Rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz PRACTISING SKILLS OF SOLVING AND CREATING NEW ALGEBRA PROBLEMS FOR THE GRADE - 10 STUDENS THROUGH '' AM - GM AND CAUCHY - SCHWARZ '' UNEQUALITIES NXB H : ĐHGD, 2012 Số trang 91 tr + Lê Xuân Nghị Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lí luận phương pháp dạy học (Bộ mơn Tốn); Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương Năm bảo vệ: 2012 Abstract Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ sáng tạo, nâng cao khả sáng tạo học sinh Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz số toán vận dụng Xây dựng số giảng Bất đẳng thức AM GM Cauchy - Schwarz theo hướng rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông (THPT) Tổ chức thực nghiệm đánh giá hiệu Keywords: Phương pháp dạy học; Toán học; Kỹ giải toán; Lớp 10; Khả sáng tạo Content Lý chọn đề tài + Kĩ giải toán sáng tạo tốn yếu tố định thành cơng hoạt động giảng dạy Nếu học sinh thiếu kĩ giải toán dẫn đến khả thực hành yếu, thiếu sáng tạo học toán dẫn tới thụ động học tập, giảm sáng tạo, chủ động sống Hiện quan tâm đến hoạt động chưa nhiều, quan tâm đến việc có sẵn đề tập trung tìm lời giải mà ý đến nguồn gốc mục đích tốn, lại có lời giải Cũng tương tự việc tập trung rèn cho học sinh giải đề thi tuyển sinh đại học, để học sinh thi đại học đạt điểm cao theo khuôn mẫu định trước mà xem nhẹ hoạt động sáng tạo học sinh hoạt động học tập + Trong tốn sơ cấp nhiều người cho khó tìm hướng sáng tạo từ Bất đẳng thức quen thuộc AM - GM Cauchy - Schwarz Chúng ta thường quen với việc giải cho học sinh giải tốn có sẵn mà chưa tìm mối liên hệ với dạng toán liên quan phát triển, sáng tạo thành tốn Cần tích hợp kĩ giải phương trình chứng minh bất đẳng thức để nhận dạng toán, giải sáng tạo toán + Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: " Rèn luyện kĩ giải sáng tạo tốn cho học sinh lớp 10 thơng qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM Cauchy Schwarz " Lịch sử nghiên cứu 2.1 Trên giới: + Các ghi chép cịn lại tốn học Hy Lạp sử dụng suy luận quy nạp, dựa kinh nghiệm tính tốn hình thành quy luật toán học Điều cho thấy kĩ giải toán xuât từ trước ngày phát triển + Hiện nay, Trong nhà trường phổ thông mơn Tốn giữ vị trí quan trọng Những tri thức kĩ tốn học trở thành cơng cụ để nghiên cứu, vận dụng môn khoa học khác Ở nước phát triển có giáo dục tiên tiến Anh, Mỹ, Pháp, họ trọng đến rèn kĩ giải toán sáng tạo cho học sinh từ cấp tiểu học, học sinh họ chủ động, sáng tạo, có khả tư tự học, tự nghiên cứu tốt 2.2 Ở Việt Nam + Trong tiếp cận dạy học truyền thống, người ta thường quan tâm đến kết hoạt động dạy học kết kì thi mà xem nhẹ trình dẫn đến kết + Hiện xu hòa nhập với phát triển giáo dục tiên tiến giới Nền giáo dục nước nhà có nhiều bước chuyển biến mạnh mẽ Chúng ta quan tâm đến chất lượng sản phẩm hoạt động giáo dục phải đáp ứng yêu cầu xã hội Trong dạy học giáo viên kết hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực ý đến việc rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh, nhiên hiệu cịn phụ thuộc nhiều vào trình độ người thầy ý thức người học nhận thức xã hội Kĩ sáng tạo toán chưa đề cập đến chương trình giáo dục phổ thông Mục tiêu nghiên cứu + Mục tiêu nghiên cứu đề tài nhằm rèn luyện kĩ giải toán bất tạo toán cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung đẳng thức sáng Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz + Xây dựng số giảng Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz nhằm rèn luyện kĩ giải toán bất đẳng thức sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 Phạm vi nghiên cứu 4.1 Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2011 đến tháng 11/2012 4.2 Nội dung nghiên cứu + Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz + Kĩ giải toán bất đẳng thức sáng tạo toán học sinh lớp 10 Mẫu khảo sát + Giáo viên dạy toán trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội + Học sinh lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội năm học 2011-2012 Câu hỏi nghiên cứu Làm để rèn luyện kĩ giải toán bất đẳng thức sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 THPT Giả thuyết nghiên cứu Thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz rèn luyện cho học sinh lớp 10 kĩ giải sáng tạo toán Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ sáng tạo, nâng cao khả sáng tạo học sinh + Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz số toán vận dụng + Xây dựng số giảng Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz theo hướng rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 THPT + Tổ chức thực nghiệm đánh giá hiệu quả, tính khả thi đề tài Phƣơng pháp nghiên cứu 9.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận + Nghiên cứu tài liệu Tâm lý học, Giáo dục học, Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn, + Nghiên cứu SGK Đại số Giải tích 10, báo chí, internet 9.2 Phương pháp quan sát + Quan sát sở vật chất, điều kiện học tập nhà trường + Quan sát phương pháp giảng dạy giáo viên trình học tập học sinh 9.3 Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm + Phiếu điều tra ý kiến giáo viên học sinh kĩ giải sáng tạo tốn bất đẳng thức chương trình tốn 10 + Dạy thực nghiệm lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội Dự kiến luận 10.1 Luận lí thuyết + Đưa sở lí luận kĩ sáng tạo phát triển tốn thơng qua nội dung Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz 10.2 Luận thực tế + Đưa đề xuất xây dựng số giảng Bất đẳng thức AM - GM Cauchy Schwarz nhằm rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 + Tổ chức thực nghiệm, kiểm tra đánh giá hiệu quả, tính khả thi đề tài 11 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Rèn luyện kĩ giải sáng tạo tốn cho học sinh lớp 10 THPT thơng qua Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz Chương 3: Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài 1.1.1 Kĩ giải toán Người ta phát rằng: Khi toán khác hẳn với toán làm mà học sinh giải nhờ kĩ có cách tự phát trình học tập Đây trình tư thực hiệu tốn nhiều thời gian công sức Phân tích q trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy giáo viên học tập học sinh, phát phương pháp hiệu bổ sung cho hoạt động giảng dạy tìm kiếm, hệ thống kĩ giải toán cung cấp cho học sinh chuyên đề đặc biệt Với cách này, nhanh chóng tiếp cận với nhiều dạng tốn khó giới để rèn luyện tư nhận thức mức độ cao, tiết kiệm nhiều thời gian cho trình đào tạo Khái niệm kĩ giải toán: Kĩ giải toán sử dụng kiến thức giải toán đặt 1.1.2 Kĩ sáng tạo toán 1.1.2.1 Khái niệm sáng tạo + Theo bách khoa toàn thư: "Sáng tạo hoạt động người sở quy luật khách quan thực tiễn nhằm biến đổi giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích nhu cầu người Sáng tạo hoạt động có tính đặc trưng khơng lặp lại, tính độc đáo nhất" + Theo từ điển tiếng việt: "Sáng tạo tạo giá trị vật chất tinh thần Hay sáng tạo tìm mới, cách giải mới, khơng bị gị bó phụ thuộc vào có" + Vậy hiểu ngắn gọn: Sáng tạo tìm hiệu quả, có ích, độc đáo 1.1.2.2 Kĩ sáng tạo toán toán học + Xuất phát từ tập có, giáo viên hướng dẫn học sinh giải tạo tốn phù hợp với trình độ lực học sinh + Rèn luyện kĩ sáng tạo toán tức giúp học sinh chủ động học tập, tự đặt nhiệm vụ học tập cho biết cách giải nhiệm vụ 1.1.3 Rèn luyện kĩ sáng tạo toán cho học sinh + Thực tế giảng dạy mơn Tốn THPT cho thấy từ tốn phát triển thành tốn hay khó phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, điều quan trọng giúp học sinh phát triển tư sáng tạo chủ động học tập Bằng kinh nghiệm giảng dạy kiến thức chuyên môn, người giáo viên hướng dẫn học sinh học sinh chủ động, sáng tạo, phát huy tốt lực thân, khai thác có phát triển hình thành hiệu + Xin lấy ví dụ cụ thể: Từ tốn đơn giản Với số thực a,b,c dương thay đổi Chứng minh a2 b2 c2 abc    bc ca ab (*) + Việc chứng minh toán học sinh khơng khó khăn em chọn điểm rơi áp dụng bất đẳng thức trung bình + Từ tốn ta hướng dẫn học sinh sáng tạo nhiều toán nhằm giúp chủ động, sáng tạo học tập, làm học tự nhiên hiệu 1.2 Thực trạng việc dạy học Bất đẳng thức trƣờng THPT 1.2.1 Thực trạng việc học Bất đẳng thức trường THPT + Trong chương trình tốn THPT, bất đẳng thức chuyên đề khó Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy bản, học sinh tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức Ngoài học sinh giới thiệu thêm bất đẳng thức AM – GM bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với lí thuyết học sinh lớp 10 khó vận dụng linh hoạt để giải toán bất đẳng thức + Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức học sinh trường THPT, trình giảng dạy sử dụng phương pháp điều tra phiếu để biết thuận lợi khó khăn từ phía học sinh từ điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng 1.2.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức trường THPT + Theo sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng thức đưa vào chương IV Đại số lớp 10 Đây phần kiến thức khó học sinh thường xuất đề thi tuyển sinh chọn học sinh giỏi Chính mà dạy nội dung trở nên khó khăn số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học sinh tìm hướng giải tốn cách đơn giản nhất, giúp học sinh hứng thú chủ động học tập + Để tìm hiểu rõ thực trạng dạy học bất đẳng thức trường THPT Tôi tiến hành quan sát, dự lấy ý kiến đồng nghiệp, sau điều tra phân tích tơi thu kết thực tế nhiều học sinh cho bất đẳng thức chủ đề khó, đặc biệt việc áp dụng giải toán 1.3 Kết luận chƣơng Xuất phát từ sở lý luận tìm hiểu thực tiễn trình bày trên, tơi kết luận : Nội dung kiến thức toán chủ đề bất đẳng thức vô phong phú đa dạng Dạy học bất đẳng thức giúp cho học sinh khá, giỏi rèn luyện tốt kĩ giải toán chủ động sáng tạo tốn mới, thơng qua dạy học bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz người giáo viên hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức cách tốt nhất, vận dụng làm tập cách hiệu Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm liên quan đến rèn luyện kĩ giải toán sáng tạo học sinh, ngồi chúng tơi tham khảo