Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông

Phạm Văn Quốc Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Kĩ năng và kĩ năng gi ải toán; sự hình thành kỹ năng; vai trò của bài tập toán học; những phương pháp giải hê ̣ phương trình ; giải pháp

Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học

sinh khá giỏi Trung học phổ thông

Đào Thị Phương Thảo

Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận và PP giảng dạy; Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn: TS Phạm Văn Quốc

Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Kĩ năng và kĩ năng gi ải toán; sự hình thành kỹ năng; vai trò của bài tập toán học; những phương pháp giải hê ̣ phương trình ; giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh: rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cơ bản; rèn luyện kĩ năng thế; kĩ năng sử dụng phép cộng đại số; kĩ năng biến đổi về phương trình tích; kĩ năng đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình; kĩ năng sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình; kĩ năng đánh giá để giải hệ phương trình; kĩ năng sử dụng số phức để giải hệ phương trình Tiến hành thực nghiệm

và bảo vệ tổ quốc” Để thực hiện được mục tiêu này về phương pháp giáo dục cần phải “phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển trí tuệ cho học sinh, cung cấp cho các em kiến thức cơ bản, cần thiết để học tập các môn học khác và giải quyết một số bài toán thực tiễn

Theo nhà giáo nhân dân, GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng,

tư duy và tính cách” , trong đó kĩ năng có v ị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và tìm lối thoát cho việc giải quyết bài toán Hệ phương trình là một nội dung quan trọng của môn toán ở trường phổ thông Giải hệ phương trình là một nội dung thường gă ̣p trong kì thi tuyển sinh đa ̣i ho ̣c , cao đẳng, thi ho ̣c sinh giỏi Ở cấp hai các em đã được học về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ở lớp 10 các em được học về hệ phương trình bậc hai hai

ẩn và đến lớp 12 là hệ phương trình mũ, logarit Nô ̣i dung hê ̣ phương trình rất phong phú và khó

mà thời gian để dạy phần này rất ít Các bài tập giải hệ phương trình trong sách giáo khoa còn ít

và chỉ dừng lại ở những bài tập rất cơ bản, các sách tham khảo viết về hệ phương trình gần giống nhau và hướng dẫn những hê ̣ cơ bản còn với hê ̣ không mẫu mực thì có ít ví dụ và bài tập để rèn luyê ̣n kĩ năng Để giải được hê ̣ phương trình không mẫu mực này cần sử du ̣ng nhiều kĩ năng cho nên việc giải hệ phương trình trong kì thi tuyển sinh đại ho ̣c, cao đẳng, thi ho ̣c sinh giỏi là một khó khăn lớn đối với các em Do vậy để các em làm tốt phần này thì các em cần phải được rèn luyện nhiều về kĩ năng

Từ những lí do trên chúng tôi đã lựa chọn đề tài: “ Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh khá giỏi Trung học phổ thông ”

2 Lịch sử nghiên cứu

Đến nay đã có một số công trình nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng như “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán thiết diện của các hình không gian trong chương trình Trung học phổ thông” - luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, “ Rèn luyện kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thông” - luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Thanh Thủy, K3, ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2010, “ Rèn luyện kĩ năng giải bài toán phương pháp tọa độ trong không gian” - luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Yến , K3, ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2011

Trong đề tài này tác giả tập trung đi sâu nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình với đối tượng ho ̣c sinh khá , giỏi vì đây là nội dung tương tương đối khó và yêu cầu cao về

kĩ năng và tư duy đối với ho ̣c sinh

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu quả kĩ năng giải

hệ phương trình cho học sinh

- Nhiệm vụ nghiên cứu:

+ Nghiên cứu lí luận về kĩ năng giải toán, giải bài tập toán học

+ Nghiên cứu các kĩ năng chủ yếu khi giải hệ phương trinh

+ Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Là quá trình dạy học giải hệ phương trình ở trường phổ thông

- Khách thể nghiên cứu: Chương trình sách giáo khoa môn toán lớp 10,12 ở trường phổ thông

5 Mẫu khảo sát

Lớp 10A10, 10A11 năm học 2010-2011 trường THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh

6 Vấn đề nghiên cứu

+ Các kĩ năng giải hệ phương trình

+ Giải pháp để rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình

7 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu hệ thống được các kĩ năng giải hê ̣ phương trình , nhận da ̣ng được mô ̣t số loa ̣i hê ̣ phương trình, lựa chọn được các ví dụ, các bài tập và có biện pháp rèn luyện kĩ năng thì sẽ giúp các em học sinh học tốt nội dung hệ phương trình và tạo niềm vui, hứng thú để học môn toán

8 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lí luận: nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng giải toán,về dạy học giải bài tập toán

+ Điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học giải hệ phương trình + Thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải hệ phương trình để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1.Cơ sở lí luận và thực tiễn;

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh;

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán

Khái niệm “Kĩ năng” được sử dụng nhiều trong môn toán cũng như trong đời sống Vậy

kĩ năng là gì?

