Rèn luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

Rèn luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông Phùng Văn Đoàn Trường Đại học Giáo dục Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận

Rèn luyện tư duy thông qua dạy học giải toán

“Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi

Toán Trung học Phổ thông

Phùng Văn Đoàn

Trường Đại học Giáo dục Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học; Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn: TS Phạm Văn Quốc

Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Hệ thống hóa cơ sở lí luận về tư duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục

học, lý luận dạy học môn Toán Phân tích các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về hàm số và phương trình hàm Tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phương, cấp Quốc gia, vô địch Toán các nước trên thế giới, vô địch Toán các khu vực

và vùng lãnh thổ, vô địch Toán quốc tế Nghiên cứu vấn đề “Phương trình hàm” trên

các diễn đàn toán học hiện nay

Keywords: Toán học; Giáo dục; Phương pháp giảng dạy

làm đề tài để nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống các bài tập phương trình hàm trong các tài liệu chuyên khảo môn Toán, trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phương, Quốc gia và Quốc tế, để từ đó xem xét phân loại và nghiên cứu phương pháp giải chúng Qua đó có thể đưa ra được một số dạng bài tập phương trình hàm có thể khai thác để rèn luyện các thao tác

và các kĩ năng tư duy cho học sinh

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc khai thác sử dụng bài tập “Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy cho học sinh THPT

5 Giả thuyết khoa học

Qua việc dạy học giải một số dạng toán “Phương trình hàm” có thể rèn luyện được cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tư duy Toán học, qua đó góp phần nâng cao được chất lượng dạy và học Toán mang tính chiều sâu ở các trường THPT hiện nay

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lí luận

6.2 Nghiên cứu thực tiễn

7 Phạm vi nghiên cứu

Bài tập “Phương trình hàm” và một số phương pháp giải “Phương trình hàm” thường dùng

8 Một số nét mới của đề tài

Tuyển chọn được phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm” để có thể dùng

để dạy học bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán THPT

Khai thác được một số bài tập “Phương trình hàm” để rèn luyện một số phẩm chất tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 : Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm” và việc rèn luyện

tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

1.2 Tư duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện

tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT

1.2.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan

hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan

(Theo định nghĩa trong Phạm Minh Hạc (chủ biên) Tâm lý học Nxb Giáo dục Hà

Nội, 1992)

1.2.2 Một số đặc điểm cơ bản của tư duy

Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái quát, tư duy có

tính gián tiếp;

Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ có quan

hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thống

nhất giữ tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy;

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tượng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong trừu tượng, tựa hồ như làm thành

chỗ dựa cho tư duy” (dẫn theo Đavưđov V V Các dạng khái quát hóa trong dạy học Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000)

1.2.3 Tư duy Toán học

1.2.3.1 Các loại hình tư duy Toán học

Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tương quan khi một đối

tượng này thay đổi kéo theo đối tượng khác thay đổi

Tư duy lôgic là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo các quy tắc suy luận

Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phương diện mới, giải quyết vấn đề

theo cách mới, vận dụng trong hoàn cảnh mới

Tư duy biện chứng là xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng, có

tính quy luật, trong quan điểm toàn diện, vận động và phát triển theo nhiều quan điểm khác nhau

(Dựa theo Bùi Văn Nghị Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên Trung Học Phổ

Thông chu kì 2004 – 2007 Nxb Đại học Sư phạm, 2005)

1.2.3.2 Các thao tác tư duy Toán học

Phán đoán : Dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điều chưa

biết, chưa xảy ra

Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật sự hay

bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với tổng hợp Tổng hợp là

tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể; trái với phân tích Còn theo Triết học thì Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng

bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó Tổng hợp là phương pháp dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để nhận thức được cái toàn thể

So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác nhau của

một số đối tượng So sánh thường dẫn đến tương tự, khái quát hóa

Tương tự : Là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của

những đối tượng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tương tự nhau nếu đường lối và phương pháp chứng minh giống nhau )

Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối

tượng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn chúa tập hợp ban đầu làm tập con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát, hay

mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp đã xét

Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu hiệu bản

chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tương đối)

(Dựa theo Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học môn Toán Nxb Đại học Sư phạm

Hà Nội, 2002)

1.2.4 Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”

1.2.4.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ;

Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của con người lao động mới

(Dựa theo Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học môn Toán Nxb Đại học Sư phạm

Hà Nội, 2002)

1.2.4.2 Phương pháp chung để giải Toán

1.2.4.3 Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh THPT

Chuyên đề “Phương trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm mĩ và Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhưng đối với học sinh khá và giỏi Toán thì nếu được bồi dưỡng chuyên đề này thì tư duy của học sinh sẽ được rèn luyện và phát triển rất tốt

vì các bài toán về phương trình hàm thể hiện được nhiều nét để học sinh có thể rèn luyện tương đối đầy đủ các thao tác tư duy Toán học, nó còn đòi hỏi học sinh phải tư duy rất cao Vì vậy việc bồi dưỡng chuyên đề này cho học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giáo dục ở các trường THPT hiện nay