đồng nghiệp, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề bất đẳng thức nhà trường phổ thơng, từ chúng tơi xây dựng số giảng bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz nhằm rèn kĩ giải toán nâng cao khả sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 Vấn đề trình bày cụ thể chương sau CHƢƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TỐN MỚI CHO HỌC SINH LỚP 10 THƠNG QUA BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ CAUCHY - SCHWARZ Trong chương giới thiệu bất đẳng thức AM – GM , Cauchy – Schwarz số dạng hệ quả, ngồi chúng tơi trình bày số ví dụ vận dụng số tập tham khảo nhằm rèn luyện kĩ giải toán sáng tạo toán dạy học bất đẳng thức Cuối chương xây dựng hai giáo án thực nghiệm dạy học bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 Sau nội dung cụ thể 2.1 Giải Sáng tạo toán từ Bất đẳng thức AM – GM 2.1.1 Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực khơng âm 2.1.1.1 Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho số ab  ab Với a, b hai số thực không âm thay đổi Ta có 2.1.1.2 Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho số Với a, b, c số thực dương thay đổi ta có abc  abc 2.1.1.3 Bất đẳng thức AM – GM cho n số Với a1, a2, an số thực không âm Chứng minh a1  a   a n n  a1 a a n viết dạng n          n i 1  i 1  n n n Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh bất đẳng thức + Với n = 1, hiển nhiên bất đẳng thức  k k k + Giả sử bất đẳng thức với n = k  tức        k i 1  i 1  + Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + k Ta có S k 1 k 1    k  i 1 a i 1 i  a k 1 k 1 Áp dụng giả thiết quy nạp ta S k 1 k   k     a k 1    k 1  k 1 i 1       (*)   k 1  i 1  k Ta chứng minh  k k k     a k 1    i 1   k 1 Kí hiệu x k 1  k k     , y k 1  a k 1 (*)  k.x k 1  y k 1  (k  1) x k y (**)    i 1  k k k Ta có (**)  k.x ( x  y)  y( y  x )    k k 1 k 2 k 3 k 1  ( x  y) k.x  y( y  y x  y x   x )    k k k k 1 k k 1  ( x  y) ( x  y )  ( x  y x)   ( x  y.x )     ( x  y) ( x k 1  x k 2 y   y k 1 )  x( x k 2  x k 3 y   y k 2 )   x k 1  Vì x, y  nên bất đẳng thức cuối ln đúng, ta có ĐPCM 2.1.2 Một số ví dụ áp dụng 2.1.2.1 Một số tốn bất đẳng thức đồng bậc Ví dụ 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi, chứng minh a2 b2 c2 abc    bc ca ab + Nhận xét:  a2 bc  Vai trò ba số a, b, c nhau, dấu a = b = c ta có từ ta bc cân hệ số áp dụng AM –GM  Nếu kết hợp bất đẳng thức a + b + c  33 a.b.c thay đổi hệ số, thay đổi bậc số hạng ta thu nhiều toán như: Bài 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = Chứng minh a2 b2 c2    bc ca ab Ví dụ 2; ( IMO 1995) Với a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = Chứng minh 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) + Nhận xét:  Để áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ta cần cân hệ số số hạng để dấu đẳng thức xảy  Các số hạng phải bậc  Bằng cách thay đổi hệ số a,b,c thay đổi bậc số hạng ta tạo nhiều toán tương tự Bài 2; Với a, b, c số thực dương thay đổi, chứng minh a4 b4 c4    a  b  c  2 b(b  3c) c(c  3a) a(a  3b) 16 Trên số toán bất đẳng thức đồng bậc đối xứng, sau ta xét số tốn mà số hạng khơng đối xứng Ví dụ 4; Với a, b, c số thực dương thay đổi, chứng minh a 3b c  c2 b   ac  ab  b ac Giải Chia hai vế bất đẳng thức cho bc ta thu a 3b  Đặt a  x, b  c a a     b ac b c bc 