Sáng kiến kinh nghiệm Toán_sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông. Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường (trong phân phối chương trình) hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp. Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Trang bị cho học sinh về một phương pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chương trình toán phổ thông . Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng: f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x) m; hoặc f(x) m ). Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Theo tình hình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán… Có thể chia làm hai nguyên nhân: Nguyên nhân khách quan: + Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít. + Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải. + Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV. + Những nội dung này mới được đưa vào chương trình và do đó là mới đối với cả giáo viên và học sinh. Nguyên nhân chủ quan:

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

và hệ bất phương trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lượng khá lớn trongchương trình phổ thông Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập

mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường (trong phân phối chươngtrình) hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp

Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ Khi địnhnghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giảicác bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể

sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính

vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình"

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Trang bị cho học sinh về một phương pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệuquả rõ nét

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nângcao khả năng tư duy, sáng tạo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chương trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất

về tính đơn điệu của hàm số để giải

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số vềmột vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:

f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)  m; hoặc f(x)  m ).

Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

PHẦN II NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Theo tình hình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thườngkhông nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức cònchậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chínhxác, thiếu thận trọng trong tính toán…

Có thể chia làm hai nguyên nhân:

- Nguyên nhân khách quan:

+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít

+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải

+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV

+ Những nội dung này mới được đưa vào chương trình và do đó là mới đối với cả giáo viên

và học sinh

- Nguyên nhân chủ quan:

+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho từng

- Năng lực tư duy kém, thiếu linh hoạt.

Học sinh học yếu môn Toán thì thường lười suy nghĩ, chủ yếu trông chờ vàogiáo viên giải bài tập trên bảng rồi chép vào vở, khả năng tập trung chú ý thấp, khảnăng phân tích, tổng hợp rất hạn chế, nắm kiến thức không chắc nên học sinh thườngvận dụng kiến thức một cách máy móc, không tìm hiểu kỹ yêu cầu đề bài, không biếtphân tích bài toán

- Thái độ học tập thờ ơ, phương pháp học tập bộ môn Toán chưa tốt.

Nhiều em học sinh chưa tự giác học tập, chưa có động cơ học tập nên họckhông tốt Có nhiều em học các môn xã hội rất khá nhưng rất ngại học Toán Tâm lý

chung của học sinh là rất sợ các môn tự nhiên, nhất là môn Toán Các em học yếuthường không có sự cố gắng liên tục, trong giờ học thường thiếu sự tập trung, khôngchú ý Hay tìm cách vắng học vào những hôm có hai tiết Toán Có thái dộ rất thụ động

và thờ ơ với việc học tập Bài tập giao về nhà các em chỉ làm cho có trong tư thế đốiphó Tệ hơn có em còn chép nguyên văn trong sách giải hay của bạn bè mà khônghiểu gì, thậm chí có những học sinh cá biệt không bao giờ làm bài tập ở nhà, thái độthiếu hợp tác trong giờ học, không mang sách vở đầy đủ, có khi còn không chịu ghibài

Ngoài ra còn hiện tượng một số em học sinh dân tộc thì không bao giờ nóimột lời trong giờ học Toán Ngay cả một số em đã tiến bộ được một thời gian rồi lạitiếp tục thiếu cố gắng dẫn đến tình trạng sút kém không có lối thoát…Nhiều em thiếu

tự tin vào bản thân mình Đôi khi bài tập làm đúng rồi nhưng khi giáo viên hỏi lại thìcác em lúng túng, ngập ngừng không tự tin vào bài giải của mình

Khi học ở nhà, các em cũng không có phương pháp học tập và quy trình làmviệc đúng Thường là chưa nắm lý thuyết đã vội lao vào làm bài tập, mà lại không baogiờ làm ngoài nháp Đây là đặc thù của học sinh học yếu các môn tự nhiên nói chung.Làm không được lại nản chí, quay sang học lý thuyết một cách miễn cưỡng, hìnhthức, bó chặt vào các ví dụ trong sách giáo khoa hay học vẹt để đối phó