1.2.5 Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”

1.2.5.1 Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT

Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Toán và đạt thành tích cao trong học tập môn Toán Những học sinh có khả năng về Toán là những học sinh tiếp thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học, biết suy luận và lập luận trong chứng minh định lí hay bài toán, biết liên hệ các chủ đề toán trong chương trình Toán THPT

1.2.5.2 Vai trò của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

1.2.5.3 Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở các trường THPT hiện nay

Hiện nay, chuyên đề “Phương trình hàm” chưa được đề cập nhiều trong các trường THPT Các học sinh chuyên Toán đã được tiếp cận và được học “Phương trình hàm” từ nhiều năm nay, còn các học sinh ở các trường phổ thông thì rất ít có cơ hội tiếp cân và là lĩnh vực rất xa đối với họ, khi gặp phải thì rất bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn để gải quyết đa số học sinh đều cảm thấy “Phương trình hàm” là lĩnh vực rất khó bởi một trong các lí do là: ít được rèn luyện, tài liệu tham khảo viết về “Phương trình hàm” rất ít, các giáo viên không dạy chuyên không đầu tư nghiên cứu sâu về mảng này nên ngại dạy cho học sinh

Vì vậy chuyên đề “Phương trình hàm” là cũ trong Toán học sơ cấp nhưng lại là vấn đề mới đối với hầu hết học sinh THPT hiện nay

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƯƠNG TRÌNH HÀM”

VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG 2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số

2.1.1 Các định nghĩa và tính chất

2.1.2 Đặc trưng của một số hàm số sơ cấp trong chương trình toán THPT

2.1.3 Khái niệm về “Phương trình hàm”

Phương trình hàm là phương trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số

Giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước

2.2 Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm”

2.2.1 Phương pháp đưa về hệ phương trình

Phương pháp đưa về hệ phương trình là một phương pháp thường được sử dụng cho việc giải các phương trình hàm có dạng

a x f u x + b x f v x = c x , trong đó a x b x c x u x v x( ), ( ), ( ), ( ), ( ) là các hàm số cho trước, còn f là hàm số cần tìm thỏa mãn phương trình hàm trên

Thông thường khi giải phương trình hàm dạng trên thì chúng ta thường dùng các phép thế thích hợp để tạo ra các phương trình hàm khác có dạng tương tự Kết hợp phương trình hàm đã cho với các phương trình hàm vừa tạo ra sẽ được một hệ gồm nhiều phương trình hàm

và từ hệ này ta có thể tìm ra được hàm số theo yêu cầu Phương pháp làm như vậy được gọi là phương pháp đưa về hệ phương trình

Bài toán 1 (Việt Nam 2000) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ® ¡ thỏa mãn

Lời giải Thay x bởi 1- x vào phương trình (1) ta được

2.2.2 Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2”

Phương trình “Sai phân cấp 2” là phương trình có dạng

au + + bu + + cu = , trong đó a b c , , là các hằng số cho trước và u n là số hạng tổng quát của một dãy số chưa được xác định với n Î ¥

Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2” được thể hiện như sau

Giả sử ta cần tìm tất cả các hàm số f : D ® ¡ thỏa mãn

af f x + bf x + cx = , " Îx D Với a b c , , là các hằng số thuộc ¡ * cho trước

Thay x bởi f x n( ) vào phương tình trên ta được

Khi đó ta có phương trình sai phân au n+2 + bu n+1+ cu n = 0, " Î ¥n

Ta có phương trình đặc trưng 2

0

a l + b l + c = Giả sử l l1; 2 là các nghiệm của phương trình đặc trưng

Theo lý thuyết về phương trình Sai phân nếu l l1; 2 là các nghiệm thực ta có

l ¹ l thì u n = A l1n + B l2n, " Î ¥n

l = l = l thì u n = (A n + B l) n, " Î ¥n

Nếu l l1; 2 là các nghiệm phức thì u n = r A n( cosn j + B sinn j ), " Î ¥n , trong đó r j,

lần lượt là mô đun và Arcgument của các số phức l l1; 2

Bài toán tổng quát 1 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

Thử lại thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn bài toán là

Vậy hàm số cần tìm là ( ) = x, " Î ¡x

2.2.4 Phương pháp Quy nạp Toán học

Phương pháp Quy nạp Toán học là phương pháp thường được sử dụng trên tập hợp các số tự nhiên Khi sử dụng phương pháp này vào việc giải “Phương trình hàm” ta thường thực hiện theo các bước:

- Tính giá trị của hàm số f cần tìm tại một số giá trị đầu tiên của tập hợp các số tự nhiên dựa vào giả thiết của bài toán