1 , c  ta bất đẳng thức tương đương y z Với x, y, z số thực dương thay đổi, chứng minh x3 y3 z    xy  yz  zx y z x 2.1.2.2 Thay đổi bậc bất đẳng thức Trong mục trình bày số ví dụ thay đổi bậc bất đẳng thức số tập vận dụng Ví dụ 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca  Chứng minh a   b   c   2(a  b  c ) Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có (a  3).4  a 3 a7  a3  (b  3).4  b 3 b7  b3  (c  3).4  c 3 c7  c3  Cộng vế bất đẳng thức ta a3  b3  c3  a  b  c  21 Ta có (a  b  c).3  (a  b  c)  a  b  c  21 (a  b  c)  135   24 Từ giả thiết ab+bc+ca  suy a2 + b2 + c2  ab + bc + ca  Ta 3(a  b  c )  45(a  b  c ) a3 b3 c3  24 Tương đương a   b   c   2(a  b  c ) (ĐPCM) 2.1.2.3 Sử dụng số hạng số Trong mục chúng tơi trình bày số ví dụ tập chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cách sử dụng thêm số dấu đẳng thức xảy Ví dụ 1; Với a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn ab + a + b = 3, chứng minh a3 + b3  Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a3 + b3 +  3ab a3 + +  3a b3 + +  3b Cộng bất đẳng thức chiều ta ĐPCM 2.1.2.4 Sử dụng bất đẳng thức biến Trong mục xây dựng số bất đẳng thức biến áp dụng giải số tập vận dụng Ví dụ 1; Với  a  a, chứng minh a(1  a)  b, tìm GTLN biểu thức P = a2(1 – a) c, tìm GTLN biểu thức Q = a( – a )2 Trên số phương pháp giải toán sử dụng bất đẳng thức AM – GM nhằm rèn luyện kĩ giải toán sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 Trong phần sau xin giới thiệu bất đẳng thức Cauchy - schwarz số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 10 2.2 Giải Sáng tạo tốn thơng qua Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 2.2.1 BĐT Cauchy – Schwarz: Với số thực ai, bi ( i = 1, 2, …, n ) Ta có  n   n  n    bi     ai2 .  bi2   i 1   i 1   i 1  2.2.2 Một số ví dụ áp dụng Phần chúng tơi trình bày số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz Ví dụ 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi, chứng minh a b c   1 b  2c c  2a a  2b Giải Ta có   a b c a(b  2c)  b (c  2a )  c(c  2b)  (a+b+c)2 =   b  2c  c  2a c  2b   Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có b c   a (a  b  c)     .3(ab  bc  ca )  b  2c c  2a a  2b  Mặt khác ta có 3(ab+bc+ca)  (a+b+c)2 ta có ĐPCM Ví dụ 2; Với a, b, c số thực dương thay đổi, chứng minh M= a b c    b (c  a) c (a  b) a (b  c) 2(ab  bc  ca ) Giải Ta có 2  a   b c a b c      b(c  a )  c ( a  b)  a(b  c)  Áp  b c a c ( a  b) a (b  c)    b (c  a )  dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có 11  a b c    P.2(ab  bc  ca )    b c a   Mặt khác ta có a b c    nên suy P  (ĐPCM) 2(ab  bc  ca ) b c a 2.2.3 Dạng hệ 1:  n     n ai2  i 1   n Với  R, bi  R  ( i = 1, 2, … , n ) ta có  i 1 bi  bi i 1 Xuất phát từ toán bản, vận dụng hệ ta chứng minh xây dựng số tốn Ví dụ 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi Chứng minh a b c   1 b  2c c  2a a  2b Giải Áp dụng dạng hệ ta có a2 b2 c2 (a  b  c)   1 VT =  ab  2ac bc  2ab ac  2bc 3(ab  bc  ca ) Thay hệ số k ta thu Bài toán sau Bài toán 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi Chứng minh a b c    b  kc c  ka a  kb  k Hướng dẫn: Áp dụng dạng hệ ta có a2 b2 c2 (a  b  c)    VT =  ab  k ac bc  k ab ac  k bc (1  k )(ab  bc  ca )  k 2.2.4 Dạng hệ 2: Với , bi  R  ( i = 1, 2, … n ) ta có 12  n     n ai3  i 1  2.2.4.1   