Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác

Nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác.. Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Phương trình

Abstract Trình bày cơ sở lý luận về hướng dẫn học sinh giải toán; sáng tạo bài toán mới và

thực tiễn việc dạy học toán hiện nay Nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá thính khả thi của các biện pháp đã đề xuất

Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Phương trình lượng giác; Bài tập; Đẳng thức

Môn Toán là một trong những môn học rất quan trọng trong trương trình giáo dục THPT Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy và học nói chung, môn toán trường THPT nói riêng là khuyến kích tính tích cực, chủ động, khắc phục thói quen học tập thụ động của học sinh Nói cách khác, học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo Đổi mới phương pháp dạy và học môn toán góp phần trực tiếp nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục trung học phổ thông nói riêng

Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh Trong quãng đời đi học đến THPT, chắc chắn mỗi học sinh đã từng giải rất nhiều bài toán Khi đứng trước những bài toán khó, nhiều học sinh thường tự đặt cho mình những câu hỏi, như ai đã sáng tạo ra bài toán này, phương hướng giải bài toán này ra sao, mình có thể giải được bài toán này không, mình có sáng tạo được bài toán mới

2

không Đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo trong giải toán và sáng tạo bài toán mới Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ, tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những kiến thức liên quan Các bài toán là sản phẩm sáng tạo của một cá nhân hay một tập thể, nó xuất phát

từ những ý tưởng ban đầu hoặc từ một hay nhiều bài toán trước đó Việc học sinh có thói quen lật đi lật lại vấn đề, tư duy mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp họ thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn là trả lời câu hỏi vì sao người ta sáng tạo

ra bài toán

Tuy nhiên, trong thực tế không nhiều giáo viên và học sinh làm được điều đó Nhiều GV dạy toán hiện nay chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới Trong giải toán, giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới

là cái gốc của bài toán Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Vì vậy, khi bắt đầu giải một bài toán mới, học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu, cần vận dụng kiến thức nào, từ đâu có bài toán này, nội dung bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp

Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi thấy rằng, việc tìm tòi mở rộng càc bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán để từ

đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp khoa học và hiệu quả Quá trình này bắt đầu

từ càc bài toán đơn giản đến bài tập khó, sáng tạo ra bài toán mới từ những kiến thức cơ bản là bước

đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi, mở rộng các bài toán sẽ tăng hứng thú học tập và óc sáng tạo của học sinh Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng giải các bài toán khác Hơn nữa, phương pháp này cũng giúp học sinh củng cố lòng tin vào khả năng học toán của mình Làm được như vậy, giáo viên đã nhen nhóm lên trong các em học sinh một tình yêu toán học và phần nào minh hoạ cho ý tưởng dạy toán là dạy cho học sinh biết sáng tạo

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Thứ nhất, chỉ ra các phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài tập toán học nói chung và áp dụng vào hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác được xây dựng từ đẳng thức lượng giác

3

Thứ hai, chỉ ra phương pháp hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới nói chung và áp dụng vào hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác

4 Giả thuyết nghiên cứu của đề tài

Nếu vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo

bài toán mới về nội dung “ Đẳng thức lượng giác và phương trình chứa đẳng thức lượng giác” sẽ kích thích tư duy sáng tạo và sự say mê tìm tòi khám phá của học sinh

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác

5.2 Khách thể nghiên cứu:

Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về: Khái niệm và vị trí chức năng của bài tập toán học, phương pháp dạy học toán, khái niệm về sáng tạo và sáng tạo bài toán mới

- Nghiên cứu các tài liệu toán học về nội dung lượng giác, phương trình lượng giác

+ Phương pháp thực nghiệm, hỏi ý kiến chuyên gia…

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, luận văn gồm có ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài

Chương 2 Hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Hướng dẫn học sinh giải toán

1.1.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

1.1.2 Cách dạy bài tập toán học

1.1.2.1 Cách dạy bài tập toán theo quan điểm kiến tạo

4

1.1.2.2 Quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Theo Polya, để học sinh tự tìm được lời giải bài toán, người thầy cần hướng dẫn học sinh cách giải bài tập theo bốn bước sau đây:

