhúng ph²p bi¸n êi n y ÷ñc gåi l  c¡c c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p theo dáng

èi vîi ma trªn Ta nâi ma trªn B t÷ìng ÷ìng theo dáng vîi ma trªn A, n¸u

B nhªn ÷ñc tø A sau mët sè húu h¤n c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p theo dáng.Qu¡ tr¼nh dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p theo dáng º ÷a mët ma trªn v·d¤ng bªc thang theo dáng (t÷ìng ùng, d¤ng bªc thang theo dáng rót gån)

÷ñc gåi l  ph²p khû Gauss (t÷ìng ùng, ph²p khû Gauss-Jordan) C¡c ph²pkhû n y ÷ñc °t theo t¶n cõa c¡c nh  to¡n håc C.F Gauss (1777-1855) v 

W Jordan (1842-1899) º thuªn ti»n, ta sû döng c¡c k½ hi»u sau cho c¡c ph²pbi¸n êi sì c§p theo dáng èi vîi ma trªn:

• Dòng k½ hi»u Ri ↔ Rj khi ta êi ché dáng thù i v  dáng thù j, ð ¥y R

l  vi¸t t­t cõa tø ti¸ng Anh "row" (dáng)

• Dòng k½ hi»u αRi → Ri khi ta nh¥n dáng thù i vîi sè thüc α 6= 0

• Dòng k½ hi»u Ri+ βRj → Ri khi ta th¶m v o dáng thù i β l¦n dáng thù

Ma trªn xu§t hi»n ð cuèi (1.9) ch½nh l  d¤ng bªc thang theo dáng cõa A

º nhªn ÷ñc d¤ng bªc thang theo dáng rót gån cõa A, ta ti¸p töc thüc hi»nc¡c ph²p bi¸n êi sì c§p nh÷ sau

Chó þ 1.8 N¸u ma trªn A khæng vuæng, th¼ nâ khæng kh£ nghàch Thªt vªy,gi£ sû A câ k½ch cï m × n vîi m 6= n º c£ t½ch AB v  BA x¡c ành th¼ Bph£i câ k½ch cï n × m Khi â AB câ k½ch cï m × m, BA câ k½ch cï n × n V¼

m 6= n, n¶n AB v  BA câ k½ch cï kh¡c nhau, do â AB 6= BA

ành lþ 1.7 Cho A l  mët ma trªn vuæng c§p n N¸u tçn t¤i ma trªn Bvuæng c§p n sao cho AB = BA = In, th¼ ma trªn â l  ma trªn duy nh§t thäam¢n t½nh ch§t n y

Chùng minh Gi£ sû B1, B2l  2 ma trªn vuæng c§p n thäa m¢n: AB1 = B1A =

In, AB2 = B2A = In Ta s³ ch¿ ra B1 = B2

Theo ành lþ ?? B1 = B1In= B1(AB2) = (B1A)B2 = InB2 = B2

Khi A kh£ nghàch, ma trªn vuæng B duy nh§t thäa m¢n AB = BA = In

÷ñc gåi l  ma trªn nghàch £o cõa ma trªn A v  ÷ñc k½ hi»u l  A−1 Nh÷vªy, AA−1 = A−1A = In

1.6.2 Ph²p khû Gauss-Jordan º t¼m ma trªn nghàch £o cõa mët

ma trªn

Cho A l  mët ma trªn vuæng c§p n º t¼m A−1 (n¸u câ), ta thüc hi»n c¡cb÷îc sau:

