Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn Hình học 9 Bao gồm: Phương pháp giải các dạng bài tập Ví dụ minh họa và giải chi tiết theo suy luận ngượcDạng 1. Tính độ dài các đoạn thẳng1. Phương pháp:Sử dụng 2 định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:Định lí 1: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấyĐịnh lý 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấySử dụng định lí Pytago trong việc tính toán: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Trang 1BÀI 2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1 Tính độ dài các đoạn thẳng
1 Phương pháp:
Sử dụng 2 định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
Định lí 1: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
Định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với
dây ấy
Sử dụng định lí Pytago trong việc tính toán: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông
2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường tròn ( )O có bán kính R=6 cm Dây cung AB của đường tròn vuông góc với OC (điểm C
nằm trên đường tròn) tại trung điểm của OC Tính độ dài dây cung AB.
Lời giải:
B1: Phân tích đề:
,
A O và trung điểm OC tạo thành tam giác vuông ⇒ Sử dụng định lí Pytago để tính.
OC là bán kính cắt dây cung AB ⇒ OC cắt AB tại trung điểm của AB.
B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết:
M là trung điểm AB ⇒ Tính được AB
⇑
Quan hệ vuông góc đường kính và dây cung
⇑
Định lí Pytago ⇒ Tính được AM
⇑
Tính được OM theo bán kính OC
⇑
Lấy M là trung điểm của OC
Gọi M là trung điểm của OC.
Ta có:
6
3 ( )
2 2 2
OC R
Áp dụng định lí Pytago cho ∆OAM vuông tại M :
OA = OM + AM
AM OA OM
27 3 3 ( )
Vì bán kính OC vuông góc với dây cung AB tại M nên M
là trung điểm của AB.
Do đó: AB = 2 AM = 6 3 ( cm ).
Ví dụ 2: Cho đường tròn ( )O có bán kính R Khoảng cách từ tâm O đến dây cung CD của đường tròn là
3
d = cm.Tính bán kính R của đường tròn biết dây cung CD=8 cm.
Trang 2Lời giải:
B1: Phân tích đề:
OH vuông góc với dây cung CD ⇒ OH cắt CD tại trung điểm của CD.
Tam giác OCH vuông tại H ⇒ Sử dụng định lí Pytago để tính cạnh OC.
B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết:
Định lí Pytago ⇒ Tính được bán kính OC
⇑
H là trung điểm CD ⇒ Tính được CH
⇑
Quan hệ vuông góc đường kính và dây cung
⇑
3
OH = =d cm
⇑
Kẻ OH vuông góc CD tại H
Kẻ OH vuông góc với CD tại H.
Khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến dây cung CD
3
OH d cm
Vì bán kính OH vuông góc với dây CD tại H nên H là
trung điểm của CD.
8
4 ( )
2 2
CD
Áp dụng định lí Pytago cho ∆OHC vuông tại H:
25 5 ( )
Vậy bán kính của đường tròn là R = 5 ( cm )
Ví dụ 3: Cho đường tròn ( )O đường kính AD, dây cung AB Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD tại H
Biết rằng AB = 10 ( cm ) và BC = 12 ( cm ).
a) Tính độ dài đoạn thẳng AH.
b) Tính bán kính đường tròn ( )O
Lời giải:
Trang 3Đường kính AD vuông góc với dây cung BC tại H ⇒ H là trung điểm của BC.
Tam giác AHB vuông tại H ⇒ Sử dụng định lí Pytago để tính cạnh AH .
B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết:
Tính được độ dài đoạn thẳng AH
⇑
Định lí Pytago cho ∆ AHB
⇑
Tính được BH
⇑
H là trung điểm của BC
⇑
Quan hệ vuông góc đường kính và dây cung
Đường kính AD vuông góc với dây cung BC tại H
⇒ H là trung điểm của BC.
12
6 ( )
2 2
BC
Áp dụng định lí Pytago cho ∆ AHB vuông tại H:
AB = AH + BH
AH AB BH
64 8 ( )
Vậy độ dài đoạn AH là 8 ( cm ). b) B1: Phân tích đề:
Đề bài yêu cầu độ dài bán kính tức là cần tính độ dài đoạn OA.
Mà O là trung điểm của AD nên tính được AD sẽ tính được OA.
B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết:
Tính được bán kính OA
⇑
Tính được AD
⇑
AB = AH AD
⇑
Tam giác ABD vuông tại B
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABD nằm trên cạnh AD nên AD là cạnh huyền của tam giác ABD
vuông tại B
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
AB = AH AD
2 102
12,5 ( ) 8
AB
AH
12,5
6, 25 ( )
AD
Vậy bán kính đường tròn ( )O là 6, 25 ( cm ). Dạng 2 So sánh độ dài các đoạn thẳng
1 Phương pháp :
Sử dụng định lý so sánh độ dài đường kính và dây: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
Sử dụng định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
Sử dụng định lí Pytago để tính toán: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông
2 Các ví dụ:
Ví dụ 4: Cho đường tròn ( )O và dây cung AB không đi qua tâm Gọi M là trung điểm của AB Qua M vẽ dây
CD không trùng với AB Chứng minh rằng độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD.
Lời giải:
Trang 4B1: Phân tích đề:
Cần chứng minh độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MDtức là chứng minh M không là trung điểm của CD.