n i 1 bi     bi   i 1   n     n ai4  i 1  2.2.4.2   n i 1 bi     bi   i 1  2.2.5 Dạng hệ 3: Với , bi  R  ( i = 1, 2, … n ), chứng minh n  i 1  n   n        ai2  i 1    i 1   n n bi bi n bi  i 1 (3) i 1 Chứng minh n Từ hệ dạng thay bi bi ta  i 1  n     ai2    in  bi  bi i 1 Mặt khác ta có theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có  n   n    bi   n  bi    i 1   i 1  Ta suy i 1  n  bi  n.  bi   i 1   n   n         i 1    i 1  n n bi n. bi  i 1 n  (**) Từ (*) (**) có ĐPCM i 1 Một số toán vận dụng Bài 1; Với a, b, c số thực dương thay đổi, chứng minh a a b c abc b c  a  2b b  2c c  2a Hướng dẫn 13 (*) Ta có VT = VT  a2 a(a  2b)  b2 b(b  2c)  c2 c (c  a ) áp dụng Hệ ta có (a  b  c) a(a  2b)  b(b  2c)  c(c  2a) Mặt khác ta có a(a  2b)  b(b  2c)  c(c  2a)  (a  b  c).(3a  3b  3c)  3(a  b  c) Suy VT  abc ( ĐPCM ) 2.3 Xây dựng giảng vận dụng Bất đẳng thức AM – GM Trong mục xây dựng giảng vận dụng bất đẳng thức AM – GM nhằm rèn kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 2.4 Xây dựng giảng vận dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Trong mục xin nêu giảng vận dụng dạng hệ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhằm rèn luyện kĩ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 2.4 Kết luận chƣơng Chương trình bày việc rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 thông qua bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz Nội dung chương chia theo tiểu mục khác nhau, tiểu mục phân thành số dạng toán vận dụng Trong chương làm việc sau + Nêu bất đẳng thức AM – GM cách chứng minh + Nêu bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cách chứng minh + Một số ví dụ tập vận dụng bất đẳng thức AM – GM theo phương pháp  Sử dụng bất đẳng thức đồng bậc  Thay đổi bậc bất đẳng thức  Sử dụng số  Sử dụng bất đẳng thức biến + Một số ví dụ tập vận dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ba dạng hệ + Xây dựng giảng bất đẳng thức AM – GM + Xây dựng giảng vận dụng dạng hệ Cauchy – Schwarz 14 Trong ví dụ trình bày kĩ nhận biết trình bày lời giải đơn giản nhất, có phân tích hướng dẫn vận dụng bất đẳng thức để giải tốn Thơng qua ví dụ có hướng dẫn kĩ sáng tạo toán mới, toán tương tự tập vận dụng Với cách xây dựng giúp nội dung chương trình bày gọn hơn, dễ hiểu hơn, thuận lợi cho việc rèn kĩ giải toán sáng tạo toán cho học sinh CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm + Kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài + Thông qua thực nghiệm kịp thời rút kinh nghiệm điều chỉnh nội dung phù hợp với thực tiễn + Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm gồm: * Biên soạn giáo án phiếu học tập học sinh * Chọn lớp dạy thực nghiệm lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm Mỗi lớp tiết theo giáo án có chương * Đánh giá kết thực nghiệm 3.2 Đối tƣợng địa bàn thực nghiệm + Đối tượng thực nghiệm dạy học phần Bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 + Địa bàn thực nghiệm trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội + Lớp thực nghiệm 10A1 số lượng 47 HS lớp đối chứng 10A6 số lượng 45 học sinh 3.3 Thời gian thực nghiệm + Dạy thực nghiệm tháng 11 năm học 2011-2012 tháng 11 năm học 2012 - 2013 3.4 Nội dung tổ chức thực nghiệm Nội dung thực nghiệm lấy từ chương luận văn, cụ thể hai giảng : + Một số toán vận dụng bất