Trong giờ hoạt động nhóm các em học sinh yếu thường rất thờ ơ, bàn quan,chỉ tham gia cùng các bạn cho có mặt hoặc làm việc một cách qua loa, chiếu lệ, khôngnắm được yêu cầu của vấn đề cần thảo luận hay tính toán

* Hạn chế

+ Việc kiểm tra, đánh giá kết quả học tập môn Toán của học sinh vẫn thiên vềkiểm tra lý thuyết, kiểm tra kĩ năng giải bài toán mà thiếu đi tính thực hành ứng dụngthực tế

+ Áp lực của bệnh thành tích trong học tập, thi cử, khiến cho giáo viên và họcsinh chỉ chú trọng dạy và học những phần có trong bài kiểm tra, bài thi

Mặt bằng học lực của các em học sinh không cao, nên khi gặp những bài toán

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì chỉ có một số em nắm được còn lại vẫn mơ hồ

d) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

Một trong các nguyên nhân khiến các em sợ học bộ môn toán: Đó là mộttrong các bộ môn khoa học đòi hỏi người học phải có tính tư duy cao, tính kiên trì,nhẫn nại, đều này không phải ai cũng có sẵn, càng không thể học vẹt, không thể họctuỳ hứng

-Sự quan tâm của một số phụ huynh còn hạn chế Điều kiện học tập còn khó khăn.

Sự quan tâm của một số phụ huynh đối với việc học của con em mình cònhạn chế Đặc biệt có những phụ huynh của những em học sinh yếu không bao giờkiểm tra vở sách của các em Phó thác việc học tập của các em cho nhà trường Nhiều

em thuộc diện yếu kém được nhà trường tổ chức học phụ đạo cũng không chịu thamgia học nghiêm túc, thường xuyên trốn học đi chơi mà phụ huynh không hề hay biết

-Yếu tố xã hội.

Trong thực tế hiện nay, việc học tập của một số không ít học sinh còn thiếunghiêm túc, các em có thái độ chán nản trong học tập nhất là ở các môn học có tính tưduy cao như môn toán.

Sự phát triển bùng nổ của công nghệ thông tin cùng với Internet, các dịch

vụ vui chơi, giải trí hấp dẫn lôi cuốn các em hơn là nhiệm vụ học tập Thực tế dạy họcmôn Toán ở nhiều trường hiện nay cho thấy nhiều, rất nhiều học sinh chán học, lườihọc và có khuynh hướng “ ham chơi hơn ham học”, Tình trạng học tập của các em là

“rất khó nhớ nhưng lại mau quên” càng trở nên phổ biến

-Nhiều giáo viên dạy Toán chưa có phương pháp phù hợp

Nhiều giáo viên dạy Toán chưa có phương pháp phù hợp với đối tượng họcsinh, chưa thực sự quan tâm đến tất cả học sinh trong cả lớp, chỉ chú trọng vào những

em học khá, giỏi hay chưa có biện pháp động viên khích lệ kịp thời đối với nhữngtiến bộ của học sinh dù là rất nhỏ Một số giáo viên còn hơi nghiêm khắc, làm chohọc sinh có tâm lý e sợ trong giờ học, rụt rè không dám phát biểu

-Đặc thù của bộ môn.