1 Vi¸t ma trªn k½ch cï n × 2n ÷ñc t¤o th nh tø A v  In: [A|In]

2 Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p theo dáng º ÷a [A|In] v· ma trªn câd¤ng [In|B] N¸u vi»c n y câ thº thüc hi»n ÷ñc, ta k¸t luªn A kh£ nghàch

v  khi â A−1 = B N¸u vi»c n y khæng thº thüc hi»n ÷ñc, ta k¸t luªn

Ta th§y b¶n tr¡i g¤ch dåc câ xu§t hi»n dáng 0 0 0, do â ta khæng thº

÷a [A|I3] v· d¤ng [I3|B] Vªy A khæng kh£ nghàch

Chó þ 1.9 Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n ph²p khû Gauss-Jordan t¼m ma trªnnghàch £o, n¸u b¶n tr¡i g¤ch dåc xu§t hi»n dáng to n 0, th¼ ta k¸t luªn luæn

ma trªn ¢ cho khæng kh£ nghàch m  khæng c¦n thüc hi»n c¡c ph²p bi¸n êiti¸p theo

ành lþ 1.8 (Cæng thùc t¼m ma trªn nghàch £o cõa mët ma trªn vuæng c§p

V½ dö 1.24 T¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn sau (n¸u câ)

1 4 1 2

3 4



b) Ta câ: ad − bc = 3 × 2 − (−1) × (−6) = 0, n¶n theo ành lþ 1.8 B khængkh£ nghàch

-T½nh ch§t 2: Theo t½nh ch§t 4 trong ành lþ 2.6 ta câ

cA−1cA = I Vªy (cA)−1 = 1cA−1.Chó þ 1.11 Tø t½nh ch§t (3) trong ành lþ tr¶n ta câ thº ành ngh¾a lôy thøavîi sè mô ¥m cõa mët ma trªn kh£ nghàch nh÷ sau:A−k := (Ak)−1 = (A−1)k

vîi måi sè nguy¶n khæng ¥m k

V½ dö 1.25 Cho A =1 1

2 4

T¼m A−2 b¬ng 2 c¡ch v  so s¡nh k¸t qu£.Gi£i: C¡ch 1:

10 18

)−1 =

−5 2

3 4

(1.16)

C¡ch 2: Theo cæng thùc t½nh ma trªn nghàch £o cõa ma trªn vuæng c§p 2



(1.17)

Do â:

A−2 = (A−1)2 = 2 −1

2

−1 1 2

  2 −1

2

−1 1 2



=

 9

2 −5 4

−5 2

3 4



(1.18)

Tø (1.16) v  (1.18) ta th§y k¸t qu£ b¬ng 2 c¡ch t½nh l  gièng nhau

ành lþ 1.10 (Ma trªn nghàch £o cõa t½ch 2 ma trªn) N¸u A, B l  2 ma trªnvuæng c§p n kh£ nghàch, th¼ ma trªn AB kh£ nghàch v  (AB)−1 = B−1A−1.Chùng minh Ta câ:

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In (1.19)T÷ìng tü, ta câ

Tø (1.19) v  (1.20) theo ành ngh¾a ma trªn kh£ nghàch, ta suy ra ma trªn

AB kh£ nghàch v  (AB)−1 = B−1A−1

Chó þ 1.12 B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ chùng minh ành lþ tr¶n,

ta th§y n¸u A1, A2, , Ak l  c¡c ma trªn vuæng c§p n kh£ nghàch, th¼ ma trªn

A1A2 Ak kh£ nghàch v  (A1A2 Ak)−1 = A−1k A−12 A−11

Tùc l : ma trªn nghàch £o cõa t½ch c¡c ma trªn kh£ nghàch l t½ch c¡c ma trªn nghàch £o theo thù tü ng÷ñc l¤i

ành lþ 1.11 (C¡c luªt gi£n ÷îc) N¸u C l  mët ma trªn kh£ nghàch, th¼ tacâ

1 Tø AC = BC suy ra A = B (Luªt gi£n ÷îc b¶n ph£i)

2 Tø CA = CB suy ra A = B (Luªt gi£n ÷îc b¶n tr¡i)

Chùng minh Ta ch¿ chùng minh luªt gi£n ÷îc b¶n ph£i, v¼ c¡ch chùng minhluªt gi£n ÷îc b¶n tr¡i ho n to n t÷ìng tü