đẳng thức AM – GM ( tiết ) + Một số toán vận dụng dạng hệ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ( tiết ) Để tiến hành thực nghiệm, chọn lớp thực nghiệm lớp 10A1 lớp đối chứng lớp 10A6 Đây hai lớp đa số học sinh có học lực có lực học tập mơn tốn tương đối tốt, điều kiện học tập sĩ số tương đối giống Tại lớp thực nghiệm, giáo viên sử dụng giáo án tập trung vào trọng tâm rèn kĩ giải toán hướng dẫn học sinh sáng tạo toán mới, lớp đối chứng, giáo viên sử dụng giáo án theo phương pháp thuyết trình, diễn giảng nội dung kiến thức chính, hướng dẫn học sinh ví dụ minh họa kết hợp cho học sinh giải tập vận dụng với mức độ kiến thức sát SGK 15 3.5 Kết dạy thực nghiệm Trước dạy thực nghiệm, tiến hành khảo sát mức độ kiến thức học sinh hai lớp số toán bất đẳng thức mà em học cấp với đề kiểm tra phiếu thăm dò ý kiến Sau dạy thực nghiệm, tơi tiếp tục có đề kiểm tra chung để làm sở đánh giá đánh giá kết học tập học sinh Đề kiểm tra kết thống kê điểm trình bày phụ lục Để khảo sát thái độ học tập học sinh, phát phiếu thăm dị ý kiến sau thực nghiệm trình bày phụ lục 3.6 Phân tích kết đánh giá Dựa sở phiếu lấy ý kiến kết kiểm tra trước sau thực nghiệm hai lớp 10A1 10A6 có nhận xét sau Trước dạy thực nghiệm, phiếu khảo sát cho thấy hầu hết HS khơng thích học bất đẳng thức cho học bất đẳng thức khó khả vận dụng giải tập không nhiều Kết kiểm tra trước dạy khảo sát cho thấy số điểm đạt loại khá, giỏi ít, nhiều đạt trung bình yếu Tại lớp đối chứng 10A6, sau tiến hành thực nghiệm số kiểm tra đạt loại khá, giỏi tăng lên ít, chủ yếu số trung bình số yếu khơng giảm kết phiếu thăm dò cho thấy đa số HS cho chủ đề bất đẳng thức khó, chưa hứng thú nhiều học tập chưa biết chủ động sáng tạo tình Hỏi trực tiếp ý kiến cho thấy HS chưa nắm hết kiến thức chưa biết cách sáng tạo toán mới, nhiều HS chưa biết vận dụng kiến thức để làm tập dẫn đến ngại học bất đẳng thức Tại lớp dạy thực nghiệm 10A1 sau dạy thực nghiệm cho thấy thay đổi rõ thái độ học tập trình độ kiến thức HS Trong học HS hứng thú học tập, phần sáng tạo tốn Từng nhóm sơi đưa ý kiến Sau học tơi có hỏi số HS thấy em thích học em vừa nắm vững kiến thức, vừa tham gia sáng tạo tập mới, em phát huy lực cá nhân chủ động tạo nhiệm vụ cho giải nhiệm vụ Kết phiếu thăm dò sau thực nghiệm cho thấy HS thích học bất đẳng thức, khơng sợ khó làm tập vận dụng thích nhiều chủ đề khác học tập theo hướng rèn kĩ giải toán chủ động sáng tạo toán Kết khảo sát sau thực nghiệm cho thấy số học sinh đạt điểm giỏi tăng lên số học sinh có điểm trung bình giảm, đặc biệt số điểm yếu, giảm rõ rệt Hầu hết HS nắm vững kiến thức biết vận dụng vào giải tập, nhiều HS biết tạo toán hiệu So sánh kết học tập lớp cho thấy thông qua hoạt động rèn kĩ giải sáng tạo toán từ bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz phát huy tính chủ đơng, sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh học tập hiệu Từ ý kiến góp ý đồng nghiệp cho thấy hoạt động dạy học ứng dụng nhân rộng hướng rèn luyện kĩ tăng khả sáng 16 tạo cho học sinh từ toán giúp học sinh hứng thú học tập kết đạt tốt KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Luận văn hồn thành thu kết sau : + Hệ thống hóa sở lý luận làm sáng tỏ khái niệm kĩ giải toán kĩ sáng tạo toán cho học sinh + Tìm hiểu thực trạng dạy học bất đẳng thức chương trình tốn THPT, đặc biệt