Bước 1: Hiểu rõ bài toán

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải

Bước 3 : Thực hiện chương trình giải

Bước 4 : Khảo sát lời giải đã tìm được

1.1.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

1.1.4 Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

1.1.5 Phương pháp dạy học theo dự án

1.1.6 Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu

1.2 Sáng tạo bài toán mới

1.2.1 Một số khái niệm về sáng tạo

1.2.2 Khái niệm và ví dụ về bài toán mới

Ví dụ bài toán mới

Từ một đẳng thức cụ thể sau cot x  tan x  2cot 2 x

Sử dụng chiều thuận đẳng thức chúng ta dễ dàng xây dựng những phương trình lượng giác mới

từ những phương trình lượng giác cơ bản hoặc phuơng trình đại số

Ví dụ

Từ phương trình x3  x 2 ta xây dựng phương trình lượng giác

3

8cot 2 x  cot x   2 tan x

Từ phương trình cot x  3 ta xây dựng phương trình

2cot x  tan x  2cot 2 x  3

Từ phương trình x  2   x 2 ta xây dựng phương trình lượng giác

2cot 2 x  2  tan x  cot x  2

Nếu biết B  2cot 2 x chúng ta không thể tìm ra A nhờ các phép biến đổi, khi đó các bài toán nhận được khó hơn nhiều

Ví dụ phương trình cot3x  2cot 2 x  tan x  2

1.2.3 Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới

1.3 Thực tiễn việc dạy học Toán hiện nay

Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh Trong quãng đời đi học đến THPT, học sinh đã giải rất nhiều bài toán, trong đó hẳn cũng có những bài rất khó với những câu hỏi chất chứa thắc mắc như ai đã sáng tạo ra bài toán này và từ đâu mà có, mình có thể làm được việc đó không? Nếu thắc mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ tìm tòi những kết qua mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những kiến thức liên quan Chúng ta đã biết những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là từ trên trời rơi xuống

mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra Việc học sinh có thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp bạn thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn là trả lời câu hỏi vì sao nghĩ ra bài toán

Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên Phần lớn GV chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới Trong giải toán chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới là cái gốc của bài toán Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Từ đâu có bài toán này? Bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp? Như vậy, dạy và học toán hiện nay ở trường phổ thông chỉ nằm gọn trong khuôn khổ sách giáo khoa, cả giáo viên và học sinh đều cố gắng đạt chuẩn chương trình đã quy định Điều này làm cho giáo viên không có động lực nghiên cứu, nâng cao trình độ, đồng thời làm hạn chế sự sáng tạo của học sinh Đã đến lúc, việc dạy và học nói chung, dạy và học toán nói riêng cần phải có những đổi mới tích cực trong phương pháp và nội dung để đạt được hiệu quả cao nhất trong dạy và học

CHƯƠNG 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG

“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC”

2.1 Một số kiến thức liên quan

2.1.1 Đẳng thức của các hàm số lượng giác đối với các góc trong tam giác

Trước hết chúng ta đi chứng minh một số đẳng thức của hàm số lượng giác đối với các góc trong tam giác Để từ những đẳng thức này chúng ta xây dựng hệ thống các đẳng thức lượng giác mới

3)sin A  sin B  sin C   2 2cos cos cos ; A B C

4) tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan ; C

7)cot cot A B  cot cot B C  cot C cot A  1;

8)cos 2A  cos 2 B  cos 2 C    1 4cos cos cos A B C

10) tan3 A  tan3 B  tan3 C  tan3 tan3 tan3 ; A B C

11) tan nA  tan nB  tan nC  tan nA tan nB tan nC ;

4sin sin sin

19)sin A  sin B  cos cos( C A  B ) 1; 

8

22)sin sin( C A  B ) sin sin(  B C  A ) sin sin(  A B C  )  0;

2.1.2 Một số phương pháp xây dựng đẳng thức lượng giác

Thực chất việc giải các bài toán lượng giác là sử dụng khéo léo các đẳng thức lượng giác Nếu chúng ta không biết các đẳng thức thì ngay cả bài toán đơn giản nhất cũng không giải được Ngược lại, nếu phát hiện được đẳng thức cần thiết thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều Vì vậy việc hệ thống lại và xây dựng lên những đẳng thức lượng giác mới là việc làm ý nghĩa trong giải toán lượng giác

2.1.2.1 Xây dựng đẳng thức nhờ các phép biến đổi đại số

2.1.2.2 Xây dựng các đẳng thức mới từ các công thức cơ bản nhờ phép biến đổi lượng giác

2.1.2.3 Xây dựng đẳng thức lượng giác bằng một số phương pháp khác

2.1.3 Xây dựng đẳng thức lượng giác trong tam giác từ đẳng thức lượng giác

2.2 Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới

2.2.1 Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác đối với các góc trong tam giác

1.Từ đẳng thức 1)sin sin sin 4cos cos cos ;