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương, “kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”

Theo Từ điển bách khoa Việt Nam 2 “Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” Trong đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt việc gì

Theo Polya G Sáng tạo toán học (bản dịch) “Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp”

Theo Polya G Giải một bài toán như thế nào “Trong toán học kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Từ những quan niệm trên về kĩ năng tôi cho rằng: Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng những kiến thức trong nội dung môn toán bao gồm: Định nghĩa, khái niệm, định lý, thuật giải, phương pháp… và kiến thức một số môn học khác cũng như kiến thức thực tế để giải quyết những bài toán

1.1.2 Sự hình thành kỹ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ

sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức ho ̣c sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyê ̣n kĩ năng tương ứng

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt

ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Con đường hình thành kĩ năn g rất phong phú và nó phu ̣ thuô ̣c vào các tham số như: Kiến thức xác đinh kĩ năng , yêu cầu rèn luyê ̣n kĩ năng , mức đô ̣ tích cực , chủ động của học sinh…Có hai con đường để hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho học sinh những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động

- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán cụ thể

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho học sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đính nhất định

Sự hình thành kĩ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:

- Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng Vì thế, tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh trong việc hình thành kĩ năng

- Có khả năng khái quát hóa đối tượng một cách toàn thể

1.1.3 Điều kiện để có kĩ năng

Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải:

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hiện hành động

- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra

- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

1.1.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải bài tập toán học có thể chia thành ba mức độ:

- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài tập cơ bản hình thành các thao tác

cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được những bài tập tương tự như bài mẫu

- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra được những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn

đề khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.2.1 Mục tiêu dạy môn Toán

1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT

1.3 Vai trò của bài tập toán học

1.4 Như ̃ng phương pháp giải hê ̣ phương trình

1.5 Giải pháp rèn luyện kĩ năng gia ̉ i toán cho ho ̣c sinh

1.5.1 Tổ chư ́ c các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động , tích cực, độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

1.5.2 Trang bi ̣ các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh

1.5.3 Quy trình hình thành kĩ năng giải hê ̣ phương trình cho học sinh

Theo chúng tôi quy trình hình thành kĩ năng giải hê ̣ phương trình cho h ọc sinh gồm ba bước sau:

Bước 1: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho học sinh những điểm cần thiết

Bước 2: Học sinh tự rèn luyện kĩ năng giải toán theo hệ thống bài toán có chủ định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu sót cho học sinh

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn

1.6 Tóm tắt chương 1

Trong chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến kĩ năng giải toán đó là: Quan niệm về kĩ năng và kĩ năng giải toán ; Sự hình thành kĩ năng; Điều kiện để có kĩ năng; Các mức độ của kĩ năng giải toán, nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Ngoài ra còn trình bày về vai trò của bài tập toán học; Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Nội dung hệ phương trình là một trong những nội dung tương đối khó với học sinh mà thời gian để giảng dạy phần này cũng không nhiều Do đó giải pháp rèn luyện kĩ năng giải

hệ phương trình cần được quan tâm nhiều

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH

2.1 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cơ bản

2.1.1 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất đối với 2 ẩn

2.1.2 Hệ đối xứng loại I

2.1.3 Hệ đối xứng loại II

2.1.4 Hệ đẳng cấp bậc 2

2.2 Rèn luyện kĩ năng thế

2.2.1 Rèn luyện kĩ năng rút một ẩn theo ẩn kia

Nếu trong hê ̣ có phương trình bâ ̣c nhất đối với mô ̣t ẩn ta có thể rút ẩn đó theo ẩn kia và thế vào phương trình còn la ̣i ta được phương trình mô ̣t ẩn

391152

)1(9

53 2

x y xy x

y x x

222

)1(1

1

y y

x

y x

Phân tích: Biểu thức trong căn ở phương trình (1) là bậc nhất với hai ẩn mà vế phải (1)

là hằng số nên chỉ cần bình phương hai vế của phương trình (1) ta có ngay phương trình bậc nhất đối với hai ẩn

0222

)1(0

964

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

Nhận xét: ở ví dụ 3 từ phương trình thứ hai của hệ ta nhóm các số hạng chứa y và rút

được y theo x Trước khi thế y theo x ta biến đổi phương trình còn lại rồi mới thế Làm như vậy

việc tính toán đã đơn giản hơn nhiều và việc phát hiện nhân tử chung để đưa về phương trình tích dễ nhìn hơn

)1(1

y x

y x

Phân tích:Từ phương trình (1) ta rút được y th eo x, thế vào phương trình (2) ta được phương trình mũ một ẩn x