1.7 Mët sè ùng döng cõa ma trªn

1.7.1 Ma trªn trong thuªt to¡n l m gi£m ch§t l÷ñng h¼nh £nh

Ta câ mët bùc £nh en tr­ng vîi ë ph¥n gi£i cao Khi «ng t£i l¶n c¡c trangm¤ng x¢ hëi nh÷ facebook, instagram, , bùc £nh s³ ÷ñc l m gi£m ë ph¥ngi£i xuèng mùc ch§p nhªn ÷ñc (nh÷ng v¨n £m b£o ta v¨n nhªn ra c¡c chiti¸t ch½nh cõa bùc £nh) º thuªn lñi cho vi»c l÷u trú v  «ng t£i

Ta s³ xem x²t thuªt to¡n l§y gi¡ trà trung b¼nh cõa c¡c cöm iºm £nh Ta chiabùc £nh ch§t l÷ñng cao th nh c¡c iºm £nh

Méi iºm £nh cõa bùc £nh vîi ë ph¥n gi£i th§p (÷ñc mæ ta b¬ng h¼nh chúnhªt tæ ªm) s³ t÷ìng ùng vîi mët l÷îi c¡c iºm £nh cõa bùc £nh vîi ë ph¥ngi£i cao

Ta g¡n sè l¶n ma trªn t÷ìng ùng cõa bùc £nh vîi ë ph¥n gi£i cao (düa v o

ë en tr­ng cõa iºm £nh)

Ti¸p ¸n, ta x¡c ành ma trªn t÷ìng ùng cõa bùc £nh vîi ë ph¥n gi£i cao,b¬ng c¡ch g¡n gi¡ trà t¤i tøng và tr½ b¬ng trung b¼nh cëng cõa ma trªn controng bùc £nh ë ph¥n gi£i cao

Cuèi còng, tø ma trªn n y, ta chuyºn v· h¼nh £nh vîi ë ph¥n gi£i th§p t÷ìngùng.

C¥u häi 1 (Biºu di¹n trung b¼nh cëng thæng qua ph²p nh¥n ma trªn) Cho

ma trªn A = (aij)i,j=1,2 cï 2 × 2 T¼m ma trªn P , Q sao cho

¡p ¡n: PT = Q =1/2

1/2



C¥u häi 2 (Biºu di¹n thuªt to¡n l m gi£m ch§t l÷ñng h¼nh £nh thæng quaph²p nh¥n ma trªn) Cho ma trªn A = [aij]i,j=1, ,4 cï 4 × 4 T¼m ma trªn P ,

Q sao cho ma trªn C = P AQ = (cij)i,j=1,2, trong â

¡p ¡n: PT = Q = 



1/2 01/2 0

C¥u häi 3 Cho ma trªn A = (aij)i=1,2, j=1,3 cï 2 × 3 T¼m ma trªn P , Q saocho

P AQ = 1

6X

C¥u häi 4 Cho ma trªn A = (aij)i=1,4, j=1,9 cï 4 × 9 T¼m ma trªn P , Q saocho ma trªn C = P AQ = (cij)i=1,2, j=1,3, cï 2 × 3 trong â

C¥u häi 5 Cho ma trªn A cï n2 × n2 T¼m ma trªn P , Q sao cho ma trªn

C = P AQ cï n × n biºu di¹n thuªt to¡n l§y gi¡ trà trung b¼nh cõa c¡c cöm

£nh º gi£m ch§t l÷ñng h¼nh £nh

C¥u häi 6 Cho ma trªn A cï n2× m2 T¼m ma trªn P , Q sao cho ma trªn

C = P AQ cï n × m biºu di¹n thuªt to¡n l§y gi¡ trà trung b¼nh cõa c¡c cöm

£nh º gi£m ch§t l÷ñng h¼nh £nh

1.7.2 Ma trªn trong thuªt to¡n l m mí £nh

Ta câ mët bùc £nh, º £m b£o quy·n ri¶ng t÷, ta ph£i l m mí g÷ìng m°tcõa ng÷íi trong £nh

Ta câ thº ùng döng ph²p l§y trung b¼nh cëng º l m vi»c n y ¦u ti¶n, tav¨n g¡n sè l¶n ma trªn t÷ìng ùng cõa bùc £nh

