Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở Nguyễn Thị Thủy Trường Đại học Giáo dục Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý lu

Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa

thức” lớp 8 trung học cơ sở

Nguyễn Thị Thủy

Trường Đại học Giáo dục Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và phương pháp dạy học; Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Vũ Lương

Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dưỡng và phát triển tư duy

cho học sinh, chỉ ra một số phương thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh Đề xuất các biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chương “Phép nhân

và phép chia các đa thức” theo hướng phát triển tư duy cho học sinh Thiết kế một số bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung chương “Phép nhân và phép chia các

đa thức” vận dụng các biện pháp trên

Keywords: Phương pháp giảng dạy; Toán học; Số học

Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà cho toàn xã hội.Trong thực tế, phát triển tư duy cho người học là mục tiêu quan trọng của các chương trình dạy học Để đạt được mục tiêu đó, chương trình dạy học và phương pháp dạy học cần có những thay đổi phù hợp SGK của chúng ta đã được thay đổi nhưng là tài liệu chung cho tất cả các đối tượng học sinh, tất cả các vùng miền trong cả nước Mỗi đối tượng học sinh khác nhau, mỗi vùng miền khác nhau phải có sự xây dựng bài dạy phù hợp để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Đại hội XI của Đảng (1-2011) xác định “ Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu Đổi mới căn bản , toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa , xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế…”Thực tế này đòi hỏi ngành Giáo dục phải đổi mới một cách toàn diện về mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức thực hiện Đặc biệt cần chú ý đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học nhằm đáp ứng nhu cầu về đào tạo nguồn nhân lực hiện nay.Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong Nghị quyết Trung

ương 4 khoá VII (1-1993), Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII(12-1996) được thể chế hoá trong luật giáo dục (2005).Luật giáo dục, điều 24.2 có ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".

Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa học quan trọng , sự phát triển của Toán học gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại , trực tiếp với sự tiến bộ của các nghành khoa học khác Vì vậy, tư duy Toán học có giá trị lớn trong đời sống , trong nghiên cứu khoa ho ̣c , trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Như vậy trong quá trình dạy học với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng được các bài tập, bài giảng và phương pháp giảng dạy phù hợp để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Trong chương trình Toán bậc THCS thì kiến thức chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu hết các dạng toán nhưng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơn giản, thiếu thách thức để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Từ những lí do trên, đề tài được

chọn là: Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

- Phan Thị Hương Thảo với Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy hình học không gian Luận

văn thạc sĩ , trường ĐHSP Thái Nguyên (2007)

- Phan Thị Luyến với Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Phương trình và Bất phương trình Luận án Tiến sĩ Giáo dục học( 2008)

- Nguyễn Thu Hương với Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trường ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010)

Có thể thấy rằng vấn đề phát triển tư duy trong dạy học bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều tác giả Tuy nhiên, qua tìm hiểu chúng tôi chưa thấy có công trình

khoa học nào xây dựng các phương pháp thực hành giảng dạy chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở nhằm phát triển tư duy cho học sinh

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dưỡng và phát triển tư duy cho học sinh, chỉ ra được một số phương thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh

- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” theo hướng phát triển tư duy cho học sinh

- Thiết kế một số bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung chương “Phép nhân

và phép chia các đa thức” vận dụng các biện pháp trên

4 Phạm vi nghiên cứu

- Chương 1 đại số lớp 8 THCS, luận văn tập trung vào dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng của nó”

- Thời gian nghiên cứu : 2 năm (năm học 2010-2011, năm học 2011-2012)

5 Mẫu khảo sát

- Học sinh lớp 8 của trường THCS Lương Chí, THCS Hải Nhân, THCS Hải Thanh, THCS Hải Thượng, THCS Hải Hòa đều thuộc huyện Tĩnh Gia-Thanh Hóa (năm học 2010-2011,năm học 2011-2012)

- Xây dựng các bài toán, tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy chương “Phép nhân và phép

chia các đa thức” lớp 8 THCS như thế nào để phát triển tư duy cho học sinh?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên xây dựng được một hệ thống bài toán và đề xuất được những biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy những nội dung liên quan đến chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS sẽ có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh

8 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

8.1 Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 8 tại trường THCS Lương Chí- trường THCS Hải Nhân, trường THCS Hải Thanh, trường THCS Hải Thư ợng, trường THCS Hải Hòa đều thuộc huyện Tĩnh Gia tỉnh Thanh Hóa