2.2.2 Kĩ năng biểu diễn một biểu thức của ẩn theo các ẩn

Với nhiều hệ phương trình việc khéo léo biểu diễn một biểu thức của ẩn theo các ẩn rồi mới thế vào phương trình còn lại làm cho việc tính toán đơn giản và dễ dàng hơn

1(

)1(1

2 2

y x y x

x xy x

Phân tích: Do ở phương trình (2) chứa y+1 nên từ phương trình (1) ta rút y+1 theo x rồi

thế vào phương trình (2)

662

)1(922

2

2 2 3 4

x xy x

x y x y x x

(Trích đề thi đại học khối B năm 2008)

Nhâ ̣n xét: ta đã sử du ̣ng hằng đẳng thức để biến đổi phương trình thứ nhất của hê ̣ Từ đó

gợi ý cho viê ̣c rút xy theo x để thế vào phương trình (3) Nếu không có bước biến đổi phương trình (1) về phương trình (3) thì việc tính toán khi thực hiê ̣n phép thế sẽ vất vả hơn nhiều

2

)1(3

3 3

2 2

yx xy

xy y x

)1(2

4

3 2

2 2

y x y

x

y x

Phân tích : Phương trình (2) không biến đổi tiếp được Ta lại có

)2)(

2

(

4x2y2  x y xy nên ta nghĩ tới viê ̣c logarit cơ số 2 hai vế của phương trình (1)

Nhâ ̣n xét: Với hê ̣ phương trình logarit ngoài những kĩ năng giải hê ̣ ta cần nắm chắc các

tính chất của logarit để biến đổi và giải hệ

2.2.3 Kĩ năng thế hằng số bởi biểu thức

282

)1(1

2

3 3

2 2

x y y x x y

Phân tích: Ở phương trình (2) bâ ̣c của mỗi đơn thức ở vế trái bằng 3 còn ở vế phải bằng 1

Ta có thể làm cho 2 vế cùng bâ ̣c nhờ phép thế 1 bởi 2y2

)1(51

)1(16

411

2 2

3 3

x y

x y

y x

3 3

y x y x

y x

Bài tập tự luyện

2.3 Kĩ năng sử dụng phép cộng đại số

Sử dụng phép cộng đại số để giải hệ tức là kết hợp hai phương trình trong hê ̣ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia các vế của phương trình để được phương trình hê ̣ quả mà việc giải phương trình này đơn giản hơn hoặc có lợi cho các bước sau

2.3.1 Cộng đại số đưa về phương trình một ẩn (mô ̣t biểu thức của ẩn)

6)

2(

)1(0

234

2 2 2

y x

y x x

Phân tích: Từ phương trình (1) ta có thể rút y theo x nhưng khi thế vào (2) ta được phương trình

bậc 4 mà việc tìm x rất khó khăn Ta lại thấy biểu thức chứa x ở hai phương trình giống nhau nên ta nghĩ đến viê ̣c trừ vế với vế thì ta được phương trình mô ̣t ẩn y

29

)1(3

16

x

y xy y

x xy

2.3.2 Cộng đại số xuất hiện các hằng đẳng thức

43

)1(5

42 2

xy y

xy x

303

3

2 2

y x

x y y x

Phân tích: Đây là hê ̣ đối xứng loa ̣i I nên có thể giải theo cách giải của hê ̣ đối xứng loa ̣i I

Tuy nhiên nếu để ý đến các biểu thức ở hai phương trình ta nghĩ đến hằng đẳng thức 3

)(ab

Nhâ ̣n xét: Giải bằng cách cộng đại số nhanh hơn nhiều so với giải theo hê ̣ đối xứng loa ̣i

42

2 2

y x y x

y x xy

2.3.3 Cộng đại số xuất hiện phương trình tích

32

2

2 2

xy y x

xy x

Phân tích: Hệ trên không thể giải bằng phương pháp thế Ta lại thấy vế phải của hai

phương trình bằng nhau nên ta nghĩ đến phép trừ vế cho vế đưa về phương trình tích

4

12

2

x xy x

x y x

Bài tập tự luyện

2.4 Kĩ năng biến đổi về phương trình tích

Xuất phát từ mô ̣t phương trình của hê ̣ hoă ̣c cô ̣ng , trừ hai phương trình của hê ̣ dẫn tới phương trình tích

2.4.1 Mô ̣t phương trình của hệ có dạng au + bv = ab + uv

Ta có au + bv = ab + uv  (a-v)(u-b)=0 Kĩ năng ở đây là phát hiện a, b, u, v

1

2

x y x

y x xy

Phân tích: Để ý phương trình thứ nhất của hệ đưa được về phương trình tích và nhờ đó

ta giải được hệ này Ngoài ra nếu để ý phương trình thứ hai của hệ thì có thể rút y theo x và thế vào phương trình thứ nhất Từ đó ta có hai cách giải hệ này Tuy nhiên nếu thay phương trình thứ hai của hệ bởi phương trình: x2 xy y2 3 thì ta không giải được hệ bằng phương pháp thế