Gi£ sû ta c¦n l m mí và tr½ gâc tr¶n còng b¶n tr¡i Ta s³ t½nh trung b¼nh cëngcõa cöm c¡c gi¡ trà t÷ìng ùng v  g¡n t§t c£ gi¡ trà cõa cöm â b¬ng gi¡ tràtrung b¼nh C¡c và tr½ kh¡c v¨n giú nguy¶n

C¥u häi 7 (Biºu di¹n ma trªn trung b¼nh cëng thæng qua ph²p nh¥n matrªn) Cho ma trªn A = [aij]i,j=1,2 k½ch cï 2 × 2 T¼m ma trªn P , Q sao cho

ma trªn C = P AQ = [cij]i,j=1,2, k½ch cï 2 × 2 trong â

cij = 14X

i,j=1,2

aij vîi måi i,j

Sû döng k¸t qu£ ma trªn P, Q vøa t¼m ÷ñc, thüc h nh vîi ma trªn

A =1 4

2 9



C¥u häi 8 Cho ma trªn A = [aij]i=1,2, j=1,2,3 k½ch cï 2 × 3 T¼m ma trªn P ,

Q sao cho ma trªn C = P AQ = [cij]i=1,2, j=1,2,3, k½ch cï 2 × 3 trong â

cij = 16X

i=1,2, j=1,2,3

aij vîi måi i,j

Sû döng k¸t qu£ ma trªn P, Q vøa t¼m ÷ñc, thüc h nh vîi ma trªn

A =1 4 7

2 9 1



1.7.3 Ma trªn trong t¼m ki¸m o¤n nh¤c gèc

Gi£ sû ta nghe ¥u â mët o¤n nh¤c ng­n r§t quen thuëc m  t¤i thíi iºm

â khæng thº nhî ra nâ n¬m trong ca khóc n o Ta thu ¥m o¤n nh¤c ng­n â(câ thº s³ bà t¤p ¥m ho°c £nh h÷ðng bði ¥m thanh xung quanh) v  nhí m¡yt½nh t¼m ki¸m ca khóc t÷ìng ùng

Thuªt to¡n sau sû döng t½ch ma trªn (ho°c công câ thº sû döng t½ch ch§m

m  ta s³ håc Ch÷ìng 4), gióp ta gi£i quy¸t v§n · n y mët c¡ch t÷ìng èichu©n x¡c

¦u ti¶n, ta chån ra mët b i h¡t º kiºm tra Ta sè hâa o¤n nh¤c v  b ih¡t c¦n kiºm tra th nh ma trªn dáng (v²c tì dáng) Gi£ sû ta câ ma trªn gçm

11 gi¡ trà cõa o¤n nh¤c

v  ma trªn gçm 23 gi¡ trà cõa b i h¡t c¦n kiºm tra

Ti¸p ¸n, ta l§y tøng bë 11 gi¡ trà li¶n ti¸p trong 23 gi¡ trà cõa b i h¡t, v dòng t½ch ma trªn (ho°c câ thº hiºu l  t½ch ch§m giúa hai v²c tì) º ki¸m trat½nh khîp vîi 11 gi¡ trà trong o¤n nh¤c.

Ta xu§t ph¡t tø 11 gi¡ trà ¦u ti¶n

Ta s³ t½nh ë khîp cõa 2 o¤n ä v  xanh b¬ng c¡ch coi o¤n xanh l  matrªn h ng, o¤n ä l  ma trªn cët v  t½nh t½ch hai ma trªn â (công câ thºcoi o¤n ä v  xanh l  hai v²c tì h ng v  t½nh t½ch ch§m cõa chóng)