Đặc thù của môn Toán là thiếu tính sinh động, hấp dẫn nên học sinh không

có ý thức tìm hiểu, khám phá kiến thức mới như các môn học khác Hơn nữa thiết bịdạy học cho môn Toán là rất ít, không sinh động nên học sinh ít có hứng thứ khi họcmôn Toán

e) Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra

Học sinh yếu là một tồn tại khách quan, một phần do giáo viên chưa quantâm đúng mức, chưa giúp đỡ kịp thời để các em hỏng kiến thức cơ bản Một phần là

do học sinh không thích học, không biết cách học dẫn đến ngày càng tụt hậu hơn sovới trình độ chung của lớp

-Giải pháp tâm lý

Để ngay từ bước đầu học sinh yêu thích môn học của mình, tôi đã tạo sự gầngũi với các em từ những tiết học đầu tiên bằng cách hỏi thăm tình hình học tập củalớp, trao đổi một số kinh nghiệm học tập đạt hiệu quả, chú ý đến những học sinh cóhoàn cảnh khó khăn, động viên các em bằng cách kể những gương học tập vượt khó

mà các em có thể học tập Luôn tạo cho các em tâm lý thoải mái trong giờ học

Trong quá trình dạy giáo viên cần phải có thái độ nhẹ nhàng khi học sinhmắc khuyết điểm, cư xử khéo léo với các em, xử lý tốt các tình huống sư phạm

Việc đánh giá nhận xét phải công bằng, khách quan và công tâm, công khaikết quả sau các giờ kiểm tra, cần phải có nhận xét bài làm học sinh

Phải có kiến thức vững vàng để giải đáp các thắc mắc một cách thuyết phục

Để bài giảng hay tiết học của mình thêm sinh động, tôi luôn tìm tòi tài liệutranh ảnh về các nhà Toán Học nổi tiếng kể cho các em nghe, hay những câu chuyệnToán học mà tôi sưu tầm trên mạng Internet, sách báo

Xây dựng cho các em thói quen học tập tích cực, động viên kịp thời nhữnghọc sinh tiến bộ, cung cấp cho các em phương pháp học tập đúng, khuyến khích các

em không ngừng cố gắng, tạo cơ hội cho các em học sinh dân tộc phát biểu trong giờhọc

III GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP

1.Mục tiêu của giải pháp, biện pháp

Xây dựng nên một số bài toán “sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình" theo các quy trình: Giáo

viên xác định mục tiêu và năng lực cần đạt được ở bài dạy, giáo viên thiết kế các bàitoán tương ứng, học sinh thực hiện mô hình hóa Toán học bài toán giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình, học sinh xây dựng chiếnlược giải quyết bài toán, học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bàitoán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình,

giáo viên và học sinh đánh giá bài học Đối với các bài toán, tôi thiết kế bài giảng và

tổ chức dạy học với các bài toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh

2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

*Đưa ra một số kiến thức cơ

Tính chất 1:

Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D

Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Tính chất 2:

Cho phương trình f(x) = m xác định trên D

Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f(x)

Tính chất 3:

Cho phương trình f(x) = m xác định trên D

Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không quá một nghiệm

Tính chất 4:

Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m )

i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (x0 ; + ) ( T = D  (- ; x0 ))

ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (- ; x0 ) (T = D  (x0 ; +) )

Tính chất 5:

Cho hàm số f(x) xác định trên D

1 f(x)  m ,  x  D  m minD f(x)

2 f(x)  m ,  x  D  m maxD f(x)

*Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm vận dụng phương pháp

DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

Bài 1: Phương trình x  1  x  6  x  2  6 có mấy nghiệm ?

Trên D (1) 

2 2 2

Từ đó, vế trái của phương trình (2) là hàm nghịch biến  t > e; vế phải là hằng số

Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

Chọn: A

Bài 5: Tập nghiệm của bất phương trình : x6 x 2 4 x 3là:

A.2 ; 4 B.( 3 ; +) C.(2;4) D.3;4.

