Tớnh giỏ trị của biểu thức.. Cho nửa đường trũn O đường kỡnh AB = 2R.. c Xỏc định vị trớ điểm M để 2AM + AN đạt giỏ trị nhỏ nhất... 2 2đ loại hoặc TMĐK Vậy phương trình đã cho có một n
Trang 1MễN TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phỳt)
Bài 1 (4,0 điểm)
1 Tớnh giỏ trị của biểu thức
2 Tớnh giỏ trị biểu thức P = với
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho x, y, z thoả món: xy + yz + xz = 1 Hóy tớnh giỏ trị biểu thức:
A =
Bài 3: (4.0 điểm)
1 Giải phương trình:
2 Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho là số tự nhiờn
Bài 4: (8,0 điểm)
1 Cho nửa đường trũn (O) đường kỡnh AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B
Trờn cung lấy điểm M tựy ý (M khỏc A và B), tia AM cắt d tại N Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D
a) Chứng minh rằng: NO AD
b) Chứng minh rằng: CA CN = CO CD
c) Xỏc định vị trớ điểm M để (2AM + AN) đạt giỏ trị nhỏ nhất
2 Cho nhọn Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1
Bài 5 (2,0 điểm): Cho x, y, z là ba số thực dương Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu
thức
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
26 15 3 26 15 3
11 2 3
9 17 4
2 4
3 5
x x x
x x
x
4
1 1
x x x
2
1 p p p p
ằ
AB
ABC
S
Trang 2Bài Nội dung Điểm 1
(2,0 đ)
1 Ta cú
2 Ta cú
Khi đú
Suy ra P =
( do ) Vậy P =
1,0đ
0,5đ
0,5đ
2
(2 đ)
1 Từ: xy + yz + xz = 1
1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z)
= (x + z)(x + y)
Tương tự: 1 + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z (x +y)
= ( x+ y).(y+z)
1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z)
=
0,5đ
0.5đ
0.75đ 0.25đ
3
1)
(2,0đ)
Điều kiện xác định:
1đ
26 15 3 26 15 3
8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3) 8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3)
3 (2 3) 3 (2 3)
(2 3) (2 3)
2 3
A
1 3 1
4 4
1 1
2 2
x x
2
3 x x x x x x x x x
x
3
4 x x x x x x x x x
x
4
5 x x x x x x x x x
x
11 2 3
9 17 4
2 4
3 5
x x x
x x
21 8 3 3 1 2 11
9 17 3 8 4 21 55
x x
x
x x
x
16
3 32
6
x
x
0
x
16 3
2
2 2
2
2 2 2
2 2
1
1 1 1
1 1 1
1 1
.
z
y x
z y
x z y
x
z y x
A
y zx z
z y y x y x z x z
z y y x
y x z x z x z y y y
x z x
z x z y z y y x x
.
.
.
. y z y x z z x y
x y z y x z z x y xy xz xy yz xz yz
2
x 0
2
Trang 32)
2đ
(loại) hoặc (TMĐK)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm
Thế vào (1) ta được
Giải pt tỡm được (loại) và
1đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
Bài 4
(8đ)
1 a)( 2,0đ)
Vỡ AB (d) tại B( tiếp tuyến vuụng
gúc với đường kớnh tại tiếp điểm)
Vỡ C là trung điểm của AM OC AM
tại C OC AM
NAD cú AB, DC là hai đường cao cắt
nhau tại O O là trực tõm NO AD
b) (2.0đ) Xột vuụng CAO và vuụng CDN cú
= đồng dạng (g.g)
c) (2.0đ) Xỏc định vị trớ điểm M để (2AM + AN)
đạt giỏ trị nhỏ nhất
Ta cú: 2AM + AN 2 (BĐT
Cauchy – Cụsi)
1đ
1đ
2đ
2
x 0
x 8
2
4 4p 4p 4p 4p (2p p 1) p 2p 3 0
1
ã
CAO C NãD
CAO
D
CA CN CO C
2AM AN.
d
D
C
N
M
Trang 4Suy ra: 2AM + AN 2 = 4R
Đẳng thức xẩy ra khi: 2AM = AN
AM = AN/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = R
gócAOM vuông tại O
M là điểm chính giữa cung AB
1đ
2.(2.0 đ) Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF
(c.g.c)
1đ
1đ Bài 5
2,0đ Ta có
Tương tự suy ra
Đặt:
Do đó Đẳng thức xảy ra Vậy GTNN của S là
1đ
1đ
Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
- HS không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm bài hình
2
2
AFC
AC
AF AB
AE AC
AB AF
AE
ABC
A Cos AB
AE S
S
ABC
2
B Cos S
S
ABC
ABC
CDE
S
S
C Cos2
1 2
2
ABC
CDE BDF
AEF
S
S S
S C Cos B Cos A Cos
2
S
2
S
S
3 4
4
F
E
D
C B
A