−9

−5

−9

−55

−9

−5

−9

−55

−8

−5

−99

Ta th§y ë khîp câ thº l  gi¡ trà ¥m ho°c d÷ìng Vîi nhúng ë khîp câ gi¡trà ¥m, ch­c ch­n sü kh¡c nhau giúa hai o¤n l  r§t lîn, do câ nhi·u nèt trong

b i nh¤c l  nèt tr¦m, trong khi nèt trong o¤n nh¤c l  nèt cao Ta s³ ch¿ quant¥m nhúng o¤n câ ë khîp d÷ìng

Ta câ thº biºu di¹n thæng qua ma trªn:

Vîi ma trªn b¶n ph£i l  ma trªn cët cõa b i nh¤c, ma trªn b¶n tr¡i l  o¤nnh¤c ng­n tành ti¸n d¦n sang ph£i Ð ¥y 31 l  gi¡ trà d÷ìng nhä nh§t, t÷ìngùng vîi

T÷ìng tü, ta câ c¡c o¤n nh¤c t÷ìng ùng vîi c¡c gi¡ trà d÷ìng cán l¤i Nh÷vªy vîi méi b i nh¤c, ta s³ t¼m ÷ñc c¡c o¤n nh¤c trong b i câ kh£ n«ngkhîp vîi o¤n nh¤c ng­n

C¥u häi 9 Cho o¤n nh¤c ng­n:

[4 2 7 − 1 10 − 2 − 1 3 5 − 5 − 5]

Cho c¡c b i nh¤c sau:

B i nh¤c 1: [1 3 5 7 − 2 − 9 5 2 1 4 − 2 − 3 − 3 5 − 9 5]

B i nh¤c 2: [4 − 2 1 4 − 6 − 1 4 3 4 1 2 − 3 − 9 1 − 1 2]

B i nh¤c 3: [−1 − 3 1 2 2 − 3 5 − 2 − 1 4 2 − 3 − 3 5 − 9 1]T¼m b i nh¤c câ o¤n khîp vîi o¤n nh¤c ng­n

1.7.4 Chuéi Markov, ma trªn ng¨u nhi¶n v  c¡c mæ h¼nh phê bi¸nChuéi Markov l  mët mæ h¼nh (ng¨u nhi¶n) mæ t£ mët chuéi c¡c sü ki»n câthº x£y ra, trong â x¡c su§t cõa méi sü ki»n ch¿ phö thuëc v o tr¤ng th¡i

¤t ÷ñc trong sü ki»n tr÷îc â Chuéi Markov th÷íng ÷ñc mæ t£ thæng qua

ma trªn ng¨u nhi¶n Ma trªn ng¨u nhi¶n l  mët ma trªn vuæng, câ c¡c th nhph¦n ·u nhªn gi¡ trà trong o¤n [0, 1] v  têng c¡c ph¦n tû trong còng mët

h ng b¬ng 1 (ma trªn ng¨u nhi¶n ph£i) ho°c têng c¡c ph¦n tû trong còng mëtcët b¬ng 1 (ma trªn ng¨u nhi¶n tr¡i) Ta s³ xem x²t c¡c mæ h¼nh iºn h¼nhsau

V½ dö 1.26 (Mæ h¼nh thíi ti¸t) X²t mæ h¼nh thíi ti¸t: n¸u hæm nay n­ngth¼ 90% ng y mai s³ n­ng, n¸u hæm nay m÷a th¼ 50% ng y mai công m÷a

Ma trªn A = (aij)i,j=1,2 t÷ìng ùng cõa mæ h¼nh n y l 

Ta °t tr¤ng th¡i 1 l  N­ng, tr¤ng th¡i 2 l  M÷a Gi¡ trà aij l  x¡c xu§t chuyºn

tø tr¤ng th¡i i hæm nay sang tr¤ng th¡i j ng y mai ¥y l  ma trªn ng¨u nhi¶nph£i

V½ dö 1.27 (Mæ h¼nh di c÷) Ta câ 3 qu¦n thº A, B, C Cù sau mët chuký:

- A ð l¤i A 50%, A sang B 30%, A sang C 20%;

- B sang A 10%, B ð l¤i B 25%, B sang C 65%;

- C sang A 60%, C sang B 20% v  C ð l¤i C 20%