1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính.. Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D; N là giao điểm các đường thẳng AC và BD.. Đường th
Trang 1PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU
ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút)
-Bài 1 (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức:
3 6
2 3 4 2. 44 16 6
4
.
x
x
Bài 2 (4 điểm).
a, Chứng minh rằng: 8
6
3 2 2 3 2 2 3
b, Cho a, b, c > 1 Chứng minh rằng: 12.
Bài 3 (4 điểm) Giải các phương trình:
a, 1 1 2
x x x
b, (x1)(x2) x 3 x 2 (x1)(x3) = 0
Bài 4 (6 điểm)
1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính Gọi M
là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D; N là giao điểm các đường thẳng
AC và BD Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lượt tại E, F
Chứng minh:
a MN vuông góc với AB
b NE = NF
2, Cho ∆ABC vuông ở A Biết: BC = 4 4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 Tính số đo góc B và góc C của tam giác ABC
Bài 5 (2 điểm) Với số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt
quá a và kí hiệu là a
Cho dãy số: x , x , x , x ,…,x ,…(n N) được sác định bởi công thức:0 1 2 3 n
với mọi giá trị của n Hỏi trong 2015 số {x , x1, x2,…, x } có bao 1
n
x
nhiêu số khác 0 ?
Trang 2
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG II – NĂM HỌC 2015-2016
= 3 3
B=
2
2 4
x
0,5
=
32 3 23 3 x x
0,5
= x 1 x
0,5
1
Đặt: a = x + y , với x = 3 3 2 2 , y = 3
3 2 2
Dễ thấy: x3 + y3 = 6 và x.y = 1
0,5
3 ( ) 6 3 3(1 1 ) 3.3 1.1.
(Vì: x > 1, y > 0 nên: a > 1)
0,5
Do đó: a9 (3 ) 2 3 a a8 3 6 0,5
a
6
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số dương: a , , ta
b 1
b
c 1
c
a 1
0,5
Mạt khác, từ: a - 4 a + 4 0 a 4,
a 1 tương tự: b 4 và 4
b 1
c
c 1
0,5
0,5
2
b
0,5
Trang 3Đặt: x 1 = t, (t 0) x + = t +
4
2
4
0,5
= = t + , (vì t 0)
(t ) 2
Vậy phương trình đã cho trở thành:
t + t + 2 1 = 2 (t + ) = 2 t + = , (vì t 0)
2
0,5
a
= t = - , giải ra ta được: x = 2 -
4
0,5
Ta có: VT =( x 1 1) ( x 2 x 3 ) 0,5
PT trở thành:( x 1 1) ( x 2 x 3 ) = 0, vì: x 2 x 3 0 0,5
= 0 x = 2
3
b
Vậy nghiệm phương trình là: x = 2 0,5
Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm PAB PN
AB
0,5
Gọi giao điểm tiếp tuyến của (O) tại D với PN là M’
Do: PDM ' = ABD PDM ' = DPM '
0,5
PM’D cân tại M’ PM’ = DM’ M’ là trung điểm PN
1.a
Tương tự tiếp tuyến tại C của (O) cắt PN tại trung điểm M” của PN
M’, M” trùng M Đpcm
0,5
Trên tia đối của tia NB lấy điểm Q sao cho NQ = NB
QA // NO QA NE
0,5
A là trực tâm của QNE NA QE ( tại H)
FB // EQ mà N là trung điểm của BQ
4
1.b
N cũng là trung điểm của EF NE = NF (Đpcm)
Q
A
B
C D
F
P
M
E H
N
O
Trang 4+ Nếu: AB AC Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC
Ta có: AB + AC = AI + AH + BI + CH = AI + AH + BK + KC
(AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = BC2 + 2AB.AC
= (8 + 4 3)2 AB.AC = (2)
( 8 4 3 ) B
24 16 3
0,5
Từ (1) và (2), kết hợp với AB < AC
AB = 2 + 2 ; AC = 6 + 2
0,5
2
C 30 ; B 60 + Tương tự, nếu: AB AC Thì: 0 0
B30 ; C60
0,5
Vì: a - 1 < a a, nên: 2 - < - ( - 1) = +1 < 2
1
n
2
n
2
1
n
2
n
2
0 x 1, vậy: x , x , x , x ,…,x chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1
Cho nên số các số khác 0 là:
2014 k
k 0
x
2
1
2
0
2
2
2
2
2014 2
2015 2
0,5
Mà: 1424<2015<1425 =1424
2
Vậy có tất cả 1424 số khác 0
0,5
5
Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang;
- Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
- Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm.
I
K
H
O A
