Trên đương thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm D.. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD bằng.. Tính theo a độ dài đoạn AD.. Chứng minh rằng.. Lập phương trình đườ
Trang 1Trường THPT Phan Đăng Lưu
Tổ: Toán-Tin
-o0o - Đề thi thử đại học lần 2
Năm học 2006 - 2007
( Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút )
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + mx + n, ( m, n là tham số ).
3 1
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên, khi m = -9, n = 2;
2 Tìm m, n để điểm E(-1; -1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 2 (2 điểm).
1 Giải hệ phương trình
41
2
2 2
y x
y x y x
2 Giải bất phương trình 2log 3 x 2log 3x 4 0.
Câu 3 (3 điểm).
1 Cho tam giác đều ABC cạnh a ( a > 0 ) Trên đương thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm D Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng Tính theo a độ dài đoạn AD
3
6
a
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ để các vuông góc xOy cho đường thẳng (d1): x + 4y + 6 = 0 và (d2): 3x - y - 8 = 0 Xét tam giác ABC có A(1; 3), trọng tâm G(1; 2), đỉnh B thuộc (d1) và đỉnh C thuộc (d2) Chứng minh rằng
.
135
A
3 Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho 3 điểm A( 6; 8; 0), B(6; 0; 0), C( 6; 0; 4) Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,
B, C.
Câu 4 (2 điểm).
1 Xác định tham số m để đường thẳng y = m, tạo với Parabol y = x2 + 2x một hình phẳng có diện tích bằng 8 2 (đvdt).
3
2 Tìm số tự nhiên n sao cho C1
2n+1 + C3
2n+1 + C5
2n+1 + … + C2n+1
2n+1 = 1024 ( Trong đó Ck là tổ hợp chập k của n phần tử).
Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn:
2005
2 2
0
2
Cos C CosA CosB
Hãy nhận dạng tam giác đó.
(Lưu ý: - HS thi khối B, D không làm câu 4 phần 1;
- Đối với khối B, C câu 1: 3 điểm).
Trang 2Hướng dẫn chấm
(Môn Toán- Thi thử ĐH lần 2-Trường THPT Phan Đăng Lưu)
(KB,KD: 1,5)
Khi m = -9, n = 2 ta có y = x3 - 9x + 2
3 1
TXĐ: D = ; y’ = x2 - 9; y’ = 0 x = 3 ; y(3) = -16; y(-3) = 20 y’’ = 2x điểm uốn
U(0; 2)
0.25
(KB,KD: 0,5)
Bảng biến thiên (0.5 điểm)
x -∞ -3 0 3 +∞
y’ + 0 - 0 +
y’’ - 0 +
Đồ thị
HS Lồi U Lỏm
y
20 +∞
-∞ -16
yCĐ = 20; yCT = -16
Đồ thị hàm số (0.25 điểm; KB, KD: 0.5 điểm)
Ta có y’ = x2 + m Điều kiện cần để đồ thị hàm số nhận điểm E(-1; -1) làm điểm cực đại là
'
1
3 ( 1) 0
y
m
0.5
(KB,KD
0 75)
Giải được m = -1; n = 5
3
0.25
Thử lại: Khi m = -1; n = 5 ta có y’ = x2 - 1 do đó
3
x -∞ -1 +1 +∞
y’ + 0 - 0 +
Vậy m = -1; n = 5
3
(KB,KD 0 5)
1 Giải hệ
41
2
2 2
y x
y x y x
1.0
0
x y
x y
2
82
u v
Đặt t = v + 1 (ĐK t 1) thì PT (*) trở thành t4 +6t2 - 40 = 0 t2 = 4 t = 2 ( vì ĐK t 1) 0.25
Từ đó ta có 1 5; thỏa mãn bài toán Vậy nghiệm của hệ p.trình là
5 4
x y
Trang 3ĐK: x > 0; (1) log 3 log 3 (2)
3 2
Đặt t = 6 log 3 (ĐK: t > 0), khi đó BPT (2) trở thành t3 - t2 - 4 0 (t- 2)(t2 + t + 2) 0
0 < t 2 2log
3 26 log3x 6 0 < x 36 Vậy tập nghiêm của BPT là (0; 729] 0.25
Gọi I là trung điểm của BC Vì tam giác ABC đều cạnh a nên
AI = 3 và BC AI
2
Trong tam giác ADI, kẻ đường cao AH Suy ra AH (DBC) (vì BC DA (gt) BC (DAI), nên AH BC) Do đó AH =
3
6
a
0.25
Trong tam giác vuông ADI (vuông tại A), ta có
6
AD a
Vậy AD = a 6
0.5
B d1: x + 4y + 6 = 0 B(- 4t1 - 6; t1); C d2: 3x - y - 8 = 0 C(t2; 3t2 - 8) Do đó G
;
t t t t
0.25
Mặt khác G(1; 2) suy ra
1
3
( 2; 1), (4; 4)
2 3
0.25
5 10
AB AC
AB AC
Ta có CosA = 13 < = Cos 1350 suy ra .