GiảiTXĐ: D =2 ; 4

Xét hàm số: f(x) = x  6 x  2 4 x với x  D

Ta cũng nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến trên D (vì f’(x) > 0  x  (2;4))

Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì x�(3;� Vậy tập nghiệm)là: T = 2;4  ( 3 ; +) = 3;4

Chọn: D

Bài 6: Giải bất phương trình log2 x 1 log3 x 9 1 ta được:

A x < 0 B x >0 C vô nghiệm D có nghiệm đúng với mọi x��

2( 1) 1 2

3 x  3x �x 4x3 (1)

Điều kiện: x�۳1 0 x 1 Vậy TXĐ: D = 1; �

(1) � 3 2( 1) 1x  2(x1) 3�x x2 2x1� 3 2( 1) 1x  2(x1) 3�( 1) 1x   (x 1)2(2)Xét hàm số f t( ) 3 t 1 t2, thấy ngay hàm số đồng biến trên D

t

t t

Vậy trên D, phương trình (1) được viết dưới dạng ( )f x  f y( )� x y .

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1.

Chọn: C.

Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến

đổi làm xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa vềmối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp

Bài 9: Giải hệ bất phương trình :

3 2

3 2( ) 3 5 9

Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4.

Chọn: C.

Nhận xét: Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có 1 ẩn số ta có thể dùng

phương pháp hàm số để giải từng phương trình hay bất phương trình của hệ rồi kếthợp các tập nghiệm tìm được để đưa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình

DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỀU CỦA HÀM SỐ ĐỂ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH.

Bài 10: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 4 3

Xét hàm số f(x) =

2

x 3 x 4

x 2    với x  D

3 x 4 x

2 x

2 x

2 x

Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường Tuy nhiên, nếu

giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp Ta sẽ giảibài này bằng cách sử dụng hàm số

Bài11:Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:



2 2 3 2

Tìm trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Với m < -1 hoặc m � 1: phương trình vô nghiệm

B Với m = -1: phương trình có nghiệm x � 1

C Với -1 < m < 1: phương trình có nghiệm 2

1

x m

+ Giải và biện luận (I)

- Với m=1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm

- Với m �1 thì (3) có nghiệm 2

1

x m

+ Giải và biện luận (II)

- Với m = -1 thì (4) nghiệm đúng với mọi x, nên (II) nhận x � 1 làm nghiệm

- Với m � -1 thì (4) có nghiệm x = 0, nhưng không là nghiệm của (II)

Kết luận:

- Với m < -1 hoặc m � 1: phương trình vô nghiệm

- Với m = -1: phương trình có nghiệm x � 1

- Với -1 < m < 1: phương trình có nghiệm 2

1

x m

Tìm trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A.Với m��2: phương trình có nghiệm duy nhất 3

2

x m





B Với m = 2: phương trình vô nghiệm.

C Với m = - 2: phương trình nghiệm đúng với x R �

D Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Giải:

2m x 2 x m  (4 m x) 3m (1)6

Viết lại phương trình dưới dạng 2m x2 6 m x2  6 24x3m 4x3m (2)

Xét hàm số ( ) 2f t   là hàm số đồng biến trên t t �, vậy (2)

f m x  f x m m x  x m m  x m

- Nếu m2  4 0�m�2

+ Với m = 2, (3) � 0.x = 0, nghiệm đúng với  �x �

+ Với m = - 2, (3) � 0.x=-9, phương trình vô nghiệm

- Nếu m2 �۹�4 0 m 2

Phương trình (3) có nghiệm duy nhất 3

2

x m



Kết luận:

- Với m��2: phương trình có nghiệm duy nhất 3

2

x m





- Với m = 2: phương trình nghiệm đúng với  �x R

- Với m = - 2: phương trình vô nghiệm

log x 3x 2 x 3x 2 log (x m ) x m (2)

Điều kiện: x2 - 3x + 2 > 0 � x < 1 hoặc x > 2 TXĐ: D = (  � � ;1) (2;  � )

Xét hàm số f t( ) log 2t t đồng biến trên khoảng (0;� Vậy trên D,)

phương trình (2) trở thành : f( x23x2) f x m(  )� x2 3x  2 x m

2

0

( )(2 3) 2 (3)

22

m m

Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm.

0 x 3 10 m 5 x ) 4 m

(

2

x

2 2        (1) (m - tham số)