22

2 2

y x y

x

y x

Phân tích: Phương trình thứ nhất của hê ̣ không thể biến đổi tiếp được Ta tâ ̣p trung vào

phương trình thứ hai của hê ̣

)1(2

11

3 4

2 3

y y x y y x

y x

Phân tích: Phương tình (1) chứa cả căn bậc hai và căn bậc ba nên ta không làm mất căn

của hệ này được Ta quan tâm đến phương trình (2) của hệ

y x

y x y

x y x

2

)1(3

31

2 2

y x

y x xy

2.4.2 Một phương trình của hệ có dạng x2 (x1x2)xx1x2 0

53

)1(0

123

2 2

x y xy

y x xy y x

Phân tích: Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết

quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

Chú ý: Có thể biến đổi phương trình (1) về phương trình tích nhờ nhóm các số hạng

thích hợp: xyxy x2 2y2 (xyy2)x yx2 y2

0)1

)(

())(

()()

0)12)(

)1(3

2

2 2

2 2

y y x xy x

y x x

Nhận xét: Phương trình bậc hai ẩn x tham số y hoặc ngược lại sẽ đưa về phương trình tích nếu 

hoặc ' là bình phương của một biều thức Việc nhóm ở ví dụ này là không dễ Khi gặp mô ̣t phương trình của

hê ̣ có da ̣ng: ax2  by2  cxy  dx  ey  f  0 ta có thể xem đây là phương trình bâ ̣c 2 với

ẩn x (hoă ̣c y) và y (hoă ̣c x) là tham số Nếu  có dạng (my+n)2

thì ta rút được x theo y (hoặc y theo x)

Nếu gă ̣p hê ̣ phương trình gồm hai phương trình bâ ̣c 2 nhưng mỗi phương trình củ a hê ̣ không có tính chất vừa nêu thì có thể nhân vào mỗi phương trình mô ̣t số nào đó rồi cô ̣ng chúng lại với nhau để được một phương trình bậc 2 có tính chất vừa nêu Chẳng ha ̣n ta xét ví du ̣ 9 sau đây:

75

)1(5

222 2

x xy y

y xy x

2.4.3 Một phương trình của hệ đưa về phương trình tích nhờ phép nhóm các số hạng thích hợp

32

)1()

1()12

(22

2 3

y x x

y x y

x x

2

)1(0

2

2 2 2 3

y xy y

x y x

x

x

xy

(Trích đề thi đại học khối D năm 2012)

Phân tích: Phương trình (1) là phương trình bậc nhất đối với x, y nhưng nếu rút mô ̣t ẩn

theo ẩn kia và thế vào phương trình (2) thì ta được phương trình một ẩn có bậc cao nên ta đi biến

)(2)(

)1(0)(234

5

2 2

2

3 2 2

y x y

x

xy

y x y xy y

x

(Trích đề thi đại học khối A năm 2011)

Bài tập tự luyện 2.5 Kĩ năng đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình

Ngoài những hệ phương trình cơ bản đã có cách giải thì phương pháp rất hay được sử dụng để giải hệ phương trình là phương pháp đặt ẩn phụ.Việc đă ̣t ẩn phu ̣ làm cho cấu trúc của hê ̣ nhìn đơn giản hơn Để đă ̣t ẩn phu ̣ chúng ta cần ta ̣o ra những nhóm ha ̣ng tử đồng da ̣ng với nhau Để ta ̣o ra những nhóm hạng tử này ta thường thực hiê ̣n thêm, bớt, ghép các số hạng, chia hai vế của phương trình với

mô ̣t biểu thức thích hợp

2.5.1 Kĩ năng phát hiện ẩn phụ trong một phương trình của hệ

2

)1(2

32

2

2 2

y xy x

y x y

)1(

3

y x y x

y x y x

(Trích đề thi đại học khối B năm 2002)

015132

2 2

2 2

y x y x

y xy x

Nhận xét: Trong hệ trên có một phương trình đẳng cấp bậc hai với x, y Phương trình

này giải được nhờ phép đặt ẩn phụ

Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai có thể giải được nhờ coi đó là phương trình bậc

hai của một ẩn và ẩn còn lại là tham số Tuy nhiên nếu phương trình là đẳng cấp bậc ba thì việc đặt ẩn phụ để giải sẽ thuận lợi hơn

12

2 3

2 2

x y x

y x y

32 3

2 3

y x

x y x y

2.5.2.2 Đặt

y y v x x

411

2 2 2 2

y x y x

y x y x