5 10
2
135
Ta có AB(0; 8; 0) 8 (0;1; 0),u AC(0; 8; 4) 4 (0; 2;1)v n u v , (1; 0; 0) là véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) Do đó (ABC): x = 6 ( Học sinh có thể suy ra ngay từ các hoành độ của A, B, C đều bằng 6).
0.25
Vì O, A, B, C không đồng phẳng nên tồn tại mặt cầu đi qua O, A, B, C Giả sử phương trình
mặt cầu đó là x2 + y2 + z2 + 2mx + 2ny + 2pz + q = 0 Suy ra
0
m q
q
Giải hệ ta được m = -3, n = -4, p = -2, q = 0 Do đó một PT mặt cầu đi qua A, B, C là
x2 + y2 + z2 - 6x - 8y - 4z = 0 (Học sinh có thể chọn mặt cầu đi qua A, B, C và một điểm nào
đó khác O)
0.5
Từ đó suy ra phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là
x + y + z - 6x - 8y - 4z = 0
x = 6
0.25
A
D
B
C I H
Trang 4Điều kiện tồn tại hình phẳng là: PT x2 + 2x - m = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt m > -1 0.25
Giả sử x1, x2 (x1 < x2) là 2 nghiệm của (1) suy ra x1 + x2 = -2, x1.x2 = -m và
x2 - x1 = 2 ' =2 1 m Khi đó diện tích hình phẳng đó là
S =
1 1
x x
mx x dx mx x x m x x x x x x
= (x1 2 - x1)(3m - (x2 + x1x2 + x1 ) - 3(x2 + x1)) = 2 (2m + 2) = (m+1)3/2
3
1
3
0.5
Theo giả thiết S = 8 2 (m+1)3/2 = m = 1, thỏa mãn điều kiện Vậy m = 1.
3
4 3
8 2
Ta có (1 + x)2n+1 = C0
2n+1 + C1
2n+1 x + C2
2n+1 x2+ + C2n+1
2n+1 x2n+1, với x R 0.25
Do đó C0
2n+1 + C1
2n+1 + C2
2n+1 + C3
2n+1 + + C2n
2n+1 + C2n+1
2n+1 = 22n+1
và C0
2n+1 - C1
2n+1 + C2
2n+1 - C3
2n+1 + + C2n
2n+1 - C2n+1
2n+1 = 0 suy ra 2(C1
2n+1 + C3
2n+1 + C5
2n+1 + … + C2n+1
2n+1) = 22n+1
0.5
Do đó C1
2n+1 + C3
2n+1 + C5
2n+1 + … + C2n+1
2n+1 = 22n Mặt khác
C1
2n+1 + C3
2n+1 + C5
2n+1 + … + C2n+1
2n+1 = 1024 = 210 suy ra n = 5 Vậy n = 5 0.25
Câu 5 ( Trường THPT Phan Đăng Lưu ) 1
Vì 0 nên suy ra Cos2005C Cos C, dấu bằng khi và chỉ khi C =
2
2
0.25
2
Cos C CosA CosB
2
CosC CosA CosB
2
CosC
2 ) =
2
2
2
1
2
2
0.5
Suy ra
2005
2 2
0
2
Cos C CosA CosB
2
2
2 1
2
4 2
C
C
A B Cos
A B
Vậy tam giác vuông cân tại C
0.25