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau

3 Từ 3)sin2 A  sin2B  sin2C   2 2cos cos cos ; A B C

Đặt A  x B ,  2 x    3 x ta có đẳng thức lượng giác sau

sin x  sin 2 x  sin 3 x   2 2cos cos 2 cos3 x x x

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau

tan tan 2 x x  tan 2 cot 3 x x  cot 3 tan x x  1

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác sau

tan tan 2 x x  tan 2 cot 3 x x  cot 3 tan x x  tan5 x

tan tan 2 x x  tan 2 cot 3 x x  cot 3 tan x x  tan 2 x  cot 2 x  2

Ta xây dựng phương trình lượng giác

Ta xây dựng phương trình lượng giác

x





Đặt A  2 , x B  4 , x C    6 x ta thu được đẳng thức lượng giác sau

cot x  cot 2 x  tan3 x  cot cot 2 tan3 x x x

Ta xây dựng được phương trình lượng giác sau

cot x  cot 2 x  2tan3 x  cot 3 x  cot cot 2 tan3 x x x  2

cot x  tan x  cot 2 x  tan 2 x  tan3 x  cot cot 2 tan3 x x x

7 Từ 7)cot cot A B  cot cot B C  cot C cot A  1

Đặt A  x B ,  x C ,    2 x ta thu được đẳng thức cot2 x  2cot cot 2 x x  1

Ta xây dựng phương trình lượng giác sau

2

tan 2 x  cot x  2cot cot 2 x x  2

13

2

cot x  cot cot 2 x x  1

Đặt A  x B ,  2 , x C    3 x ta thu được đẳng thức

cot cot 2 x x  cot 2 cot 3 x x  cot 3 cot x x  1

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác

cot cot 2 x x  cot 2 cot 3 x x  cot 3 cot x x  tan 6 x

cot cot 2 x x  cot 2 cot 3 x x  cot 3 cot x x  tan x  cot x  3

2cos 2 x  cos 4 x    1 4cos x cos 2 x

Từ đó ta xây dựng bài toán lượng giác

cos 2 x  cos 4 x  cos6 x    1 4cos cos 2 cos3 x x x

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác

cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  sin 6 x   4cos cos 2 cos3 x x x

4cos x  cos 2 x  cos 4 x  cos6 x   1 4cos cos 2 cos3 x x x

2.2.2 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác

2.2.2.1 Sử dụng chiều thuận nghịch của đẳng thức

6) sin x  sin 2 x  sin3 x  sin 6 x

Dạng 2: cos ( ) A x  cos ( ) B x  cos ( ) C x   cos  A x ( )  B x ( )  C x ( ) 

Dạng 3: tan ( ) A x  tan ( ) B x  tan ( ) C x  tan  A x ( )  B x ( )  C x ( ) 

Dạng 4: cot ( ) A x  cot ( ) B x  cot ( ) C x  cot  A x ( )  B x ( )  C x ( ) 

(2cos 4 x  2cos 2 x  1) 2cos 20 x  2cos10 x   1 1

Và thu được phương trình đơn giản là sin 5 sin 25 1

sin sin 5

2.2.2.4 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức và các phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ: Từ đẳng thức tan 3 tan tan( ) tan( )

16

1.2) Phương trình tan x  cot x  2 ta thu được phương trình

1.3) Phương trình sin 6 x  cos6 x   1 tan3 x ta thu được phương trình

17

2.2.3 Xây dựng một số bài toán lượng giác khác từ đẳng thức lượng giác

2.3 Hướng dẫn học sinh giải toán

2.3.1 Giải một số bài toán dùng đẳng thức lượng giác trong tam giác

Khi giải các phương trình lượng giác nói chung, chúng ta thường tìm cách biến đổi để làm đơn giản phương trình hơn, đưa về dạng phương trình cơ bản Việc lựa chọn hướng biến đổi như thế nào cho phù hợp lại là nột vấn đề khó Một lớp các phương trình có hướng biến đổi tương tự nhau là

do chúng có chung nguồn gốc hình thành Một trong các nguồn gốc hình thành đó chính là từ các đẳng thức lượng giác mà ra Hệ thống đẳng thức lượng giác vừa xây dựng sẽ giúp chúng ta giải các bài tập lượng giác một cách dễ dàng hơn

Bài 1: Giải phương trình

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

? Giả thiết bài toán cho gì? Yêu cầu gì? Có cần điều kiện gì không?

! Cho x là ẩn Cần tìm các giá trị của x thoả mãn phương trình