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lí các số liệu sau khi điều tra

9 Dự kiến luận cứ

9.1 Luận cứ lý thuyết

9.1.1 Khái niệm tư duy

9.1.2 Các thao tác tư duy cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của học sinh

- Phân tích – Tổng hợp

- So sánh - Tương tự hóa

- Khái quát hóa - Đặc biệt hóa

9.1.3 Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo liên quan đến chương “Phép nhân và phép chia đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

9.2 Luận cứ thực tế

Đánh giá sự phát triển tư duy cho học sinh thông qua thực nghiệm sư phạm tại một số trường trung học cơ sở

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài toán và đề xuất những biện pháp tổ chức thực hành

giảng dạy chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Đại cương về tư duy

1.1.1 Tư duy là gì

Tùy theo các phương diện nhìn nhận khác nhau về tư duy Trong luận văn này chúng tôi quan niệm: Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ

có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

+ Tư duy mang tính khái quát

+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính

+ Tư duy luôn luôn hướng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nào đó

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Các thao tác tư duy toán học

1.2.1.1 Phân tích- tổng hợp

Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các

mặt, các thành phần khác nhau Trong giải toán, phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết

Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập

tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối

lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích đạt được chiều sâu bản chất hiện tượng sự vật Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tư duy và các hình thức tư duy của học sinh

1.2.1.2 So sánh, tương tự hóa

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không

đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai

đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

1.2.1.3 Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hoá là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ chung, bản chất của sự vật, hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thức khái niệm, định luật, qui tắc

1.2.1.4 Trừu tượng hóa

Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2.2 Một số loại hình tư duy toán học

1.2.2.1 Tư duy cụ thể

Là tư duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tượng Người ta phân biệt hai hình thái tư duy cụ thể, đó là: tư duy linh hoạt và tư duy không linh hoạt

1.2.2.2 Tư duy trừu tượng

Tư duy trừu tượng được Kôliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình thái cụ thể

và chi tiết hơn: Một là, tư duy phân tích Hai là, tư duy logic Ba là, tư duy lược đồ không gian

1.2.2.3 Tư duy trực giác

Theo quan điểm của Koliagin và đồng tác giả, thì trực giác là phương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi cách hiểu trực tiếp về sự thật Người ta thường xếp vào lĩnh vực trực giác, các hiện tượng kiểu như: đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán đã suy ngẫm nhiều nhưng chưa giải được, đột nhiên tìm ra một biện pháp để thoát khỏi sự nguy hiểm…

1.2.2.4 Tư duy hàm

Kôliagin cho rằng: Tư duy hàm đặc trưng bởi sự hiểu biết những mối quan hệ chung

và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tượng toán học hoặc giữa các tính chất của chúng và bởi kỉ năng sử dụng các quan hệ ấy

1.2.2.5 Tư duy phê phán

Theo [12] thì tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:

+ Ta sẽ tin vào điều gì?

+ Ta sẽ lựa chọn cách nào?

Chúng ta cần phải hiểu rằng cách phân loại trên đây chỉ là tương đối Rõ ràng khó mà

kể hết các loại hình tư duy, bởi vì, mỗi tác giả lại có quan điểm riêng và ngay bản thân từng tác giả thì các loại tư duy theo cách phân loại của họ cũng có sự giao thoa và cũng không thể

kì vọng vào một sự đầy đủ tuyệt đối

1.2.2.6.Tư duy thuật toán

- Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn

- Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán mà chỉ là một cách phát

biểu giúp ta hình dung khái niệm này

1.2.2.7 Tư duy sáng tạo

"Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất" [10, tr.72]

1.3 Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông

1.3.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

1.3.2 Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

1.3.3 Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản

Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lí luận của đề tài Đó là quan niệm

về tư duy, các loại hình tư duy và các thao tác tư duy trong Toán học

Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông trong đó mục tiêu quan trọng nhất là phát triển năng lực trí tuệ, tư duy cho học sinh

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT NHỮNG BIỆN PHÁP

TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CHƯƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

2.1 Những căn cứ để phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

2.1.1 Dạy tư duy

Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng tư duy Dạy học hiện đại đã quan tâm đến phát triển tư duy song song với trang bị kiến thức môn học, đã chú trọng đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể

Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?

Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họ thu được chỉ

là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt vào các tình huống phức tạp trong nhận thức và đời sống Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu được mới là sở hữu trí tuệ của người học Kiến thức HS thu được bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm, vừa là cơ sở của hoạt động tư duy

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu cơ sở

lí luận, nguyên tắc và biện pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy cho học sinh gồm hai phương diện:

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích- tổng hợp, so sánh- tương tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa,

- Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo

Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trường chỉ ra rằng tích cực hoá HS trong dạy học không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải đề cập đến việc tích cực hoá hoạt động nhận thức Bởi lẽ tư duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức và ngược lại Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn phát triển tư duy, điều này sẽ chỉ làm cho người học phải học nhưng luôn luôn thiếu kiến thức Tích luỹ kiến thức và học các phương pháp để tích luỹ kiến thức cũng như vận dụng chúng là một quá trình hai mặt Bởi vậy đòi hỏi trong dạy học giáo viên phải rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy và phát triển các dạng tư duy

2.1.2 Nội dung chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS với vấn đề phát triển tư duy cho học sinh

Trong chương trình toán THCS chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” chiếm

vị trí quan trọng Chương này nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức về nhân,

chia các đa thức, các hằng đẳng thức quan trọng, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó hoàn thiện các phép toán về đa thức mà các em đã được học ở lớp 7 Nội dung chương gồm ba chủ đề: Chủ đề 1: Phép nhân, chia các đa thức Chủ đề 2: Các hằng đẳng thức đáng nhớ Chủ đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương trình toán THCS thì: giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị là các dạng toán quan trọng mà các kiến thức trong chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” đều được ứng dụng để giải các dạng toán này

Các loại bài tập trong chương có những bài có thuật giải, cũng có những bài chưa có thuật giải Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũng không đơn thuần chỉ cần áp dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết được Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS phải phân tích đặc điểm của từng bài tổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hướng cách giải quyết Nhiều bài tập phải phân chia bài toán thành những trường hợp riêng, chia nhỏ bài toán thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, như vậy HS có nhiều cơ hội để rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Bên cạnh đó từ một số bài toán về đẳng thức thuộc chương này ta có thể khai thác, phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng thức có điều kiện hay có mặt trong nhiều cuộc thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Đó là cơ hội tốt để HS phát triển được tư duy của mình

Những phân tích trên khẳng định ưu thế của chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” trong việc phát triển tư duy cho HS

2.2 Rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích- tổng hợp, so sánh- tương tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa

2.2.1 Phân tích Tổng hợp

Trong cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào”[24], tác giả G.Polya đã chỉ ra:“Muốn giải một bài toán, phải lần lượt: Hiểu rõ bài toán,xây dựng một chương trình (một

dữ kiện),thực hiện chương trình (dự kiến) khảo sát lời giải đã tìm được.”

Hai bước đầu mà G.Polya đưa ra chính là bước tìm đường lối giải bài toán Trong bước này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức các hoạt động, hướng dẫn

HS thông qua trả lời các câu hỏi:

+ Đề bài cho gì, hỏi gì?

+ Từ những giả thiết đã cho suy được những điều gì?

+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tương đương thành những điều kiện nào?

+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tương đương thành kết quả nào?

+ Tìm quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng chứa cái chưa biết hoặc có cùng kết luận tương tự không? Mối liên hệ của bài toán với những bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…

GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại.Để trả lời được các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các kiến thức liên quan Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định được dạng bài, định hướng tìm ra đường lối giải bài toán Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS, để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề sao cho bài toán có thể phân tích theo nhiều hướng khác

nhau, tìm được nhiều đặc điểm định hướng các cách giải khác nhau để kích thích tư duy cho học sinh Bài toán trong sách tham khảo như sau

Bài toán 2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a 3 + b 3 + c 3 - 3abc

Phân tích: Các hạng tử của đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng

của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết:

Bài giải : a3 + b3 + c3 - 3abc

= (a3 + 3a2b +3ab2+b3 )+ c3 – ( 3a2

b+3ab2 + 3abc) = (a+b)3 + c3- 3ab(a+b+c)

= [ (a+b)3 +c3] - 3ab( a+b+c)

= ( a+b+c) [(a+b)2-c(a+b)+c2] – 3ab(a+b+c)

= ( a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)

= ( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

Để phát triển tư duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán như sau :

Bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức

a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc = (a+b+c) (a 2 +b 2 +c 2 – ab – bc – ca)

Ngoài cách giải như bài 2.1 ta còn có cách làm nào nữa không?

Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng phương pháp nào? Từ đó học sinh tìm ra cách giải khác là biến đổi vế phải bằng về trái

+ ( -a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b) – abc – abc – abc

=> P = a3 + b3 +c3 – 3 abc) (đpcm)

Bài toán 2.3: Cho a+b+c=0 Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc

Phân tích: Đây có phải là một bài toán có liên quan mà các em đã giải rồi không? Có thể sử

dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?

Bài giải: Áp dụng bài toán 2.2 ta có :

a3 + b3 + c3 - 3abc=( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

Mà a+b+c=0  a3 + b3 + c3 - 3abc=0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc

? Bài toán 2 còn cách giải nào nữa không?

Phân tích: Từ a + b + c = 0 nên a + b = -c ta suy ra điều gì ?

Bài giải: Ta có a + b + c = 0 nên a + b = -c Do đó a3

+b3+c3 = a3 + b3-(a+b)3

= a3 + b3- a3 - b3 -3ab(a+b)=3abc

Theo bài toán đã chỉnh sửa học sinh có những phán đoán, phát hiện và từ đó khám phá ra những kết quả mới Quá trình tìm lời giải bài toán 2.3 sẽ dựa vào bài toán ban đầu 2.1 hoặc 2.2

2.2.2 So sánh - Tương tự hóa

Sau khi tìm được lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức nhìn lại cách giải tìm ra Yêu cầu HS phân tích kết quả và con đường họ đã đi Hình thành cho HS thói quen trả lời các câu hỏi:

+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào?

+ Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào?

+ Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?

+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?

Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng như khác nhau giữa các bài tập đã giải Từ đó có thể đưa ra định hướng mở rộng cách giải cho những bài tập có những đặc trưng tương tự

Bài 2.4 : a, b, c  R, chứng minh rằng:

(a + b) ( b +c) (c + a) + abc = (a +b + c) (ab + bc + ca)

? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cần thực hiện những bước nào? Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu là điểm mấu chốt của lời giải? Cơ

sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?

Dưới sự hướng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Để giải bài này cần biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhân đa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là thuật toán nhân hai đa thức đối xứng

Bài giải

Ta có (a + b) ( b +c) (c + a) khi khai triển có 2 x 2 x2 = 8 hạng tử gốm các dạng:

a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc (1)

Ta có (a +b + c) (ab + bc + ca) khi triển gồm 3 x 3 = 9 hạng tử

a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc + abc (2)

Từ (1) (2) ta suy ra điều phải chứng minh

Như vậy đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một số điểm chung

ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận, học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép

so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó

2.3.Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán,Tư duy sáng tạo

2.3.1 Tư duy thuật toán

Thuật toán được hiểu như một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định

Ta có thể phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử.Chẳng hạn khi dạy: Phân tích tam thức bậc hai ax 2

+ bx + c thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b1 x + b 2 x sao cho b 1 b 2 = ac Trong thực hành ta làm

như sau:

Bước 1: Tìm tích ac

Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Bài toán 2.5: Phân tích đa thức 3x 2 + 8x + 4 thành nhân tử

Ta có: a =3 ; b = 8 ; c = 4

Bước 1: ac = 3.4 = 12

3

23

4(3)3

2()3

4(3)3

43

8(

4(

3

2(3)3

4(

3

2(3

+Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

-Chứng minh A > m với m là một hằng số

-Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

-Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

+Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

-Chứng minh A < t với t là một hằng số

-Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

-Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

2.3.2 Tư duy sáng tạo

Rèn luyện tính độc lập sáng tạo là yêu cầu rất quan trọng trong quá trình dạy học bộ môn Toán Vì thế luôn cần tạo cho học sinh những tình huống, những đề toán có thể đánh thức năng lực sáng tạo của học sinh

Từ bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức

Sử dụng đẳng thức trong bài toán 2.2 chúng ta chứng minh đƣợc một bài toán khá hay sau:

Bài 2.6: Cho x,y,zR, chứng minh rằng

ab

c ac

b bc

a2 2 2



 Ta có bài toán sau :

Bài toán 2.8: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0

Tính giá trị của biểu thức:

`

ab

c ac

b bc

a P

2 2 2

*Thay c bởi c+d vào a3 + b3 + c3 = 3abc ta đƣợc:

a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d)