- Dựa vào các giá trị của f vừa tính ta dự đoán công thức của hàm số f

- Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng quy nạp

Trong trường hợp hàm số f cần tìm có tập xác định là ¢ ¤ ¡ , , thì ta phải tìm công thức của hàm số f trên tập ¥ trước rồi mở rộng công thức vừa tìm được

Bài toán 34 (Anh 2010) Tìm tất cả các hàm f :¡ ® ¡ thỏa mãn

Lời giải Cho y = 0 vào (50) ta đƣợc f x( )( (0)f - 1)= 0, " Î ¡x

Nếu f(0)¹ 1Þ f x( ) = 0, " Î ¡x (không thỏa mãn bài toán) Nên f(0)= 1

( ) ( 1) ( 1)

f x f - = f x - - x hay 0= f x( - 1)- x Þ f x( )= +1 x , " Î ¡x

Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán

Vậy các hàm số cần tìm là f x( ) = 1- x, " Î ¡x và f x( ) = 1+ x, " Î ¡x

2.2.6 Phương pháp sử dụng phương trình hàm Cauchy

Nhiều bài toán “Phương trình hàm” khi ta giải cần phải sử dụng các kết quả của

“Phương trình hàm Cauchy” Trong các bài toán “Phương trình hàm” đó thì giả thiết của bài toán đưa ra là hàm số cần tìm có tính liên tục trên một tập hợp nào đó và thỏa mãn một đẳng thức mà chúng ta có thể biến đổi chứng và minh được hàm số cần tìm có tính chất cộng tính, nhân tính, hoặc một hệ thức chuyển đổi giữa các phép toán số học Nhiều trường hợp ta phải dùng phép đặt hàm phụ để đưa “Phương trình hàm” về dạng “Phương trình hàm” mới theo hàm phụ thỏa mãn “Phương trình hàm Cauchy”

Bài toán 59 Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

Thử vào (105) thấy thỏa mãn

Vậy hàm số thỏa mãn bài toán là 2

( )= x + bx, " Îx ¡ ;bÎ ¡

2.2.7 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu, cộng tính và nhân tính của hàm số và tính đối xứng giữa các biến

Khi giải một “Phương trình hàm” nào đó ta cũng nên chú ý đến các điểm sau

Nếu hệ thức đã cho có tính đối xứng giữa các biến với nhau thì chúng ta nên đổi chỗ các biến đó với nhau để thu được một hệ thức khác

Nếu hàm số f cộng tính và đơn điệu trên ¡ hoặc ¡ + thì ( )= ax, " Î ¡x

Nếu hàm số f đơn điệu thực sự thì f đơn ánh

Nếu hàm số f đơn điệu và có công thức f trên tập số hữu tỉ ¤ thì ta thường chọn hai dãy số hữu tỉ đơn điệu ngược nhau và chuyển qua giới hạn để suy ra công thức f trên ¡

hoặc ¡ +

Trong trường hợp nào đó nếu ta dự đoán được công thức của hàm số f mà hàm số f

lại có tính đơn điệu thì ta có thể chứng minh tính duy nhất của công thức đó

Nếu ta chứng minh được hàm số f cần tìm vừa có tính chất cộng tính lại vừa có tính chất nhân tính thì ta f x =( ) 0, " Î ¡x hoặc ( )= x, " Î ¡x

2.3 Rèn luyện một số phẩm chất tư duy thông qua một số bài toán “Phương trình hàm”

2.3.1 Rèn luyện tư duy “Khái quát hóa” và “Đặc biệt hóa” thông qua một số bài toán

Một là, ngoài việc dự đoán công thức của hàm số dựa vào tính chất đặc trưng của hàm số cần

tìm thì ta có thể dự đoán công thức đó trên tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp nguồn đã cho của bài toán Để làm được điều này chúng ta có thể đặc biệt hóa rồi đi theo con đường quy nạp

Hai là, chúng ta có thể xây dựng được chuỗi các bài toán trên các tập hợp chứa trong tập hợp

đã cho

Trong trường hợp chúng ta muốn có công thức của hàm số f đã đúng trên tập hợp này mà cũng đúng trên tập hợp chứa nó tức là chúng ta đi từ tập hợp nhỏ hơn đến tập lớn hơn chứa tập hợp đã cho thì có thể ta phải thêm điều kiện nào đó để hàm số f thỏa mãn Nếu thực hiện được điều này thì ta đã khái quát được một bài toán đó

Nhiều trường hợp chúng ta không chỉ khái quát hóa một bài toán bằng cách mở rộng một tập hợp mà còn có thể mở rộng bài toán bằng các con đường khác như thêm vào “Phương trình hàm” một hay vài hàm số cần tìm khác, hoặc thêm biến vào “Phương trình hàm” đã cho

để được một “Phương trình hàm” mới tổng quát hơn,…