Nhận thấy việc chứng minh trực tiếp khá khó khăn, ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết:
Độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD
⇑
M không thể là trung điểm của CD
⇑
CD trùng với AB(trái đề bài)
⇑
OM vuông góc với CD
⇑
Giả sử M là trung điểm của CD
Giả sử M là trung điểm của CD
Mà CD là dây cung của đường tròn ( )O nên theo định lí về quan
hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung thì OM ⊥CD
Mặt khác M là trung điểm của AB và AB cũng là dây cung của
đường tròn ( )O nên OM ⊥AB
Suy ra AB CD≡ (trái với giả thiết)
⇒Điều vừa giả sử là không đúng
⇒ M không là trung điểm của CD
Vậy độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD.
Ví dụ 5: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và dây EF không cắt đường kính Gọi I và K lần lượt là
chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng EF Chứng minh rằng IE KF =
Lời giải:
B1: Phân tích đề:
Để có thể sử dụng định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung thì ta cần kẻ thêm đoạn OM vuông
góc với EF (điểm M thuộc đoạn EF).
Có các đoạn thẳng song song với nhau nên ta nghĩ đến việc sử dụng định lí Ta-lét trong tam giác hoặc hình thang
B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết:
IE FK =
⇑
Kẻ OM vuông góc với EF (điểm M thuộc đoạn EF).
Trang 5AI ∥ BK OM ∥
⇑
ME MF =
⇑
Kẻ OM vuông góc với EF tại M
vuông góc giữa đường kính và dây cung thì ME MF = (*)
Ta thấy AI BK OM , , cùng vuông góc với IK Nên AI ∥ BK OM ∥
Mặt khác OA OB= (vì AB là đường kính)
Theo định lí Ta-lét trong hình thang
MI MK IE ME MF FK
Kết hợp với (*) ⇒IE=FK.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho đường tròn ( )O có bán kính OI =4 cm Dây cung HK của đường tròn vuông góc với OI tại trung
điểm của OI Tính độ dài dây cung HK.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của OI.
Ta có:
4
2 ( )
2 2
OI
OM = = = cm
Áp dụng định lí Pytago cho ∆OHM vuông tại M :
OH = OM + HM
HM OH OM
12 2 3 ( )
Vì bán kính OI vuông góc với dây cung HK tại M nên M là trung điểm của HK.
Do đó: HK = 2 HM = 4 3 ( cm ).
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AD Trên nửa đường tròn, lấy hai điểm B và C Biết rằng
2 5 ( )
AB BC = = cm và CD = 6 ( cm ) Tính bán kính đường tròn.
Lời giải:
Trang 6Ta có AB BC= ⇒ ∈B đường trung trực của AC
OA OC= = ⇒ ∈R O đường trung trực của AC
OB
⇒ là đường trung trực của AC⇒IA IC=
OI
⇒ là đường trung bình của ∆ADC
)
6
3 (
2 2
CD
Xét ∆OIC vuông tại I
IC OC OI R
Xét ∆BIC vuông tại I
2 2 2 (2 5)2 ( 3)2
Từ (1) và (2) ⇒ R2 − = 9 (2 5)2− ( R − 3)2 ⇒ R2− 3 R − = 10 0
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH và CK Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A C H K , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) HK <AC
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm của AC Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác
1
Trang 7Suy ra điểm I cách đều 4 điểm A C H K , , ,
Vậy bốn điểm A C H K , , , cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IA.
b) Trong đường tròn (I IA, ), AC
là đường kính, HK là dây phân biệt với AC nên HK <AC(định lý so sánh
độ dài đường kính và dây)
Bài 4: Cho đường tròn (O R, )
và ba dây AB AC AD , , Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC AD , Chứng minh rằng MN ≤2R.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác vuông
,
ABN ABM ta có:
1
2
IM = IN = AB ⇒ IM = IN = IA IB =
Suy ra điểm I cách đều 4 điểm A B M N , , , .
Do đó bốn điểm A B M N , , , cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính AI.
Trong đường tròn (I AI AB, ), là đường kính, MN là dây nên MN≤ AB (1)
Mặt khác, trong đường tròn (O R AB, ),
là dây nên AB ≤ 2 R (2)
Từ (1) và (2) ta được MN ≤2R.
Bài 5: Cho đường tròn (O R, ) đường kính AB Gọi M là một điểm nằm giữa A và B Qua M vẽ dây CD
vuông góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M .
a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?
Trang 8b) Giả sử R = 6,5 cm và MA=4 cm, hãy tính độ dài CD.
c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB Chứng minh
3 .
2
MC
MH MK
R
=
Lời giải:
a) Xét ( )O
có AB⊥CD tại
1 2
M ⇒ MC MD = = CD
Xét tứ giác ACED có MC MD MA ME = ; =
⇒ Tứ giác ACED là hình bình hành
Mặt khác AE⊥CD⇒ACED là hình thoi.
b) Ta có AB=2R=13 cm
13 4 9 ( )
Xét ∆ABC có cạnh AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ⇒ ∆ABC vuông tại C
Áp dụng hệ thức h2 = ′× ′ b c ta có MC2 = MA MB = 4.9 36 =
36 6 ( )
⇒ = = ⇒ CD = 2 MC = 2.6 12 ( = cm )
c) Xét ∆MAC vuông tại M có đường có MH, áp dụng hệ thức b c a h = ta có
.
MH AC MA MC MH
AC
Tương tự:
.
MB MC MK
BC
=
.
2
MA MC MB MC MC MA MB MC MC MC
MH MK