khả sáng tạo HS thông qua dạy học bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz + Nêu số hướng rèn kĩ giải toán sáng tạo tốn thơng qua bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz + Minh họa thơng qua giáo án ứng dụng giải tốn sáng tạo tốn thơng qua bất đẳng thức AM – GM dạng hệ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz + Tiến hành thực nghiệm sư phạm cho kết khả quan, bước đầu khẳng định hiệu tính khả thi đề tài Với kết thực tế luận văn bước đầu khẳng định giả thuyết luận văn đúng, mục đích nghiên cứu luận văn phù hợp giả thuyết đạt hiệu ứng dụng thực tế Khuyến nghị Trong trình triển khai đề tài, mạnh dạn đề xuất số ý kiến sau : + Cần tăng cường thêm thêm thời lượng dành cho nội dung bất đẳng thức nội dung khó chương trình tốn THPT, việc tăng thời lượng giúp GV triển khai tốt hơn, hiệu kế hoạch giảng dạy + GV cần mạnh dạn việc đổi phương pháp giảng dạy, cần có nhiều thời gian tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo giảng dạy Trong trình giảng dạy, GV cần rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh song song với hoạt động sáng tạo tốn mới, thơng qua giúp học sinh chủ động học tập, giúp học sinh có thói quen chủ động, sáng tạo linh hoạt học tập sống Do thời gian nghiên cứu khả có hạn nên kết luận văn dừng kết luận ban đầu, nhiều vấn đề cần khai thác thêm luận văn tránh khỏi số sai sót Vì tác giả mong quan tâm, góp ý đồng nghiệp bạn đọc để giúp hoàn thiện đạt hiệu cao công tác giảng dạy 17 References Bộ Giáo Dục Đào Tạo Đại số giải tích 10 Nhà xuất Giáo dục, 2007 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Đại số giải tích nâng cao 10 Nhà xuất Giáo dục, 2007 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Bài tập Đại số giải tích 10 Nhà xuất Giáo dục, 2007 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Bài tập Đại số giải tích nâng cao 10 Nhà xuất Giáo dục, 2007 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Chuẩn kiến thức kĩ toán lớp 10 Nhà xuất Giáo dục, 2010 Hoàng Chúng Rèn luyện khả sáng tạo tốn học trường phổ thơng Nhà xuất Giáo Dục, 1969 Nguyễn Cảnh Toàn Soạn dạy lớp theo tinh thần dẫn dắt học sinh sáng tạo, tự giành lấy kiến thức Nghiên cứu giáo dục, 1995 Nguyễn Vũ Lƣơng ( Chủ biên) Các giảng bất đẳng thức Côsi Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng ( Chủ biên) Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 10 Nguyễn Vũ Thanh 263 toán bất đẳng thức chọn lọc Nhà xuất Giáo Dục, 1997 11 Nguyễn Vũ Thanh Bất đẳng thức Giá trị Nhỏ Nhất Nhà xuất Giáo Dục, 2006 12 Nguyễn Đức Tấn Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số Nhà xuất Giáo Dục, 2003 13 Phạm Kim Hùng Sáng tạo Bất đẳng thức Nhà xuất Hà Nội, 18 ... nhằm rèn luyện kĩ giải toán bất tạo toán cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung đẳng thức sáng Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz + Xây dựng số giảng Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Schwarz. .. CHƢƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ CAUCHY - SCHWARZ Trong chương giới thiệu bất đẳng thức AM – GM , Cauchy – Schwarz. .. hệ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhằm rèn luyện kĩ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 2.4 Kết luận chƣơng Chương trình bày việc rèn luyện kĩ giải sáng tạo toán cho học sinh lớp 10 thông